高考数学(文)试题及答案

∴ {e an } 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列 .
∴ ea1 ea 2 L
ean eln 2 eln 22 L
eln 2n
=2 22 L 2n
=2n 1 2 .
∴ ea1 ea 2 L ean =2 n 1 2 .
16.（共 13 分）
1 cos2x
f (x)
解：（ Ⅰ）
2
3 sin 2x
那么哪类电影的好评
率增加 0.1， 哪类电影的好评率减少 0.1， 使得获得好评的电影总部数与样本中的电
影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
（18）（本小题 14 分） 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， 底面 ABCD 为矩形， 平面 PAD ⊥平面 ABCD ， PA ⊥ PD， PA=PD， E， F 分别为 AD ， PB 的中点 .
y1
)，
同理可得 D ( 7 x2
12 ,
y2
)．
4 x1 7 4 x1 7
4x2 7 4 x2 7
uuur
7
1
uuur
7
1
故 QC ( x3 , y3 ) ， QD (x4 , y4 ) ，
4
4
4
4
因为 Q, C, D 三点共线，
所以 (x3
7 )( y4
1 )
(x4
7 )( y3
1 )
0，
4
4
4
P 在其中一段上， 所在的圆弧是
角 以 O??为始边， OP 为终边， 若 tan
cos sin ， 则 P
（ A ） ?AB
（B ） C?D
（ C） E?F
（D ） G? H
（8）设集合 A {( x, y) | x y 1,ax y 4, x ay 2}, 则
（A ）对任意实数 a， (2,1) A
∵底面 ABCD 为矩形， ∴ BC∥AD ，
∴ PE BC .
（Ⅱ）∵底面 ABCD 为矩形， ∴ AB AD .
∵平面 PAD 平面 ABCD ， ∴ AB 平面 PAD .
∴ AB PD .又 PA PD ，
∴ PD 平面 PAB ， ∴平面 PAB 平面 PCD .
（Ⅲ）如图， 取 PC 中点 G ， 连接 FG , GD .
2
3 sin 2x
1 cos2 x
1
sin(2 x
π)
1
2
2
2
6 2，
所以 f ( x) 的最小正周期为 T
2π π
2
.
π1
f (x) sin(2 x )
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
6 2.
π
π 5π
π
x [ ,m]
2x
[ ,2m ]
因为
3 ， 所以
6
6
6.
π
3
π
π
[ , m]
sin(2 x ) [ , m]
要使得 f ( x) 在 3 上的最大值为 2 ， 即
（10）已知直线 l 过点（ 1,0）且垂直于 ?轴? ， 若 l 被抛物线 y2 4ax 截得的线段长为 4， 则
抛物线的焦点坐标为 _________.
（11）能说明 “若 a﹥b，
1
则
1
”为假命题的一组 a， b 的值依次为 _________.
ab
（12）若双曲线 x2 a2
y2 4
1(a 0) 的离心率为
三、解答题
15．（共 13 分）
解：（ I ）设等差数列 { an} 的公差为 d ，
∵ a2 a3 5ln 2 ，
∴ 2a1 3d 5ln 2 ， 又 a1 ln 2 ， ∴ d ln 2 .
∴ an
a1
(n 1)d
n ln 2
.
（ II ）由（ I）知 a n n ln 2 ，
∵ ean
en ln 2 eln 2n =2 n ，
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普通高等学校招生全国统一考试
数学（文） （北京卷）
本试卷共 5 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，
卷上作答无效。考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回。
在试
第一部分 （选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分。在每小题列出的四个选项中，
4
将点 C , D 的坐标代入化简可得
y1 y 2 1 x1 x2 ， 即 k 1 .
19. （ 13 分）
2
x
解：（Ⅰ）因为 f (x) [ax (3a 1)x 3a 2]e ，
所以 f ( x) [ ax2 (a 1)x 1]ex .
f (2) (2 a 1)e2 ，
1
由题设知 f (2)
0，
即 (2 a 1)e2
（A） 3 2 f
（B ） 3 22 f
（ C） 12 25 f
（D ） 12 27 f
（ 6）某四棱锥的三视图如图所示，
在此四棱锥的侧面中， 直角三角形的个数为
（A ）1 （C）3
（B）2 （D ） 4
（7）在平面直角坐标系中， ?AB, C?D, E?F ,G? H 是圆 x2 y2 1 上的四段弧 （如图） ， 点
（Ⅰ）求证： PE⊥ BC；
（Ⅱ）求证：平面 PAB⊥平面 PCD ； （Ⅲ）求证： EF∥平面 PCD .
（19）（本小题 13 分）
设函数 f ( x) [ax 2 (3a 1)x 3a 2]ex . （ Ⅰ ）若曲线 y f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 0， 求 a； （ Ⅱ ）若 f ( x) 在 x 1 处取得极小值， 求 a 的取值范围 .
5 ， 则 a=_________. 2
（13）若 ?,?y 满足 x 1 y 2x ， 则 2y- ??的最小值是 _________.
（14）若 △ABC 的面积为
3 (a 2 c2 b2 ) ,且∠ C 为钝角，
c
则∠ B=_________ ； 的取
4
a
值范围是 _________.
三、解答题共 6 小题， 共 80 分。解答应写出文字说明， （15）（本小题 13 分）
1
∵ F ,G 分别为 PB 和 PC 的中点，
FG ∴ FG∥BC ， 且
BC 2.
∵四边形 ABCD 为矩形， 且 E 为 AD 的中点，
1

ED∥ BC , DE BC
∴
2，
∴ ED∥FG ， 且 ED FG ， ∴四边形 EFGD 为平行四边形，
∴ EF∥GD .
又 EF 平面 PCD ， GD 平面 PCD ， ∴ EF ∥ 平面 PCD .
（ Ⅱ ）若 f ( x) 在区间 [
, m] 上的最大值为
3
，
求 m 的最小值 .
3
2
（17）（本小题 13 分）
电影公司随机收集了电影的有关数据，
经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4
0.2
0.15
0.25
0.2
0.1
（ 5）“十二平均律 ”是通用的音律体系， 明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，
为
这个理论的发展做出了重要贡献 .十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，
依次得
到十三个单音， 从第二个单音起， 每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的
比都等于 12 2 .若第一个单音的频率为 f， 则第八个单音的频率为 学科 #网
（ C）第三象限
（ D）第四象限
（3）执行如图所示的程序框图，
输出的 s 值为
选出符
（A） 1 2
（C） 7 6
5
（B）
6 7
（D ）
12
（4）设 a,b,c,d 是非零实数， （ A ）充分而不必要条件 （ C）充分必要条件
则 “ad=bc ”是 “a,b,c,d 成等比数列 ”的 （B ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件
20．（共 14 分）
【解析】（Ⅰ）由题意得 2c 2 2 ， 所以 c 2 ，
又e c a
6 ， 所以 a 3
3 ， 所以 b 2 a 2 c 2 1，
所以椭圆 M 的标准方程为 x 2 y2 1 ． 3
（Ⅱ）设直线 AB 的方程为 y x m ，
y xm
由
2
x
y2
消去 y 可得 4 x2 1
6mx 3m2 3
.
（Ⅱ）方法一：由题意知，
样本中获得好评的电影部数是
140 ×0.4+50 ×0.2+300 ×0.15+200 ×0.25+800 ×0.2+510 ×0.1
=56+10+45+50+160+51
=372.
372
1
0.814
故所求概率估计为
2000
.
方法二：设“随机选取 1 部电影 ,这部电影没有获得好评”为事件 B.
由 x2
y2
消去 y 可得 (1 3k12 ) x2 1
12k12x 12k12
3
0，
3
则 x1 x3
12k12 1 3k12
，
即 x3
12k12 1 3k12
x1 ，
又 k1
y1 ， 代入①式可得 x3 x1 2
7 x1
12
，
所以 y3
4 x1 7
y1 ， 4 x1 7
所以 C (
7 x1
12 ,
（20）（本小题 14 分）
已知椭圆
M
x2 : a2
y2 b2
1(a b 0) 的离心率为
6 ， 焦距为 2 2 .斜率为 k 的直线 3
l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A， B. （Ⅰ）求椭圆 M 的方程；
（ Ⅱ ）若 k 1 ， 求 |AB |的最大值；
（ Ⅲ ）设 P( 2,0) ， 直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C， 直线 PB 与椭圆 M 的 另一个交点为 D.若 C,D 和点 Q ( 7 , 1 ) 共线， 求 k.
合题目要求的一项。
（1）已知集合 A={( ??||??|<2)}, B={-2,0,1,2}, 则 A I B
（ A ）{0,1}
（B ） {-1,0,1}
（ C） {-2,0,1,2}
（D ） {-1,0,1,2}
（2）在复平面内， （ A ）第一象限
复数 1 的共轭复数对应的点位于 1i
（B ）第二象限
0，
3
则
36m2
4 4(3m2
3)
48 12m2
0，
2
即m
4，
设 A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ， 则 x1 x2
3m
3m2 3
，
2
x1 x2
，
4
则 | AB | 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2 ( x1 x2) 2 4 x1x2
6 4 m2 ， 2
易得当 m2 0 时， | AB |max 6 ， 故 | AB | 的最大值为 6 ．
（B ）对任意实数 a， （2,1） A
（C）当且仅当 a<0 时 ,（ 2,1） A
（D ）当且仅当 a
3
时 ,（ 2,1）
A
2
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题， 每小题 5 分， 共 30 分。
（9）设向量 a=（ 1,0）， b=（ - 1,m） ,若 a (ma b) ， 则 m=_________.
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值
.
（Ⅰ） 从电影公司收集的电影中随机选取 1 部， 求这部电影是获得好评的第四类电影
的概率；
（Ⅱ）随机选取 1 部电影， 估计这部电影没有获得好评的概率；学科 %网
（Ⅲ） 电影公司为增加投资回报，
拟改变投资策略， 这将导致不同类型电影的好评
率发生变化 .假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，
44
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文科数学试题参考答案
一、选择题 （1） A （2） D （3） B （4） B （5） D （6） C （7） C （ 8） D 二、填空题
（9） 1 （11） 1 1 （答案不唯一）
（10） (1,0)
（12） 4
（13） 3
（14） 60 (2, )
设 { an} 是等差数列， 且 a1 ln 2, a2 a3 5ln 2 .
演算步骤或证明过程。
（ Ⅰ ）求 { an} 的通项公式；
（ Ⅱ ）求 ea1 ea2 L ean .
（16）（本小题 13 分）
已知函数 f ( x) sin 2 x 3 sin x cos x .
（ Ⅰ ）求 f ( x) 的最小正周期；
（Ⅲ）设 A( x1, y1) ， B( x2 , y2 ) ， C (x3, y3 ) ， D ( x4 , y4) ， 则 x12 3 y12 3 ①， x22 3y22 3 ②，
又 P( 2,0) ， 所以可设 k1 kPA
y1 ， x1 2
直线 PA 的方程为 y
k1 (x
2) ，
y k1 (x 2)
没有获得好评的电影共有 140×0.6+50 ×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628
部.
1628
P( B)
0.814
由古典概型概率公式得
2000
.
（Ⅲ）增加第五类电影的好评率 , 减少第二类电影的好评率 .
18.（共 14 分）
【解析】（Ⅰ）∵ PA PD ， 且 E 为 AD 的中点， ∴ PE AD .
6 在 3 上的最大值为
1.
ππ
π
2m
m
所以
6 2， 即 3.
π 所以 m 的最小值为 3 .
17.（共 13 分） （Ⅰ）由题意知， 样本中电影的总部数是 140+50+300+200+800+510=2000. 第四类电影中获得好评的电影部数是 200×0.25=50，
50
0.025
故所求概率为 2000