高中数学 1.3.2 三角函数的诱导公式(二)学案 新人教A版必修4

1.3三角函数的诱导公式
【学习要求】
1．掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题．
2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．
3．继续体会知识的“发生”、“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力．
【学法指导】
六组诱导公式可以概括为一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，即诱导公式左边的角可统一写成k ·π2
±α(k ∈Z)的形式，当k 为奇数时公式等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变，当k 为偶数时，公式符号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边的三角函数之前
的符号，则把α当成锐角，看k ·π2
±α为第几象限角. 1．诱导公式五～六
(1)公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ；cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α＝ . 以－α替代公式五中的α，可得公式六．
(2)公式六：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ ；cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝ . 2．诱导公式五～六的记忆
π2－α，π2
＋α的三角函数值，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.
探究点一 诱导公式五
(1)诱导公式五的提出：
在直角三角形中，根据正弦、余弦的定义、
完成下列填空：
sin α＝ ，cos α＝ ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
－α＝ . 根据上述结论，你有什么猜想？
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ；cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α＝ . (2)诱导公式五的推导：
答 角α的终边与π2
－α的终边关于直线y ＝x 对称． 问题1 若α为任意角，那么π2
－α的终边与角α的终边有怎样的对称关系？ 问题2 设角α与单位圆交于点P (x ，y )，则π
2
－ α与单位圆交于点P ′，写出点P ′的坐标．
答 P ′(y ，x )．
问题3 根据任意角三角函数的定义，完成下列填空：
sin α＝ ，cos α＝ ；
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ . 所以，对任意角α都有：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α＝ .
探究点二 诱导公式六
(1)诱导公式六：
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝ . (2)诱导公式六的推导：
思路一 根据π2＋α＝π2
－(－α)这一等式，利用诱导公式三和诱导公式五推导诱导公式六． 答 sin(π2＋α)＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2－－α＝cos(－α)＝cos α； cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2－－α＝sin(－α)＝－sin α. 思路二 根据π2＋α＝π－⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α这一等式，利用诱导公式四和诱导公式五推导诱导公式六． 答 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α＝cos α， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α ＝－sin α，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－sin α. 探究点三 诱导公式的理解、记忆与灵活应用
公式一～四归纳：α＋2k π(k ∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于角α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限”．
公式五～六归纳：π2
±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变正、符号象限定”．
六组诱导公式可以统一概括为“k ·π2
±α(k ∈Z)”的诱导公式．当k 为偶数时，函数名不改变；当k 为奇数时，函数名改变；然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．请你根据上述规律，完成下列等式：
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32π－α＝ ， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝ ，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32π＋α＝ . 你能根据相关的诱导公式给出上述等式的证明吗？
答 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α ＝－cos α；
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α ＝－sin α；
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2
＋α ＝－cos α； cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α ＝sin α.
【典型例题】
例1 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，π2≤α≤3π2，求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋2π3的值． 解 ∵α＋2π3＝⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2， ∴sin(α＋2π3)＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 小结 利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要注意沟通已知条件中的角和问题结论中角之间的联系，注意π6＋α与π3－α，π4－α与π4
＋α等互余角关系的识别和应用．
跟踪训练1 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π3的值． 例2 求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋32π＝π＋θ＋1π＋θ－1
. 证明 ∵左边＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ()－sin θ－11－2sin 2θ
＝－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ
＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin θ－11－2sin 2θ
＝
－2sin θcos θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ ＝θ＋cos θ
2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ
右边＝tan θ＋1tan θ－1
＝sin θcos θ＋1sin θcos θ
－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ. ∴左边＝右边，故原等式成立．
小结 三角函数恒等式的证明过程多数是化简的过程，一般是化繁为简，可以化简一边，也可以两边都化简，同时注意诱导公式的灵活应用，避免出现符号错误．
跟踪训练2 π－απ＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫112π－απ－απ－α－π－α⎝ ⎛⎭⎪⎫92π＋α.
例3 已知sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫52π－θ＝72，求sin 4⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－θ＋
cos 4⎝ ⎛⎭
⎪⎫32π＋θ的值． 解 ∵sin(5π－θ)＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫52π－θ ＝sin(π－θ)＋sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2－θ ＝sin θ＋cos θ＝72， ∴sin θcos θ＝12
[(sin θ＋cos θ)2－1] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫722－1＝38
， ∴sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos 4⎝ ⎛⎭
⎪⎫32π＋θ＝cos 4θ＋sin 4θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ
＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫382＝2332
. 小结 解答本题时，应先利用诱导公式将已知式子和所求式分别化简，再利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值．
跟踪训练3 已知sin(θ－32π)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋θ＝35，求sin 3⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋θ －cos 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2
－θ. 1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3的值为 ( )
A ．－233
B ．233
C ．13
D ．－13
2．已知sin(α－180°)－sin(270°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·
sin(270°＋α)用m 表示为 ( )
A.m 2－12
B.m 2＋12
C.1－m 22 D ．－m 2＋12
3．代数式sin 2(A ＋45°)＋sin 2
(A －45°)的化简结果是______．
4．已知f (α)＝α－3ππ－α－α＋32π
－π－α－π－α
. (1)化简f (α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－32π)＝15
，求f (α)的值． 1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k ·π2
±α(k ∈Z)”的诱导公式．当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式统一成“k ·π2
±α(k ∈Z)”后，记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”.
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。