高中数学-数列求和的类型及方法例题解析(两课时)-新人教A版必修5

数列求和的类型及方法
—、分组求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比 或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

例：S n =-1+3-5+7-…+(-1) n (2n-1)
解法：按n 为奇偶数进行分组，连续两项为一组。

当n 为奇数时：
S n =(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+ …+(-2 n+1)
=-n
当n 为偶数时：
S n =(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+ …+[(-2 n+3)+(2 n+1)]
n
=2X
2
1 1 1 练习：求数列的前 n 项和：1+1,一+4,p + 7,…；一+3 n
_2 , •a a ，，a n
1 1 1
解：设 S n = (1 1) ( 4) ( 2 7)「…(一3n - 2)
a a a
将其每一项拆开再重新组合得
1 1 1
S n 二(1
2
-VT
) (1 4 7 亠 亠 3n - 2) a a
a
当a = 1时，S n =n d 鱼=如卫
2
2
二、错位相减
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列
｛2n • b n ｝的
前n 项和，其中｛ 2n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列。

例：求数列2,2X 22,3X 23,4X 24,…,n X 2n ,…的前n 项和。

解： S n =2+2 X 22+3 X 23+4 X 24+ …+ n X 2n 二 2S n = 22+2 X 23+3 X 24+…+n X 2n+1
=2X n -1
+(-2
n+1) (分组)
(分组求和)
1-
当a =1时,
S n
.⑶-1)n
2 a 「a 1* (3n 「1)n
a —1
2
-n (n 为奇数) n ( n 为偶数)
n
2
三、倒序相加法 如果一个数列中，与首末两端“等距离”的两项之和 首末两项“系数”
之和）,那么就可以把正着写的和与倒着写的和的两个和式相加，从而可求出数列 的前n 和.
例8已知函数f(x) x J
，数列Ca 鳥中，
a^f(!),a^
f(-), a^
f(?)，…a^ f(-), 3+1
n n
n
n
a n 厂f (W), a^ f(-)，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .
n
n 1 2
3
n -1 n S n = f(-) f(-) f( — )
+f(——)+0，
n n n
n n 设 S "(丄)f (2) f(3)
f (口)
n n n
n
把上式右边倒序得： ^f (^11) f (^12^ f(-v f(-)
n n n
n 两式相加得2S = [ f (^"(口沪山勺+仁亡)"…+[f (口)+f(」)]
n n n n n
n
=n 1 = n ,
•时s f 忙2 f(1r (n “
2 3 n n+1
• •(1-2) S n =2+ 2 + 2 + …+2 - n X
2—2n 1 -n 2
n -1
1-2
.Sn =(n -1)2n 1
2
2 练习：求数列-
2 ，土，号，.…,爭，.…前n 项的和.
｛多｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛ 4 6
2n
........................................ 22 23
4 6
-+ — + — + 22 23 2
4 ①—②得（1 _丄总=? 2 2
解：由题可知,
丄｝的通项之积
2
设S n
2Sn 2n 2n '尹 .............
2 2 2
2
3
4 '
2 2
2
1 2n
（设制错位）
2 2n
n
n
山
（错位相减）
之和）等于首末两项之和（或等于 解:
f (x)
f(1-x)亠
3 +1
1 31
」1
=3xJ
1
1 3xj
=1 ,
1
)
四、裂项法求和
然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解(裂项)如：
111 1
例：求数列
，
，
，…，
，…的前n 项和S
1 況3 2汇4
3><5 n(n +2)
的 1 1,1
1 、
解：•••
=—(—
n(n 2)
2 n n 2
丄(1丄丄一丄)
2 2 n 1 n 2
3 1 1
4 2n 2 2n 4
1
例4 求数列｛ ---- ｝的前n 项和S n .
J n +1 +斤
解：因为 a n -、n • 1 -n , 所以
S n =( 2「1)+( .3 -2 )+( '，4 - . 3)+…+(，n 1 -、n )= n 1「1 .
例5已知数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足:
S n • , & -n 2 - n = 0 ,求数列 -
.的前n 项和T n .
J a n a n ・1 I
解：由已知得G.s n -n)c.sn ・n 1^0, 所以,S ~ -n = 0,即
S n 二 n 2.
当 n = 1时，a 1 = S = 1 •
当 n > 2 时，a n =Sn-S n 4= n -(n -1『=2n-1. 所以，数列｛a n ｝的通项公式为a n =2n -1 .
1 , ,, , 因为 ( )
a n a n , (2n -1) (2n 1) 2 2n -1 2n 1
1 1 111 1 1 所以，T ^1(^1) 2(3-5^
1^1
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。

裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,
n
1
解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象上例中的四项，后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。

五、通项分析法
通过对数列的通项进行分析、整理，从中发现数列求和的方法，这也是求数列前n项和的一种基本方法.
例9 已知数列｛a n｝中，
a, =1, a2 =1 2 1, a3 =1 2 22 2 1 , a^ 1 2 22 23 22 2 1,. 求数列｛a n｝的前n项和S n.
解：数列｛a n｝的通项公式是：
4 ——2_n1 」2 2
a n = 1 2 2件…川’2 一 2 一，…吃2 2 1
=(1 2 222n J) (2心2心…22 2 1)
.S n =(3 1 -2) (3 2 -2) (3 22 -2)+ …(3 2心-2)
= 3(1 2 222nJ1)-2n 3(1 -2n)
1-2
-2n =3 2n -3-2n
=2(1
i
2n 1
n
2n 1
-2 -2
1-2 1-2
-(2 n -1) (2n J -1)
n A
=3 2 -2 ,。