宁城县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

宁城县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数y=2sinx 的定义域为[a ，b]，值域为[﹣2，1]，则b ﹣a 的值不可能是（ ）
A ．
B ．π
C ．2π
D ．
2． 若实数x ，y 满足不等式组则2x+4y 的最小值是（ ）
A ．6
B ．﹣6
C ．4
D ．2
3． 下列函数中，为奇函数的是（ ） A ．y=x+1 B ．y=x 2 C ．y=2x D ．y=x|x|
4． 直线在平面外是指（ ） A ．直线与平面没有公共点 B ．直线与平面相交 C ．直线与平面平行
D ．直线与平面最多只有一个公共点
5． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A ．720 B ．270 C ．390 D ．300
6． △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且c=2a ，则cosB=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 设曲线y=ax 2在点（1，a ）处的切线与直线2x ﹣y ﹣6=0平行，则a=（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．﹣1
8． 已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 9． 在空间中，下列命题正确的是（ ） A ．如果直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，那么m ∥n
B ．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β
C ．如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m ⊥α
D ．如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么必有m ⊥β
10．（﹣6≤a ≤3）的最大值为（ ） A ．9
B
．
C ．3
D
．
11．已知,,x y z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log z z -=，则（ ）
A ．x y z <<
B ．z x y <<
C ．z y z <<
D ．y x z << 12．在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ） A
． B
．
C
．
D
．
二、填空题
13．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且 仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是 .（注：结果请用数字作答）
【命题意图】本题考查计数原理、排列与组合的应用，同时也渗透了分类讨论的思想，本题综合性强，难度较大.
14．若直线y ﹣kx ﹣1=0（k ∈R
）与椭圆恒有公共点，则m 的取值范围是 ．
15．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos
2）a n +sin
2
，则该数列的前16项和为 ．
16．设函数f （x ）
=若f[f （a ）
]
，则a 的取值范围是 ．
17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=()
210{ 21(0)
x
x
x e x x x +≥++<，若函数y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，则a 的取值范围是_____．
18．设曲线y=x n+1（n ∈N *）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+…+a 99的值为 ．
三、解答题
19．如图在长方形ABCD中，是CD的中点，M是线段AB上的点，．
（1）若M是AB的中点，求证：与共线；
（2）在线段AB上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；
（3）若动点P在长方形ABCD上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．
20．记函数f（x）=log2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g（x）=的定义域为集合N．求：
（Ⅰ）集合M，N；
（Ⅱ）集合M∩N，∁R（M∪N）．
21．已知圆C经过点A（﹣2，0），B（0，2），且圆心在直线y=x上，且，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若，求实数k的值；
（Ⅲ）过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值．
22．某单位组织职工开展构建绿色家园活动，在今年3月份参加义务植树活动的职工中，随机抽取M名职工为样本，得到这些职工植树的株数，根据此数据作出了频数与频率统计表和频率分布直方图如图：
（1）求出表中M，p及图中a的值；
（2）单位决定对参加植树的职工进行表彰，对植树株数在[25，30）区间的职工发放价值800元的奖品，对植树株数在[20，25）区间的职工发放价值600元的奖品，对植树株数在[15，20）区间的职工发放价值400元的奖品，对植树株数在[10，15）区间的职工发放价值200元的奖品，在所取样本中，任意取出2人，并设X为
X E X
合计
23．已知函数f（x）=lnx﹣ax﹣b（a，b∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值1，求a，b的值
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性
（Ⅲ）对于函数f（x）图象上任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），不等式f′（x0）＜k恒成立，其中k为直线AB的斜率，x0=λx1+（1﹣λ）x2，0＜λ＜1，求λ的取值范围．
24．已知角α的终边在直线y=x上，求sinα，cosα，tanα的值．
宁城县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：函数y=2sinx在R上有﹣2≤y≤2
函数的周期T=2π
值域[﹣2，1]含最小值不含最大值，故定义域[a，b]小于一个周期
b﹣a＜2π
故选C
【点评】本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域，解题的关键是熟悉三角函数y=2sinx的值域[﹣2，2]，而在区间[a，b]上的值域[﹣2，1]，可得函数的定义域与周期的关系，从而可求结果．
2．【答案】B
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点C时，
直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，
由，解得，
即C（3，﹣3），
此时z=2x+4y=2×3+4×（﹣3）=6﹣12=﹣6．
故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义是解决本题的关键．
3．【答案】D
【解析】解：由于y=x+1为非奇非偶函数，故排除A；
由于y=x2为偶函数，故排除B；
由于y=2x为非奇非偶函数，故排除C；
由于y=x|x|是奇函数，满足条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，属于基础题．
4．【答案】D
【解析】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，
∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．
故选D．
5．【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，
首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；
所求方案有：++=390．
故选：C．
6．【答案】B
【解析】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，
由c=2a，则b=a，
=，
故选B．
【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．
7．【答案】A
【解析】解：y'=2ax，
于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行
∴有2a=2
∴a=1
故选：A
【点评】本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．
8．【答案】A
【解析】解：p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，
则￢p：∃n∈N*，a n+2﹣a n+1≠d；￢q：数列{a n}不是公差为d的等差数列，
由￢p⇒￢q，即a n+2﹣a n+1不是常数，则数列{a n}就不是等差数列，
若数列{a n}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N*，使得a n+2﹣a n+1≠d，
即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，
即后者可以推不出前者，
故选：A．
【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．
9．【答案】C
【解析】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；
对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确；
对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确；
对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；
故选：C．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．
10．【答案】B
【解析】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f
（a）的最大值为，
故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，
故选B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
11．【答案】A
【解析】
考点：对数函数，指数函数性质．
12．【答案】C
【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个，
所以共有4×6=24个，
而在8个点中选3个点的有C83=56，
所以所求概率为=
故选：C
【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．
二、填空题
13．【答案】48
【解析】
14．【答案】[1，5）∪（5，+∞）．
【解析】解：整理直线方程得y﹣1=kx，
∴直线恒过（0，1）点，因此只需要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上即可，
由于该点在y轴上，而该椭圆关于原点对称，
故只需要令x=0有
5y2=5m
得到y2=m
要让点（0.1）在椭圆内或者椭圆上，则y≥1即是
y2≥1
得到m≥1
∵椭圆方程中，m≠5
m的范围是[1，5）∪（5，+∞）
故答案为[1，5）∪（5，+∞）
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．本题采用了数形结合的方法，解决问题较为直观．15．【答案】546．
【解析】解：当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=a2k﹣1+1，数列{a2k﹣1}为等差数列，a2k﹣1=a1+k﹣1=k；
当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=2a2k，数列{a2k}为等比数列，．
∴该数列的前16项和S16=（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a16）
=（1+2+...+8）+（2+22+ (28)
=+
=36+29﹣2
=546．
故答案为：546．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．【答案】或a=1．
【解析】解：当时，．
∵，由，解得：，所以；
当，f（a）=2（1﹣a），
∵0≤2（1﹣a）≤1，若，则，
分析可得a=1．
若，即，因为2[1﹣2（1﹣a ）]=4a ﹣2，
由，得：．
综上得：或a=1．
故答案为：或a=1．
【点评】本题考查了函数的值域，考查了分类讨论的数学思想，此题涉及二次讨论，解答时容易出错，此题为
中档题．
17．【答案】1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，）
【解析】当x ＜0时，由f （x ）﹣1=0得x 2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，
当x ≥0时，由f （x ）﹣1=0得
110x x
e
+-=，得x=0， 由，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1=0得f （x ）﹣a=0或f （x ）﹣a=﹣2， 即f （x ）=a ，f （x ）=a ﹣2， 作出函数f （x ）的图象如图：
y=
1x
x
e +≥1（x ≥0）， y ′=1x
x e
-，当x ∈（0，1）时，y ′＞0，函数是增函数，x ∈（1，+∞）时，y ′＜0，函数是减函数，
x=1时，函数取得最大值：1
1e
+，
当1＜a ﹣211e <+时，即a ∈（3，3+1
e
）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有4个零点，
当a ﹣2=1+1e 时，即a=3+1
e
时则y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点， 当a ＞3+
1
e 时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有1个零点 当a=1+1
e 时，则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当11{ 21
a e a >+-≤时，即a ∈（1+1e
，3）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点．
综上a ∈11[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，），函数有3个零点． 故答案为：11[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，）．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 18．【答案】 ﹣2 ．
【解析】解：∵曲线y=x n+1（n ∈N *
），
∴y ′=（n+1）x n
，∴f ′（1）=n+1，
∴曲线y=x
n+1
（n ∈N *
）在（1，1）处的切线方程为y ﹣1=（n+1）（x ﹣1），
该切线与x 轴的交点的横坐标为x n
=，
∵a n =lgx n ，
∴a n =lgn ﹣lg （n+1）， ∴a 1+a 2+…+a 99
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100） =lg1﹣lg100=﹣2． 故答案为：﹣2．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：如图，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，
当M 是AB 的中点时，A （0，0），N （1，1），C （2，1），M （1，0），
，
由，可得与共线；
（2）解：假设线段AB上是否存在点M，使得与垂直，
设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），
，
由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，
∴线段AB上存在点，使得与垂直；
（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，在上的投影最大，
则有最大值为4．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
20．【答案】
【解析】解：（1）由2x﹣3＞0 得x＞，∴M={x|x＞}．
由（x﹣3）（x﹣1）＞0 得x＜1 或x＞3，∴N={x|x＜1，或x＞3}．
（2）M∩N=（3，+∞），M∪N={x|x＜1，或x＞3}，
∴C R（M∪N）=．
【点评】本题主要考查求函数的定义域，两个集合的交集、并集、补集的定义和运算，属于基础题．
21．【答案】
【解析】
【分析】（I）设圆心C（a，a），半径为r，利用|AC|=|BC|=r，建立方程，从而可求圆C的方程；
（II）方法一：利用向量的数量积公式，求得∠POQ=120°，计算圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离，即可求得实数k的值；
方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及=x1•x2+y1•y2=，即可求得k的值；
（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，求得，根据垂径定理和勾股定理得到，
，再利用基本不等式，可求四边形PMQN面积的最大值；
方法二：当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，可求面积S；当直线l的斜率k≠0时，设，
则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0，求得|PQ|，|MN|，再利用基本不等式，可求四边形PMQN
面积的最大值．
【解答】解：（I）设圆心C（a，a），半径为r．
因为圆经过点A（﹣2，0），B（0，2），所以|AC|=|BC|=r，
所以
解得a=0，r=2，…（2分）
所以圆C的方程是x2+y2=4．…（4分）
（II）方法一：因为，…（6分）
所以，∠POQ=120°，…（7分）
所以圆心到直线l：kx﹣y+1=0的距离d=1，…（8分）
又，所以k=0．…（9分）
方法二：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
因为，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0．…（6分）
由题意得：…（7分）
因为=x1•x2+y1•y2=﹣2，
又，
所以x1•x2+y1•y2=，…（8分）
化简得：﹣5k2﹣3+3（k2+1）=0，
所以k2=0，即k=0．…（9分）
（III）方法一：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，四边形PMQN的面积为S．
因为直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，根据勾股定理，有，…（10分）
又根据垂径定理和勾股定理得到，，…（11分）
而，即
…（13分）当且仅当d1=d时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）
方法二：设四边形PMQN的面积为S．
当直线l的斜率k=0时，则l1的斜率不存在，此时．…（10分）当直线l的斜率k≠0时，设
则，代入消元得（1+k2）x2+2kx﹣3=0
所以
同理得到．…（11分）
=…（12分）
因为，
所以，…（13分）
当且仅当k=±1时，等号成立，所以S的最大值为7．…（14分）
22．【答案】
【解析】解：（1）由题可知，，，
又5+12+m+1=M，解得M=20，n=0.6，m=2，p=0.1，
则[15，20）组的频率与组距之比a为0.12．…
（2）所取出两所获品价值之差的绝对值可能为0元、200元、400元、600元，则
，
P（x=200）=，
P（x=400）=，
P（x=600）=…
EX==…
【点评】本题考查的是频率分布直方图和离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题，高考常考题型．23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）的导数为f′（x）=﹣a，
由题意可得f′（1）=0，且f（1）=1，
即为1﹣a=0，且﹣a﹣b=1，
解得a=1．b=﹣2，经检验符合题意．
故a=1，b=﹣2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=﹣a，x＞1，0＜＜1，
①若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）递增；
②0＜a＜1，x∈（1，），f′（x）＞0，x∈（，+∞），f′（x）＜0；
③a≥1，f′（x）＜0．f（x）在（1，+∞）递减．
综上可得，a≤0，f（x）在（1，+∞）递增；
0＜a＜1，f（x）在（1，）递增，在（，+∞）递减；
a≥1，f（x）在（1，+∞）递减．
（Ⅲ）f′（x0）=﹣a=﹣a，
直线AB的斜率为k===﹣a，
f′（x0）＜k⇔＜，
即x2﹣x1＜ln[λx1+（1﹣λ）x2]，
即为﹣1＜ln[λ+（1﹣λ）]，
令t=＞1，t﹣1＜lnt[λ+（1﹣λ）t]，
即t﹣1﹣tlnt+λ（tlnt﹣lnt）＜0恒成立，
令函数g（t）=t﹣1﹣tlnt+λ（tlnt﹣lnt），t＞1，
①当0＜λ时，g′（t）=﹣lnt+λ（lnt+1﹣）=，
令φ（t）=﹣tlnt+λ（tlnt+t﹣1），t＞1，
φ′（t）=﹣1﹣lnt+λ（2+lnt）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1，
当0＜λ≤时，φ′（t）＜0，φ（t）在（1，+∞）递减，则φ（t）＜φ（1）=0，
故当t＞1时，g′（t）＜0，
则g（t）在（1，+∞）递减，g（t）＜g（1）=0符合题意；
②当＜λ＜1时，φ′（t）=（λ﹣1）lnt+2λ﹣1＞0，
解得1＜t＜，
当t∈（1，），φ′（t）＞0，φ（t）在（1，）递增，φ（t）＞φ（1）=0；
当t∈（1，），g′（t）＞0，g（t）在（1，）递增，g（t）＞g（1）=0，
则有当t∈（1，），g（t）＞0不合题意．
即有0＜λ≤．
【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用，不等式恒成立思想的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．
24．【答案】
【解析】解：直线y=x，
当角α的终边在第一象限时，在α的终边上取点（1，），
则sinα=，cosα=，tanα=；
当角α的终边在第三象限时，在α的终边上取点（﹣1，﹣），
则sinα=﹣，cosα=﹣，tanα=．
【点评】本题考查三角函数的定义，涉及分类讨论思想的应用，属基础题．。