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专升本高等数学公式
一、求极限方法：
1、当Y 趋于常数0x 时的极限：
02
2
00x x lim(ax bx c)ax bx c →++=++；0000
0ax b
cx d ax b lim
cx d cx d x x ++≠+−−−−−−→++→当； 00000cx d ,ax b ax b lim cx d
x x +=+≠+−−−−−−−−−−−→∞+→当但； 2220020ax bx f cx dx e ,ax bx f lim x x cx dx e
++++=++=−−−−−−−−−−−−−−→→++当且可以约去公因式后再求解。

2、当Y 趋于常数∞时的极限：
11n n ax bx f n m,lim {m m x cx dx e
n
m
-++⋅⋅⋅+>=∞−−−−−−−−−−−−−−−→-→∞++⋅⋅⋅+只须比较分子、分母的最高次幂若则。

若n<m,则=0。

若n=m,则=。

3、可以使用洛必达发则：
0f (x)f (x)x f (x)g(x)lim lim g(x)g (x)x x '→∞→∞−−−−−−−−−−−−−−−→'→∞→∞
当时，与都或；对0x →也同样成
立。

而且，只要满足条件，洛必达发则可以多次使用。

二、求导公式：
1、0c '=；
2、1n n (x )nx -'=；
3、x x (a )a lnx '=；
4、x x (e )e '=；
5、1
(log x)a xlna
'=
6、1
(ln x)x
'=；7、(sinx)cos x '=；8、(cos x)sinx '=-；9、2(tan x)sec x '=
10、2(cot x)csc x '=-；11、(secx)secxtan x '=；12、(cscx)cscxcot x '=-
13、21(arcsin x)x '=-；14、21(arccos x)x
'=-；15、21
1(arctan x)x '=+；16、2
1
1(arccot x)x '=-+；17、(shx)chx '=；18、(chx)shx '=；19、2(thx)ch x -'=；20、21(arshx)x '=+；21、21
(archx)x '=-22、21
1(arthx)x '=-； 三、求导法则：(以下的5、7、8三点供高等数学本科的学员参阅) 1、(u(x)v(x))u (x)v (x)'''±=±；2、(kv(x))kv (x)''=；
3、(u(x)v(x))v(x)u (x)v (x)u(x)'''⋅=+；
4、2u(x)u (x)v(x)v (x)u(x)
()v(x)v (x)
''-'= 4、复合函数y f[]ϕ
=（x ）的求导：f []=f (u)u (x),u=(x)ϕϕ'''（x ）其中。

5、莱布尼茨公式：0
(n )
k (n k )(k )
n n (uv)=u v k c -∑=。

6、隐函数求导规则：等式两边同时对Y 求导，遇到含有Y 的项，先对Y 求导，再乘以Y 对Y 的导数，得到一个关于y '的方程，求出y '即可。

7、参数方程x g(t)
{y f (t)==的求导：dy f (t)dx g (t)'='；2
2f (t)f (t)
d
()d y g (t)g (t)dx dx dx
dt
'''''==
，高阶导数依次类推，分母总是多一个dx
dt
，这一点和显函数的求导不一样，要注意！
四、导数应用：
1、单调性的判定：导数大于零，递增；导数小于零，递减。

2、求极值的步骤：
方法一：求导、求驻点及使导数不存在的点、划分区间画图表判断、代入求值。

方法二：求导、求驻点及使导数不存在的点、判断二阶导在上述点的值的符号，二阶导小于零，有极大值，二阶导大于零，有极小值。

4、求最值的步骤：
求导、求驻点及使导数不存在的点、求出上述点处的函数值并进行比较、最大的即是最大值，最小的是最小值。

5、凸凹的判定：二阶导大于零则为凹；二阶导小于零则是凸。

6、图形描绘步骤：
确定定义域、与Y 轴的交点及图形的对称性；求出一阶导、二阶导及各自的根；划分区间列表判断以确定单调性、极值、凸凹及拐点；确定水平及铅直渐近线；根据上述资料描画图形。

五、积分公式：
1、kdx kx c =+⎰；
2、111x dx x c ()μμμ+=
+⎰+；3、1
dx ln x c x
=+⎰；4、x x e dx e c =+⎰；5、1x x
a dx a c lna
=+⎰；6、cos xdx sin x c =+⎰7、sin xdx cos x c =-+⎰；
8、tan xdx ln|cos x|c =-+⎰；9、cot xdx ln|sin x|c =+⎰；10、csc xcot xdx csc x c =-+⎰ 11、sec xtan xdx sec x c =+⎰；12、2sec xdx tan x c =+⎰；13、2csc xdx cot x c =-+⎰；
14、shxdx chx c =+⎰；15、chxdx shx c =+⎰；16、secxdx ln |secx tan x |c =++⎰
；
17、cscxdx ln |cscx cot x |c =-+⎰；18、21
1
dx arctan x c x =+⎰
+； 19、21dx arcsin x c x =+⎰-；20、22110x dx arctan c,(a )a x a a =+>+⎰； 21、221102a x dx ln ||c,(a )a x a a x +=+>--⎰；22、22
x
arcsin c a a x
=+⎰-； 23、21arcsinxdx xarcsinx x c =-⎰；24、21arccosxdx xarccosx x c =-+⎰； 25、21arctanxdx xarctanx x c =--⎰；26、21arccot xdx xarccot x x c =+-⎰； 27、udv uv vdu =-⎰⎰；
六、定积分性质：
1、
b
b a a
kf(x)dx k f(x)dx =⎰
⎰；2、b b b
a
a
a
[f(x)g(x)]dx f(x)dx g(x)dx ±=+⎰⎰⎰
3、b
c b a
a
c
f(x)dx f(x)dx f(x)dx =+⎰
⎰⎰；4、b
a
dx b a =-⎰；5、b a f(x)dx f(x)dx a b
=-⎰⎰；
6、
b
a
f(x)dx f()(b a),(a,b)ξξ=-∈⎰
；
7、udv uv vdu =-⎰⎰；
8、x
a (f(t)dt)f(x)'=⎰；9、020
x a f(x)dx {a x a f(x)dx −−−−−−→=⎰-−−−−−−→⎰是偶函数是奇函数；
10、b
b b udv (uv)|vdu a
a
a =-⎰⎰；11、
b f(x)dx lim f(x)dx a a
b +∞=⎰⎰→+∞
； 12、c b f(x)dx lim f(x)dx lim f(x)dx a c
a b +∞=+⎰⎰⎰-∞→-∞→+∞
； 七、多元函数
1、N 维空间中两点之间的距离公式：1212,,,n ,,,n p(x x ...x ),Q(y y ...y )的距离
2221122n n PQ (x y )(x y )...(x y )=-+-++-
2、多元函数z f(x,y)=求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时看作常量。

比
如，z x
∂∂表示对Y 求偏导，计算时把Y 当作常量，只对Y 求导就可以了。

3、高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即22z z
x y y x
∂∂=∂∂∂∂。

4、多元函数z f(x,y)=的全微分公式：z z dz dx dy x y
∂∂=+∂∂。

5、复合函数z f(u,v),u (t),v (t)φϕ===，其导数公式：dz z du z dv
dt u dt v dt
∂∂=+
∂∂。

6、隐函数F(Y,Y)=0的求导公式：X y
F dy
dX F '=-'，其中x y F ,F ''分别表示对Y,Y 求偏导数。

7、求多元函数z=f(Y,Y)极值步骤：
第一步：求出函数对Y,Y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的Y,Y 的值 第二步：求出000000xx xy yy f (x ,y )A,f (x ,y )B,f (x ,y )C ===
第三步：判断AC-B 2
的符号，若AC-B 2
大于零，则存在极值，且当A 小于零是极大值，当A
大于零是极小值；若AC-B 2小于零则无极值；若AC-B 2
等于零则无法判断 8、双重积分的性质： （1）(,)(,)D
D
kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰
（2）[(,)(,)](,)(,)D
D
D
f x y
g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(3)
1
2
(,)(,)(,)D
D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(4)若(,)(,)f x y g x y <，则(,)(,)D
D
f x y d
g x y d σσ<⎰⎰⎰⎰
（5）
D
d s σ=⎰⎰，其中s 为积分区域D 的面积
（6）(,)m f x y M <<，则(,)D
ms f x y d Ms σ<<⎰⎰
（7）积分中值定理：
(,)(,)D
f x y d sf σεη=⎰⎰，其中(,)εη是区域D 中的点
11、双重积分总可以化简为二次积分（先对Y ，后对Y 的积分或先对Y ，后对Y 的积分形式）
2211()
()
()
()
(,)(,)(,)P x P y b
d
D
a
P x c
P y f x y d dx f x y dy dy
f x y dx σ==⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
，有的积分可以随意选择积分次序，
但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定
12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法
八、排列组合及概率公示
1、排列数公式：(1)(2)(1)m n P n n n n m =--⋅⋅⋅-+。

当m ＝n 时称作 全排列，且其排列总数的计算公式是(1)(2)1n n n --⋅⋅⋅，简记作n!。

2、组合公式：(1)(2)(1)
!
m m
n n m m P n n n n m C P m --⋅⋅⋅-+==。

特殊的，记1n n C =。

另有m n m n n C C -=，故记01n C =。

3、互斥事件：不能同时发生的事件。

互斥事件A 、B 中有一个发生的事件记作A+B ，其概率等于事件A 、B 概率之和，即P （A+B ）＝P （A ）+P （B ）。

相互独立事件：有A ，B 两个结果，且A 事件的发生与否与B 事件是否发生没有关系。

两个事件同时发生记作AB ，其概率是()()()p AB p A p B =。

相互独立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是相互独立事件。

4、n 次独立重复试验：设A 事件发生的概率是p ，则n 次试验中A 事件发生了k 次的概率是()(1)k k n k n p A C p p -=-。