2019-2020学年新一线同步人教A版数学必修一练习：3.1.1 函数的概念

1
1,+∞),④y=������,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为(-∞,0)∪(0,+∞),故①②④的定义域与值域相同.
答案 B
������(2������)
3.若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= ������ - 1 的定义域是( )
A.[0,1)∪(1,2] C.[0,1)
15
8,
+
∞
5.已知函数 f(x)=x2-2x,x∈[0,b],且该函数的值域为[-1,3],求 b 的值. 解作出函数 f(x)=x2-2x(x≥0)的图象如图所示.
由图象结合值域[-1,3]可知,区间右端点 b 必为函数最大值 3 的对应点的横坐标.所以 f(b)=3,即 b2-2b=3,解得 b=-1 或 b=3.又-1∉[0,b],所以 b=3.
解析由 ������ - 1 ≠ 0,
解得 x≥-1,且 x≠1. 答案 B
1
2.下列四个函数:①y=x+1;②y=x-1;③y=x2-1;④y=������,其中定义域与值域相同的是( )
A.①②③
B.①②④
C.②③
D.②③④
解析①y=x+1,定义域为 R,值域为 R,②y=x-1,定义域为 R,值域为 R,③y=x2-1,定义域为 R,值域为[-
C.{x|0<x<5}
{ | } D.
������
5 2
<
������
<
5
解析△ABC 的底边长显然大于 0, 即 y=10-2x>0, ∴x<5. 又两边之和大于第三边,
5
∴2x>10-2x,x>2.
{ | } ������ 5 < ������ < 5
故此函数的定义域为 2
.
答案 D 5.函数 f(x)=x2-2x,x∈{-2,-1,0,1}的值域为 . 解析因为 f(-2)=(-2)2-(-2)=6,f(-1)=(-1)2-2×(-1)=3,f(0)=02-2×0=0,f(1)=12-2×1=-1.所以 f(x)的值域为 {6,3,0,-1}. 答案{6,3,0,-1} 6.若函数 f(x)满足 f(2x-1)=x+1,则 f(3)= . 解析令 2x-1=3,则 x=2,故 f(3)=2+1=3. 答案 3 7.若函数 f(x)=ax2-1,a 为正常数,且 f(f(-1))=-1,则 a 的值是 . 解析∵f(-1)=a·(-1)2-1=a-1,f(f(-1))=a·(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1.∴a3-2a2+a=0,∴a=1 或 a=0(舍去).故 a=1. 答案 1
能力提升
1.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如解析式为
y=2x2+1,值域为{9}的“孪生函数”有三个:
①y=2x2+1,x∈{-2};②y=2x2+1,x∈{2};③y=2x2+1,x∈{-2,2}. 那么函数解析式为 y=2x2+1,值域为{1,5}的“孪生函数”共有( )
A.5 个
B.4 个
C.3 个
D.2 个
解析 y=2x2+1,值域为{1,5}的孪生函数,分别为:①y=2x2+1,x∈{0, 2};②y=2x2+1,x∈{0,- 2};
③y=2x2+1,x∈{0, 2,- 2}共 3 个,故选 C.
答案 C
5������
2.若 f(x)=������2 + 1,且 f(a)=2,则 a= .
( ) ( ) ( ) 1
=f(1)+ f(2)+f 2
1
+ f(3)+f 3
1
+…+ f(2 019)+f 2 019
1
=2
+
1
+
1+…
⏟
2 018
+
1
=
4
037
2.
(3)求证:f ������ =-f(x).
1 + ������2
(1)解要使函数 f(x)= 1 - ������2 有意义,只需 1-x2≠0,解得 x≠±1,所以函数的定义域为{x|x≠±1}.
1 + ������2
(2)解因为 f(x)= 1 - ������2 ,且 f(a)=2,
1 + ������2
������2
7.已知函数 f(x)=������2 + 1.
( )1
(1)求 f(1),f(2)+f 2 的值;
( )1
(2)证明:f(x)+f ������ 等于定值;
( ) ( ) ( ) 1 1
1
(3)求 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)+f 2 +f 3 +…+f 2 019 的值.
������ + 2
8.求函数 y= 6 - 2������ - 1的定义域,并用区间表示.
{ {������ ≥ - 2,
������ + 2 ≥ 0,
������ ≤ 3,
6 - 2������ ≥ 0, 解要使函数有意义,则 6 - 2������ ≠ 1,解得
������
≠
5
2,
5
即-2≤x≤3,且 x≠2.
{ | } ������
故函数的定义域为
-
2
≤
������
≤
3,且������
≠
5 2
,
[ ) ( ] 用区间表示为 - 2,52 ∪ 52,3 .
1 + ������2
9.已知函数 f(x)= 1 - ������2 . (1)求 f(x)的定义域; (2)若 f(a)=2,求 a 的值;
( )1
(1)解
1;
12
( ) 22
( ) ( ) f(2)=22 +
1
=
4
5,f
1 2
=
1 2
2
2+
1
=
1
5
,
( )1 = 4 + 1
所以 f(2)+f 2 5 5=1.
12
( ) 1 = ������ = 1
( )������
( ) (2)证明 f
1 2+1
������
������2 + 1
1
3
所以 f(a)= 1 - ������2 =2,即 a2=3,解得 a=± 3 .
( ) 1
1+
=
1 ������
2
=
������2
+
1
( )������
( ) (3)证明由已知得 f
1-
12 ������
������2 - 1
,
( ) 1 + ������2 = ������2 + 1
1
-f(x)=- 1 - ������2 ������2 - 1 ,所以 f ������ =-f(x).
5������
解析由 f(a)=������2 + 1=2,得 2a2-5a+2=0,
1
解得 a=2或 a=2.
1
答案2或 2
3.已知函数 y=f(2x+1)的定义域为[1,2],则函数 y=f(2x-1)的定义域为 . 解析因为函数 y=f(2x+1)的定义域为[1,2],
即 1≤x≤2,所以 3≤2x+1≤5. 所以函数 y=f(x)的定义域为[3,5]. 由 3≤2x-1≤5,得 2≤x≤3, 所以函数 y=f(2x-1)的定义域为[2,3]. 答案[2,3]
第三章函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.1.1 函数的概念
课后篇巩固提升
基础巩固
������ + 1
1.函数 f(x)= ������ - 1 的定义域是( )
A.[-1,1) C.[-1,+∞)
B.[-1,1)∪(1,+∞) D.(1,+∞)
{������ + 1 ≥ 0,
故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞). (2)(换元法)令 t= ������ - 1,则 x=t2+1,且 t≥0,
( ) ∴y=2(t2+1)-t=2
������
-
1 4
2
+
15
8.
[ ) 由
t≥0,再结合函数的图象(如图所示),可得函数的值域为
15
8,
+
∞
.
[ ) 答案(1)(-∞,2)∪(2,+∞) (2)
,
( )1 = ������2 + 1
所以 f(x)+f ������ ������2 + 1 ������2 + 1=1,为定值.
( )1
(3)解由(2)知,f(x)+f ������ =1.
( ) ( ) ( ) 1 1
1
所以 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)+f 2 +f 3 +…+f 2 019
B.[0,1)∪(1,4] D.(1,4]
{0 ≤ 2������ ≤ 2,
解析由题意,得 ������ - 1 ≠ 0, 即 0≤x<1.
答案 C
4.已知等腰三角形 ABC 的周长为 10,且底边长 y 关于腰长 x 的函数关系式为 y=10-2x,则此函数的定
义域为
( )
A.R
B.{x|x>0}
3 ������ - 1
6.若函数 f(x)=������������2 + ������������ + 3的定义域为 R,求 m 的取值范围. 解要使原函数有意义,必须 mx2+mx+3≠0.
由于函数的定义域是 R,故 mx2+mx+3≠0 对一切实数 x 恒成立. ①当 m=0 时,3≠0 恒成立,故 m=0 满足条件; ②当 m≠0 时,有 Δ=m2-12m<0,解得 0<m<12. 故由①②可知 m 的取值范围是[0,12).
2������ + 1
4.(1)y= ������ - 3 的值域为 . (2)y=2x- ������ - 1的值域为 .
2������ + 1 = 2(������ - 3) + 7
7
7
解析(1)(分离常数法)y= ������ - 3
������ - 3 =2+������ - 3,显然������ - 3≠0,故 y≠2.