四川省遂宁市射洪中学2020届高三上学期零诊模拟试题 数学(文)【含答案】

四川省遂宁市射洪中学2020届高三上学期零诊模拟试题
数学（文）
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题有且只有一个正确选项。

）
1．已知全集U ＝R ，集合{}
2
02,{0}A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为( )
A ．(1](2,)-∞⋃+∞，
B ．(0)(12)-∞⋃，，
C ．[1
)2， D ．(1
2]， 2．设121i
z i i
-=++，则=+z —
z （ ） A ．1i --
B ．1i +
C ．1i -
D ．1i -+
3．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a =++，则72S =（ ）
A ．2
B ．7
C ．14
D ．28
4．已知2
sin cos 3
αα+=
，则sin 2α=（ ） A ．79-
B ．29-
C ．2
9 D ．
7
9
5.已知定义在R 上的函数()f x 在()0,+∞单调递减，且满足对R x ∈∀，都有0)()(=--x f x f ，则符合上述条件的函数是( )
A ．()2
1f x x x =++
B ．x
2
1)(）（=
x f C ．()ln 1f x x =+
D ．()cos f x x =
6．已知定义在上的函数()f x 满足(3)(3)f x f x -=+，且函数()f x 在（0，3)上为单调递减函数，若
0.5ln 422,log 3,a b c e -===，则下面结论正确的是（ ）
A. ()()()f a f b f c << B ()()()f c f a f b <<. C. ()()()f c f b f a << D. ()()()f a f c f b <<
7．已知0,
0a b >>，若不等式
b
a n
b a 313+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A ．9
B ．12
C ．16
D ．20
8．函数|
|cos 3x e x y -=的图象可能是（ ）
9．在由正数组成的等比数列{}n a 中，若3453a a a π
=，则()313237sin log log log a a a ++⋯+的值为 ( )
A ．
12
B ．3
C ．12
-
D ．
32
10.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形
ABCDEFGH ，其中||1OA =，则给出下列结论：
①2
2-
=•； ②2OB OH OE +=-； ③ AH 在AB 向量上的投影为
22
-。

其中正确结论的个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
11．已知定义在R 上的函数()[)
[)
22
2,0,12,1,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=,若方程()20f x kx --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值集合是（ ）
A ．}1,31
{ B ．}31,31{- C ．}1,1{- D ．}3
1,1{--
12．已知定义在R 上的奇函数()f x ，对任意1x 、[)20,x ∈+∞且12x x ≠，都有
0)
()(2
121<--x x x f x f ，若不等式(ln 1)f ax x --()1f ≥对]3,1[∈∀x 恒成立，则实数的取值范围是（ ） A ．]2,(-∞
B ．]3
3
ln 2,
0(+ C ．]2,0( D ．]3
3
ln 2,
(+-∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）
13．曲线ln ()x f x x
=
在x e
=时的切线方程为 . 14．《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一
尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是：“有两只老鼠从墙的
两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果一墙厚10尺，请问两只老鼠最少在第______天相遇．
15.已知函数
()()()2sin 0f x x ωϕω=+>满足24f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()0f π=，且()f x 在区间,43ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单
调，则ω的最大值为_________.
16．已知函数
a x x x f 32)(2
+-=，
12
)(-=
x x g ．若对]3,0[1∈∀x ，总]3,2[2∈∃x ，使得)()(21x g x f ≤成
立，则实数的取值集合为____．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。

） 17．（本小题10分）已知数列
{}n a 中，1
2n n a
a +-= 且 1239a a a ++=，.
（1）求
{}n a 的通项公式；
（2）求{
}2n
n a +的前n 项和n S .
18．（本小题12分）如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒，//CD AB ,2,1AB AD CD ===，将
ADC ∆沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示.
（1）求证:平面ACD ；
（2） 求几何体D ABC -的体积.
19.（本小题12分）已知函数2()cos 2cos 2()3
f x x x x R π⎛
⎫
=-
-∈ ⎪⎝
⎭
(1)求函数()f x 的单调递增区间；
(2)ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3
()2B f =-，1b =，3c =，且a b >，试求角B 和角C .
20．（本小题12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．
（Ⅰ）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如右列联表：能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？
（Ⅱ）下图是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的折线图：
请结合图形和所给数据求违章驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx
a =+，并预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数。

附注：参考数据：
51
=500i
i y =∑，5
1
=1415i i
i x y =∑.
参考公式：
() 1
2
1
()y
()
n
i i
i
n
i
i
x x y
b
x x
∧
=
=
--
=
-
∑
∑
，a y b x
∧∧
=-，
()
()()()()
2
2
n ad bc
k
a b c d a c b d
-
=
++++
（其中n a b c d
=+++）
()
2
P K k
≥0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．（本小题12分）已知椭圆()
22
122
:10
x y
C a b
a b
+=>>的左、右焦点为1F、2F，1222
F F=，若圆Q方程()()
22
211
x y
-+-=，且圆心Q在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆1
C的方程；
（Ⅱ）已知直线
1
:21
l y x
=-+交椭圆1C于A、B两点，过直线1l上一动点P作与1l垂直的直线2l交圆Q 于C、D两点，M为弦CD中点，MAB
△的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明你的理由．
22．（本小题12分）已知函数()ln1()
f x ax x a R
=--∈.
（1）讨论()
f x的单调性并指出相应单调区间；
（2）若2
1
())
1(
2
g x x x
x f
---
=，设()
1212
,x x x x
<是函数()
g x的两个极值点，若
3
2
a≥，且
()()
12
g x g x k
-≥恒成立，求实数k的取值范围.
答案
一．选择题： DBDAB CBBDB CD 二．填空题：
13.
e y 1=
； 14. 4 ； 15. 334 ； 16. ]
31
,(--∞ 。

三．解答题： 17.解：（1）
12n n a a +-=，∴等差数列{}n a 的公差为2，………………2分
()()1231111222369a a a a a a a ∴++=++++⨯=+=，解得11a =，………2分
因此，()12121n
a n n =+-=-；………………5分
（2）()2
212n
n n a n ∴+=-+，
)2222()]12(531[]
2)12[()23()23()21(321321n n n n n S +++++-++++=+-+++++++= ()()2
1212
12122212
n
n n n n
+-+-=+
=+--，
因此，2122n n
S n +=+-.………………5分
18．（1）证明：在图1中，由题意知，AC=BC=22==BC AC ，
∴AC 2
+BC 2
=AB 2
，∴AC⊥BC………………2分
取AC 中点O ，连接DO ，则DO ⊥AC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，
且平面ADC ∩平面ABC=AC ，DO ⊂平面ACD ，从而OD ⊥平面ABC ，………………4分 ∴OD⊥BC
又AC ⊥BC，AC∩OD=O，
∴BC⊥平面ACD ………………6分
（2）解：由（1）知，BC 为三棱锥B ﹣ACD 的高， 且BC=
，S △ACD =×1×1=，………………3分
∴三棱锥B ﹣ACD 的体积为：=
6
2
，即为所求体积。

………………3分
19.解： （1）
233()cos 2cos 22cos 2323223f x x x x x x ππ⎛
⎫⎛
⎫=-
-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
…………3分
∴故函数
()f x 的递增区间为
5,()1212k k k ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦Z .………………5分 （2）313sin 2332B f B B ππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-=∴-=-
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭， 20,,,33
3366
B B B B π
π
ππππ
π<<∴-
<-
<
∴-=-=即， ………………7分 由正弦定理得：13
sin sin sin 6
a A C π==
，
3
sin C ∴=
，0C π<<，3C π∴=或23π.………………9分
当3
c π
=
时，2A π
=
：………………10分
当23C π=时，6
A π=（与已知a b >矛盾，舍）…………11分
所以,6
3
B C π
π
=
=
.即为所求………………12分
20．解：
（I ）由列联表中数据，计算22
50(221288)50
5.556 5.024*********
K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，………………2分
由此能判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关………………4分 （II ）利用所给数据，计算x ＝
1
5
×（1+2+3+4+5）＝3，………………5分 y ＝15
×
5
1
500i
i y
==∑＝100；………………6分
()
5
1
5
2
1
5
15
2
2
1
()y ()55i
i i i
i i i
i i
i x
x y x
x x y
xy
b x
x ====--=
--=
-∑∑∑∑=
2
141553100
5553-⨯⨯-⨯=8.5-………………8分
a y bx =-＝100﹣（﹣8.5）×3＝125.5；………………9分
∴y 与x 之间的回归直线方程8.5125.5y x =-+；………………10分
当7x =时，ˆ8.57125.566y
=-⨯+=， 即预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员有66人．………………12分 21．解：（Ⅰ）由题意可知：()12,0F -，)2
2,0F ，)
2,1Q
，2c =
2分
12242a QF QF a ∴=+=⇒=，………………3分
2
2
2
2b a c ∴=-=，∴椭圆1C 的方程为22
142x y
+
=………………4分 （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由22
21
24y x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩
消去y ，得254220x x --=，………………6分
21266
15
AB k x ∴=+-=
………………7分 M 为线段CD 中点，MQ CD ∴⊥，………………8分
又
12l l ⊥，//MQ AB ，MAB
QAB
S
S
∴=，………………9分
又点Q 到1l 的距离2
2211
223
3
1
d ⨯+-=
=
+，………………10分 162
25
MAB S AB d ∆∴=
⋅=
………………12分 22．解：（Ⅰ）由()ln 1f x ax x =--， (0,)x ∈+∞，则11
()ax f x a x x
'
-=-
=， ………………1分 当0a ≤时，则()0f x '
≤，故()f x 在(0,)+∞上单调递减；………………2分
当0a >时，令1()0f x x a '
=⇒=，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.………………3分
综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减； 当0a >时，()f x 在10,a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增.………………4分
（2）∵21()ln (1)2g x x x a x =+-+，21(1)1
()(1)x a x g x x a x x
-++'=+-+=，………………5分
由()0g x '=得2
(1)10x a x -++=，
∴121x x a +=+，121=x x ，∴21
1
x x =
………………6分 ∵32a ≥ ∴11
1
11521
0x x x x ⎧+≥⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩
解得1102x <≤ ………………7分
∴()()()()22
2112121211221111ln (1)2ln 22x g x g x x x a x x x x x x ⎛⎫-=+--+-=-- ⎪⎝⎭
………………8分 设2211()2ln 2h x x x x ⎛⎫=-
- ⎪⎝⎭ 102x ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭
， 则()
2
23
3
1
21()0x h x x x x
x
'--=--=< ………………9分
∴()h x 在10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
上单调递减；………………10分
当112x =时，min 115
()2ln 228
h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ………………11分
∴152ln 28k ≤-，即所求k 的取值范围为]2ln 28
15
,(--∞………………12分。