井陉县高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

井陉县高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 在平面直角坐标系中，直线y=
x 与圆x 2+y 2﹣8x+4=0交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（ ）
A ．4
B ．4
C ．2
D ．2
2． （m+1）x 2﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）
C ．
D ．
3． 已知圆C 方程为222x y +=，过点(1,1)P -与圆C 相切的直线方程为（ ）
A ．20x y -+=
B ．10x y +-=
C ．10x y -+=
D ．20x y ++= 4． cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ）
A B ．12 C ．1
2
- D ．
5． 已知三次函数f （x ）=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图所示，则
=（ ）
A ．﹣1
B ．2
C ．﹣5
D ．﹣3
6． 函数y=f （x ）在[1，3]上单调递减，且函数f （x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（ ） A ．f （2）＜f （π）＜f （5） B ．f （π）＜f （2）＜f （5）
C ．f （2）＜f （5）＜f （π）
D ．f （5）＜
f （π）＜f （2）
7． 在下列区间中，函数f （x ）=（）x ﹣x 的零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3 ）
D ．（3，4）
8． 直线2x+y+7=0的倾斜角为（ ） A ．锐角 B ．直角 C ．钝角 D ．不存在
9． 集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，集合S=A ∩B ，则集合S 的子集有（ ） A ．2个 B ．3 个 C ．4 个 D ．8个
10．已知函数f （x ）=x 3+（1﹣b ）x 2﹣a （b ﹣3）x+b ﹣2的图象过原点，且在原点处的切线斜率是﹣3，则不
等式组所确定的平面区域在x 2+y 2
=4内的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．π
D ．2π
11．函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，
设(0)a f =，b f =，2(log 8)c f =，则（ ）
A ．a b c <<
B ．a b c >>
C ．c a b <<
D ．a c b << 12．如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
13．若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+
，
则当14
x y
+取最小值时，CM CN ⋅= （ ）
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
14．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a 为无理数，则在过点P （a ，﹣）的所有直线中（ ）
A ．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B ．恰有n （n ≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C ．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D ．每条直线至多过一个有理点
15．过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y 2
=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）
A ．
﹣
=1
B ．
﹣
=1 C ．﹣=1 D ．﹣=1
二、填空题
16．函数1
()lg(1)1f x x x
=
++-的定义域是 ▲ ． 17．若正数m 、n 满足mn ﹣m ﹣n=3，则点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离最小值是 ．
18．已知α为钝角，sin （+α）=，则sin （﹣α）= ．
19．设f （x ）是（x 2+）6
展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[
，]上恒成立，则实数m 的取值范
围是 ．
三、解答题
20．（本小题满分12分）已知函数1
()ln (42)()f x m x m x m x
=+-+∈R ． （1）当2m >时，求函数()f x 的单调区间； （2）设[],1,3t s ∈，不等式|()()|(ln3)(2)2ln3f t f s a m -<+--对任意的()4,6m ∈恒成立，求实数a 的
取值范围．
【命题意图】本题考查函数单调性与导数的关系、不等式的性质与解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力．
21．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （﹣1，1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率
之积等于﹣．
（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
22．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC．（I）求C的值；
（Ⅱ）若c=2a，b=2，求△ABC的面积．
23．已知函数f（x）=x|x﹣m|，x∈R．且f（4）=0
（1）求实数m的值．
（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间
（3）若方程f（x）=k有三个实数解，求实数k的取值范围．
24．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1
（Ⅰ）求f（x）在区间[0，]上的最大值；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）=1，a+c=2，求b的取值范围．
25．设不等式的解集为.
（1）求集合；
（2）若，∈，试比较与的大小。

井陉县高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：圆x 2+y 2﹣8x+4=0，即圆（x ﹣4）2+y 2
=12，圆心（4，0）、半径等于
2
． 由于弦心距
d==2，∴弦长为
2
=4
，
故选：A ．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
2． 【答案】C
【解析】解：不等式（m+1）x 2
﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立，
即（m+1）x 2
﹣（m ﹣1）x+3（m ﹣1）＜0对一切x ∈R 恒成立
若m+1=0，显然不成立 若m+1≠0，则
解得
a ．
故选C ．
【点评】本题的求解中，注意对二次项系数的讨论，二次函数恒小于0
只需．
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：圆心(0,0),C r =，设切线斜率为，则切线方程为1(1),10y k x kx y k -=+∴-++=
，由
,1d r k =∴=，所以切线方程为20x y -+=，故选A.
考点：直线与圆的位置关系． 4． 【答案】D 【解析】
试题分析：原式()()cos80cos130sin80sin130cos 80130cos210cos 30180cos30=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒
=． 考点：余弦的两角和公式.
5．【答案】C
【解析】解：由三次函数的图象可知，x=2函数的极大值，x=﹣1是极小值，
即2，﹣1是f′（x）=0的两个根，
∵f（x）=ax3+bx2+cx+d，
∴f′（x）=3ax2+2bx+c，
由f′（x）=3ax2+2bx+c=0，
得2+（﹣1）==1，
﹣1×2==﹣2，
即c=﹣6a，2b=﹣3a，
即f′（x）=3ax2+2bx+c=3ax2﹣3ax﹣6a=3a（x﹣2）（x+1），
则===﹣5，
故选：C
【点评】本题主要考查函数的极值和导数之间的关系，以及根与系数之间的关系的应用，考查学生的计算能力．
6．【答案】B
【解析】解：∵函数y=f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，
∴f（π）=f（6﹣π），f（5）=f（1），
∵f（6﹣π）＜f（2）＜f（1），
∴f（π）＜f（2）＜f（5）
故选：B
【点评】本题考查的知识点是抽象函数的应用，函数的单调性和函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
7．【答案】A
【解析】解：函数f（x）=（）x﹣x，
可得f（0）=1＞0，f（1）=﹣＜0．f（2）=﹣＜0，
函数的零点在（0，1）．
故选：A．
8．【答案】C
【解析】【分析】设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，则tanθ=﹣2，即可判断出结论．
【解答】解：设直线2x+y+7=0的倾斜角为θ，
则tanθ=﹣2，
则θ为钝角．
故选：C．
9．【答案】C
【解析】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，
∴集合S=A∩B={1，3}，
则集合S的子集有22=4个，
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合子集个数的求解，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．
10．【答案】B
【解析】解：因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0，即b=2．
则f（x）=x3﹣x2+ax，
函数的导数f′（x）=x2﹣2x+a，
因为原点处的切线斜率是﹣3，
即f′（0）=﹣3，
所以f′（0）=a=﹣3，
故a=﹣3，b=2，
所以不等式组为
则不等式组确定的平面区域在圆x2+y2=4内的面积，
如图阴影部分表示，
所以圆内的阴影部分扇形即为所求．
∵k OB=﹣，k OA=，
∴tan∠BOA==1，
∴∠BOA=，
∴扇形的圆心角为，扇形的面积是圆的面积的八分之一，
∴圆x2+y2=4在区域D内的面积为×4×π=，
故选：B
【点评】本题主要考查导数的应用，以及线性规划的应用，根据条件求出参数a ，b 的是值，然后借助不等式区域求解面积是解决本题的关键．
11．【答案】C 【解析】
考点：函数的对称性，导数与单调性．
【名师点睛】函数的图象是研究函数性质的一个重要工具，通过函数的图象研究问题是数形结合思想应用的不
可或缺的重要一环，因此掌握函数的图象的性质是我们在平常学习中要重点注意的，如函数()f x 满足：
()()f a x f a x +=-或()(2)f x f a x =-，则其图象关于直线x a =对称，如满足(2)2()f m x n f x -=-，
则其图象关于点(,)m n 对称． 12．【答案】C
【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱， 底面是一个边长是的等边三角形，
侧棱长是
，
∴三棱柱的面积是3××2=6+
，
故选C ．
【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．
13．【答案】D 【解析】
试题分析：由题知(1)CB BM CM CB xCA y =-=+- ，BA CA CB =-
；设B
M k B A = ，则,1x k y k =-=-，
可得1x y +=，当
14x y +取最小值时，()141445x y
x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，最小值在4y x x y =
时取到，此时21
,33y x ==，将()
1,CN 2CM xCA yCB CA CB =+=
+ 代入，则()22111233322233x y CM CN xCA yCB CA CB x y +⎛⎫⋅=++⋅=+=+= ⎪⎝⎭
.故本题答案选D.
考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式． 14．【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
由于
也在此直线上，
所以，当x 1=x 2时，有x 1=x 2=a 为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点； 当x 1≠x 2
时，直线的斜率存在，且有，
又x 2﹣a
为无理数，而为有理数，
所以只能是，且y 2﹣y 1=0，
即
；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是； 所以，正确的选项为C ． 故选：C ．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
15．【答案】A
【解析】
解：设所求双曲线方程为﹣y 2
=λ，
把（2，﹣2
）代入方程
﹣y 2
=λ，
解得λ=﹣2
．由此可求得所求双曲线的方程为．
故选A ．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．
二、填空题
16．【答案】()()1,11,-⋃+∞
考点：定义域
17．【答案】 ．
【解析】解：点（m ，0）到直线x ﹣y+n=0的距离为d=，
∵mn ﹣m ﹣n=3，
∴（m ﹣1）（n ﹣1）=4，（m ﹣1＞0，n ﹣1＞0），
∴（m ﹣1）+（n ﹣1）≥2，
∴m+n ≥6，
则d=≥3
．
故答案为：
．
【点评】本题考查了的到直线的距离公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题．
18．【答案】 ﹣ ．
【解析】解：∵sin （+α）=，
∴cos （﹣α）=cos[﹣（
+α）]
=sin （
+α）=，
∵α为钝角，即＜α＜π，
∴＜
﹣
，
∴sin （﹣α）＜0，
∴sin （﹣α）=﹣
=﹣
=﹣，
故答案为：﹣
．
【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．
19．【答案】 [5，+∞） ．
【解析】二项式定理．
【专题】概率与统计；二项式定理．
【分析】由题意可得 f （x ）=x 3，再由条件可得m ≥x 2
在区间[
，
]上恒成立，求得x 2在区间[
，
]
上的最大值，可得m 的范围．
【解答】解：由题意可得 f （x ）=x 6
=x 3．
由f （x ）≤mx 在区间[
，]上恒成立，可得m ≥x 2
在区间[
，
]上恒成立，
由于x 2
在区间[
，]上的最大值为 5，故m ≥5，
即m 的范围为[5，+∞）， 故答案为：[5，+∞）．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问
题，属于中档题．
三、解答题
20．【答案】
【解析】（1）函数定义域为(0,)+∞
令()0f x '=，得112x =
2分 当4m =时，()0f x '≤单调递减； …………3分
当24m <<时，由()0f x '>，得
所以函数()f x 当4m >时，由()0f x '>，得
5分 ()f x 的单调递增区间为
；当4m >时，函数()f x 2m -2
请
考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分． 21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为点B 与A （﹣1，1）关于原点O 对称，所以点B 得坐标为（1，﹣1）． 设点P 的坐标为（x ，y ）
化简得x 2+3y 2
=4（x ≠±1）．
故动点P 轨迹方程为x 2+3y 2
=4（x ≠±1）
（Ⅱ）解：若存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，设点P 的坐标为（x 0，y 0）
则
．
因为sin ∠APB=sin ∠MPN ，
所以
所以=
即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得
因为x02+3y02=4，所以
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（I）∵a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC，
∴sinCsinA=sinAcosC，∴sinCsinA﹣sinAcosC=0，
∴sinC=cosC，∴tanC==，
由三角形内角的范围可得C=；
（Ⅱ）∵c=2a，b=2，C=，
∴由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴4a2
=a2+12﹣4a•，解得a=﹣1+，或a=﹣1﹣（舍去）
∴△ABC的面积S=absinC==
23．【答案】
【解析】解：（1）∵f（4）=0，
∴4|4﹣m|=0
∴m=4，
（2）f（x）=x|x﹣4|=图象如图所示：
由图象可知，函数在（﹣∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减．（3）方程f（x）=k的解的个数等价于函数y=f（x）与函数y=k的图象交点的个数，由图可知k∈（0，4）．
24．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx+cosx）﹣1=2sinxcosx+2cos2x﹣1
=sin2x+2×﹣1
=sin2x+cos2x
=sin（2x+），
∵x∈[0，]，
∴2x+∈[，]，
∴当2x+=，即x=时，f（x）min=…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（B）=sin（+）=1，
∴sin（+）=，
∴+=，
∴B=，
由正弦定理可得：b==∈[1，2）…12分
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
25．【答案】（1）
（2）
【解析】（1）由
所以
（2）由（1）和，所以
故。