2024年江苏省高邮市数学高三上期末检测模拟试题含解析

2024年江苏省高邮市数学高三上期末检测模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()cos(2)3
f x x π
=+
，则下列结论错误的是( )
A ．函数()f x 的最小正周期为π
B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．函数()f x 在2,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增
D ．函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移
12
π
个单位长度得到
2．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ） A ．134
-
B ．
54
C ．5
D ．
154
3．设m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是空间两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若//m α，//n β，//αβ，则//m n ； ②若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α； ③若m n ⊥，m α⊥，//αβ，则//n β； ④若αβ⊥，l αβ=，//m α，m l ⊥，则m β⊥.其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．②④
D ．③④
4．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣
b +
c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．2
D ．4
5．已知集合A ＝{y |y =
}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2
）}，则∁R （A ∩B ）＝（ ）
A ．[0，
1
2） B ．（﹣∞，0）∪[1
2
，+∞） C ．（0，1
2
）
D ．（﹣∞，0]∪[
1
2
，+∞）
6．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪
≥-⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为9，若点
， 则的最大值为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A ．
113 B ．4 C ．133
D ．5
8．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，
()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．1
9．已知函数()22018tan 1
x
x m f x x x m =+++()0,1m m >≠，若()13f =，则()1f -等于（ ）
A ．-3
B ．-1
C ．3
D ．0
10．已知函数1
()2x f x e x -=+-的零点为m ，若存在实数n 使230x ax a --+=且||1m n -≤，则实数a 的取值范围
是（ ） A ．[2,4]
B ．72,3
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．7,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[2,3]
11．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1
B 2
C 3
D ．0
12．5(12)(1)x x ++的展开式中2x 的系数为（ ） A ．5
B ．10
C ．20
D ．30
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()sin 6f x x πω⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
（0>ω）在区间[),2ππ上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是________. 14．已知i 为虚数单位，复数1
1i
z =
+，则z ＝_______． 15．已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
均为等差数列（*n N ∈）
，且12a =，则10a =______． 16．已知
为偶函数，当
时，
，则曲线
在点
处的切线方程是_________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数()e 2x
f x m x m =--.
（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，求m 的取值范围．
18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 在直线10x y +-=上，平行
于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交抛物线C 于A ，B 两点，交该抛物线的准线于D ，E 两点.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若F 在线段AB 上，P 是DE 的中点，证明：AP
EF .
19．（12分）如图1，在等腰梯形12ABF F 中，两腰122AF BF ==，底边6AB =，214F F =，D ，C 是AB 的三等分点，E 是12F F 的中点.分别沿CE ，DE 将四边形1BCEF 和2ADEF 折起，使1F ，2F 重合于点F ，得到如图2所示
的几何体.在图2中，M ，N 分别为CD ，EF 的中点.
（1）证明：MN ⊥平面ABCD .
（2）求直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值.
20．（12分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年的相关数据如下表所示： 年份
2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年生产台数（万台） 2 3 4 5 6 7 10 11 该产品的年利润（百万元） 2.1 2.75 3.5 3.25 3 4.9 6 6.5 年返修台数（台）
21
22
28
65
80
65
84
88
部分计算结果：81168i i x x ===∑，81148i i y y ===∑，()8
2
172i i x x =-=∑，
8
2
1
()
18.045i
i y y =-=∑，()8
1
()34.5i i i x x y y =--=∑
注：年返修率=
年返修台数
年生产台数
（1）从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据，以ξ表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y （百万元）关于年生产台数x （万台）的线性回归方程（精确到0.01）.
附：线性回归方程ˆˆy bx
a =+中，()12
1(ˆ)()n
i i i n
i i x x y y b x x ==--=-∑∑
12
2
1n
i i i n
i
i x y n x y x n x
==-⋅⋅=-⋅∑∑，ˆˆa
y bx =-. 21．（12分）已知函数()|2||3|f x x x =++-. （1）解不等式()32f x x ≤-；
（2）若函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求
13
211
a b +++的最小值. 22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程
为122x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=； （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2）若直线l 与曲线C 交点分别为A ，B ，点()1,0P ，求
11
||||
PA PB +的值． 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解题分析】 由2π
T ω
=
可判断选项A ；当π
12x =
时，ππ2=32
x +可判断选项B ；利用整体换元法可判断选项C ；πsin 212y x ⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭()πcos 23x f x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭可判断选项D.
【题目详解】
由题知()πcos 23f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭，最小正周期2π
π2T ==，所以A 正确；当π12
x =时， ππ2=32x +，所以B 正确；当π2π,33x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
π5π2π,33x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以C 正确；由sin 2y x = 的图象向左平移
π12个单位，得ππππsin 2sin 2sin 212623y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ ()πcos 23x f x ⎛
⎫-≠ ⎪⎝
⎭，所以D 错误.
故选：D.
【题目点拨】
本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题. 2、B 【解题分析】
据题意以菱形对角线交点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，用坐标表示出,DE DF ，再根据坐标形式下向量的数量积运算计算出结果. 【题目详解】
设AC 与BD 交于点O ，以O 为原点，BD 的方向为x 轴，CA 的方向为y 轴，建立直角坐标系，
则1,12E ⎛⎫-
⎪⎝⎭，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，(1,0)D ，3,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3,12DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
， 所以95
144
DE DF ⋅=-=. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查建立平面直角坐标系解决向量的数量积问题，难度一般.长方形、正方形、菱形中的向量数量积问题，如果直接计算较麻烦可考虑用建系的方法求解. 3、C 【解题分析】
根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可. 【题目详解】
解：①：m 、n 也可能相交或异面，故①错 ②：因为αβ⊥，m β⊥，所以m α⊂或//m α，
因为m α⊄，所以//m α，故②对 ③：//n β或n β⊂，故③错 ④：如图
因为αβ⊥，l α
β=，在内α过点E 作直线l 的垂线a ，
则直线a β⊥，a l ⊥
又因为//m α，设经过m 和α相交的平面与α交于直线b ，则//m b 又m l ⊥，所以b l ⊥
因为a l ⊥，b l ⊥，,b a αα⊂⊂ 所以////b a m ，所以m β⊥，故④对. 故选：C 【题目点拨】
考查线面平行或垂直的判断，基础题. 4、C 【解题分析】
根据对称性即可求出答案． 【题目详解】
解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【题目点拨】
本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题． 5、D 【解题分析】
求函数的值域得集合A ，求定义域得集合B ，根据交集和补集的定义写出运算结果. 【题目详解】 集合A ＝{y |y 21x =
-}＝{y |y ≥0}＝[0，+∞）
； B ＝{x |y ＝lg （x ﹣2x 2）}＝{x |x ﹣2x 2＞0}＝{x |0＜x 1
2＜}＝（0，
12
）， ∴A ∩B ＝（0，
12
）， ∴∁R （A ∩B ）＝（﹣∞，0]∪[1
2
，+∞）. 故选：D . 【题目点拨】
该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有函数的定义域，函数的值域，集合的运算，属于基础题目. 6、C 【解题分析】
分析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利用平面区域的面积为9求出3a =，然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值. 详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：
则(,),(,)A a a B a a -，所以平面区域的面积1
292
S a a =⋅⋅=， 解得3a =，此时(3,3),(3,3)A B -，
由图可得当2z x y =+过点(3,3)A 时，2z x y =+取得最大值9，故选C.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解. 7、B
【解题分析】
还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可. 【题目详解】
如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积
11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体 12121
242222422222423232
=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.
故选:B.
【题目点拨】
本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题. 8、C 【解题分析】
根据函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称可得()f x 为奇函数，结合()()2f x f x +=-可得()f x 是周期为4的周期函数，利用()00f =及()14f =可得所求的值. 【题目详解】
因为函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，所以()y f x =的图象关于原点对称， 所以()f x 为R 上的奇函数.
由()()2f x f x +=-可得()()2f x f x +=-，故()()()42f x f x f x +=-+=， 故()f x 是周期为4的周期函数.
因为20164504,201745041,201845042=⨯=⨯+=⨯+，
所以()()()()()()()20162017201012428f f f f f f f +=+=+++. 因为()()2f x f x +=-，故()()()02000f f f +=-=-=，
所以()()()2016201720148f f f +=+. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果R 上的函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，那么()f x 是周期为2a 的周期函数，本题属于中档题. 9、D 【解题分析】
分析：因为题设中给出了()1f 的值，要求()1f -的值，故应考虑()(),f x f x -两者之间满足的关系.
详解：由题设有()221
2018tan 2018tan 11
x x x m f x x x x x m m ---=-+=-+++，
故有()()2
12f x f x x +-=+，所以()()113f f +-=，
从而()10f -=，故选D.
点睛：本题考查函数的表示方法，解题时注意根据问题的条件和求解的结论之间的关系去寻找函数的解析式要满足的关系. 10、D 【解题分析】
易知()f x 单调递增,由(1)0f =可得唯一零点1m =,通过已知可求得02n ≤≤,则问题转化为使方程
230x ax a --+=在区间[]0,2上有解,化简可得4
121
a x x =++
-+,借助对号函数即可解得实数a 的取值范围. 【题目详解】
易知函数1
()2x f x e x -=+-单调递增且有惟一的零点为1m =，所以|1|1n -≤，∴02n ≤≤，问题转化为：使方程
2
30x ax a --+=在区间[]0,2上有解，即223(1)2(1)44
12111
x x x a x x x x ++-++=
==++-+++ 在区间[]0,2上有解，而根据“对勾函数”可知函数4
121
y x x =++-+在区间[]0,2的值域为[2,3]，∴23a ≤≤. 故选D ． 【题目点拨】
本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.
11、B
【解题分析】
根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1．计算黑蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离．
【题目详解】
由题意,白蚂蚁爬行路线为AA 1→A 1D 1→D 1C 1→C 1C →CB →BA ，
即过1段后又回到起点，
可以看作以1为周期，
由202063364÷=，
白蚂蚁爬完2020段后到回到C 点；
同理,黑蚂蚁爬行路线为AB →BB 1→B 1C 1→C 1D 1→D 1D →DA ，
黑蚂蚁爬完2020段后回到D 1点，
2.
故选B .
【题目点拨】
本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.
12、C
【解题分析】
由5(12)(1)x x ++=5(1)x +5
2(1)x x ++知，展开式中2x 项有两项，一项是5(1)x +中的2x 项，另一项是2x 与5(1)x +中含x 的项乘积构成.
【题目详解】
由已知，5(12)(1)x x ++=5(1)x +52(1)x x ++，因为5(1)x +展开式的通项为5r r
C x ，所以 展开式中2x 的系数为21
55220C C +=.
故选：C.
本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、511,612⎛⎤ ⎥⎝⎦
【解题分析】
首先根据x 的取值范围，求得6x π
ω+的取值范围，由此求得函数()f x 的值域，结合()f x 区间[),2ππ上的值小于0
恒成立列不等式组，解不等式组求得ω的取值范围.
【题目详解】
由于2,0x ππω≤<>，所以2666x π
π
π
ωπωωπ+≤+<+，
由于()f x 区间[),2ππ上的值小于0恒成立， 所以2222666k x k π
π
π
ππωπωωπππ+<+≤+<+≤+（k Z ∈）. 所以522661121122266212k k k k k πωωππππωπππω⎧>+⎧⎪+>+⎪⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪+≤+≤=+⎪⎪⎩⎩
， 由于0>ω，所以511210612120k k k k ⎧+<+⎪⇒≤<⎨⎪≥⎩
， 由于k Z ∈，所以令0k =得
511612ω<≤. 所以ω的取值范围是511,612⎛⎤ ⎥⎝⎦
. 故答案为：511,612⎛⎤ ⎥⎝⎦
【题目点拨】
本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
14
、2
先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果.
【题目详解】 1112i 1i 222z z ==-⇒=+． 故答案为：
22. 【题目点拨】
本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为a bi +的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 15、20
【解题分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ,由数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列,且12a =,根据等差中项的性质可得, ()()22
222222213d d ++⋅=+,解方程求出公差d ,代入等差数列{}n a 的通项公式即可求解. 【题目详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ,
由数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为等差数列知,2223212213a a a ⋅=+, 因为12a =,所以()()22
222222213d d ++⋅=+, 解得2d =,所以数列{}n a 的通项公式为
()()112122n a a n d n n =+-=+-⨯=，
所以10a =20.
故答案为:20
【题目点拨】
本题考查等差数列的概念及其通项公式和等差中项;考查运算求解能力;等差中项的运用是求解本题的关键;属于基础题.
16、
【解题分析】
试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即． 【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义
【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为
．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）y x =-；（2）[2,)+∞
【解题分析】
（1）1m =,对函数()y f x =求导,分别求出(0)f 和(0)f ',即可求出()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程;
（2）对()f x 求导,分2m ≥、02m <<和0m ≤三种情况讨论()f x 的单调性,再结合()0f x >在(0,)+∞上恒成立,可求得m 的取值范围.
【题目详解】
（1）因为1m =,所以()e 21x f x x =--,所以()e 2x
f x '=-,
则(0)0,(0)1f f '==-,故曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-. （2）因为()e 2x f x m x m =--,所以()e 2x f x m '=-,
①当2m ≥时,()0f x '>在(0,)+∞上恒成立,则()f x 在(0,)+∞上单调递增,
从而()(0)0f x f >=成立,故2m ≥符合题意;
②当02m <<时,令()0f x '<,解得20ln x m <<,即()f x 在20,ln m ⎛⎫ ⎪⎝
⎭上单调递减, 则2ln (0)0f f m ⎛
⎫<= ⎪⎝⎭
,故02m <<不符合题意; ③当0m ≤时,0()e 2x f x m '-<=在(0,)+∞上恒成立,即()f x 在(0,)+∞上单调递减,则()(0)0f x f <=,故0m ≤不
符合题意.
综上,m 的取值范围为[2,)+∞.
【题目点拨】
本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题.
18、（1）24y x =；（2）见解析
【解题分析】
（1）根据抛物线的焦点在直线10x y +-=上，可求得p 的值，从而求得抛物线的方程；
（2）法一：设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ，可得A ，B ，D ，E 的坐标，进而可得直线AB 的方程，根据F 在直线AB 上，可得4ab =-，再分别求得AP k ，EF k ，即可得证；法二：设()11,A x y ，
()22,B x y ，则121,2y y P +⎛⎫- ⎪⎝
⎭，根据直线AB 的斜率不为0，设出直线AB 的方程为1x my -=，联立直线AB 和抛物线C 的方程，结合韦达定理，分别求出AP k ，EF k ，化简AP EF k k -，即可得证.
【题目详解】
（1）抛物线C 的焦点F 坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭，且该点在直线10x y +-=上， 所以102
p -=，解得2p =，故所求抛物线C 的方程为24y x = （2）法一：由点F 在线段AB 上，可设直线1l ，2l 的方程分别为y a =和y b =且0a ≠，0b ≠，a b ，则2,4a A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,4b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，()1,D a -，()1,E b -. ∴直线AB 的方程为222
444b a a y a x b a ⎛⎫--=- ⎪⎝
⎭-，即()40x a b y ab -++=. 又点()1,0F 在线段AB 上，∴4ab =-.
∵P 是DE 的中点，∴1,2a b P +⎛
⎫- ⎪⎝⎭
∴224224142AP a b a a a k a a a ++-
===++，4222EF AP b a k k a -====--. 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF
法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则121,2y y P +⎛
⎫- ⎪⎝⎭
当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，故可设直线AB 的方程为1x my -=
联立直线AB 和抛物线C 的方程214x my y x
-=⎧⎨=⎩，得2440y my --= 又1y ，2y 为该方程两根，所以124y y m +=，124y y =-，()()
112121112121AP y y y y y k x x -+-==++，22EF y k =-. ()()()()()
211121122112111114144021111AP EF y y y y y y y y x y y x k k x x x x -++-+++-=====++++，EF AP k k = 由于AP ，EF 不重合，所以//AP EF
【题目点拨】
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
19、（1）证明见解析 （2
）
3 【解题分析】
(1)先证CN EF ⊥，再证DN EF ⊥，由EF BC ∥可得BC ⊥平面CDN ，从而推出MN ⊥平面ABCD ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面ABF 的法向量与CN ，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.
【题目详解】
（1）证明：连接CF ，DN ，由图1知，四边形BCEF 为菱形，且60CEF ∠=︒，
所以CEF ∆是正三角形，从而CN EF ⊥.
同理可证，DN EF ⊥，
所以EF ⊥平面CDN .
又EF BC ∥，所以BC ⊥平面CDN ，
因为BC ⊂平面ABCD ，
所以平面CDN ⊥平面ABCD .
易知CN DN =，且M 为CD 的中点，所以MN CD ⊥，
所以MN ⊥平面ABCD .
（2）解：由（1
）可知CN =
MN =ABCD 为正方形.设AB 的中点为G ，
以M 为原点，以MG ，MC ，MN 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系M xyz -，
则()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C
，(N
，(F ，
所以()0,2,0AB =
，(AF =-
，(0,CN =-.
设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，
由0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20,20,y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 取()
2,0,1n =. 设直线CN 与平面ABF 所成的角为θ，
所以22sin 333
CN n
CN n θ⋅===⨯， 所以直线CN 与平面ABF 所成角的正弦值为23.
【题目点拨】
本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.
20、（1）见解析；（2）0.4817ˆ.2y
x =+ 【解题分析】
（1）先判断得到随机变量ξ的所有可能取值，然后根据古典概型概率公式和组合数计算得到相应的概率，进而得到分
布列和期望．（2）由于去掉2015年的数据后不影响ˆb
的值，可根据表中数据求出ˆb ；然后再根据去掉2015年的数据后所剩数据求出ˆa
即可得到回归直线方程． 【题目详解】
（1）由数据可知，2012，2013，2016，2017，2018五个年份考核优秀．
由题意ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
()0353381056
C C P C ξ===， ()12533815156
C C P C ξ===，
()215338301525628
C C P C ξ====， ()30533810535628
C C P C ξ====． 故ξ的分布列为：
所以0123565628288E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）因为56x x ==，所以去掉2015年的数据后不影响ˆb 的值， 所以()81821()34.50.487ˆ2()
i i i i i x x y y b x x ==--==≈-∑∑． 又去掉2015年的数据之后68667x ⨯-==，4832977
y ⨯-== 所以2934.ˆˆ56 1.27772
a y bx =-=-⨯≈， 从而回归方程为：0.4817ˆ.2y
x =+． 【题目点拨】
求线性回归方程时要涉及到大量的计算，所以在解题时要注意运算的合理性和正确性，对于题目中给出的中间数据要合理利用．本题考查概率和统计的结合，这也是高考中常出现的题型，属于基础题．
21、（1）7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）
169 【解题分析】
（1）利用零点分段法，求得不等式的解集.
（2）先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换”的方法，结合基本不等式，求得
13211
a b +++的最小值.
【题目详解】 （1）当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35
x ≥
，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤；
当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
（2）因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=，
所以235(0,0)a b a b +=>>，则213(1)9a b +++=， 1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119
b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦. 当且仅当211,235,0,0,a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
时取等号. 故13211
a b +++的最小值为169. 【题目点拨】
本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
22、（Ⅰ）:10l x y +-=,曲线22:40C x y x +-=
【解题分析】
试题分析：（1）消去参数t 可得直线l 的直角坐标系方程，由222
cos x y x ρρθ+==，可得曲线C 的直角坐标方程； （2
）将1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）代入曲线C
的方程得：230t -=，1212121111t t PA PB t t t t -+=+=，利用韦达定理求解即可.
试题解析：
（1）:10l x y +-=，曲线22
:40C x y x +-=， （2
）将1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）代入曲线C
的方程得：230t -=.
所以12123t t t t +==-.
所以12121211113
t t PA PB t t t t -+=+===.。