2022-2023学年江西省名校协作体联盟第二次联考模拟考试试卷+答案

机密★2023年4月8日
江西省名校协作体联盟第二次联考模拟考试
数 学 ( 理 科 )试 卷
题 号一
二
三
四
五
六
总分
累分人
座 位
号
得 分说明：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码 横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回
一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的。

1. 若z =(i +1)2023,则z 的虚部是
A ．21011
B ．-21011
C ．21011i
D ．-21011i
2. 已知A ：{y |y =(22x sin )ln }，B ：x ∈Z |(x -3)(x +3)≤0 ，
则A ⋂B 为 A ．1,-2,-3
B ．-1,2,3
C ．-3,-2,-1,0
D ．-3,-2,-1,1
3. 记全集为U ，p 为p 的否定，q 为q 的否定，且p 的必要条件是q 的必要条件,则
A ．存在q 的必要条件是q 的充分条件
B ．p ∪q =U
C ．任意q 的必要条件是p
的必要条件
D ．存在q
的充分条件是p 的必要条件
4. 2022北京冬奥会顺利召开,滑雪健将谷爱凌以2金1银的优秀成绩书写了自己的传奇，现在她从某斜坡上滑下,滑过一高度不计的滑板后落在另一斜坡上，若滑板与水平地面夹角的正正切值为2
3
,斜坡与水平地面夹角的正正切值为
4
3
,那么她最后落在斜坡上速度与水平夹角的正正切值为
(不计空气阻力和摩擦力)
A ．3
B ．
103
C ．
113
D ．4
5. 生物中DNA 转录为RNA 时服从碱基互补配对原则，即：A →U ，C →G ，G →C ，T →A ，但许多化学因子能修饰碱基，使其转录出不同的产物，比如X 标记处理后的碱基互补配对原则变为：A X →G ，C X →G ，G X →A ，T X →A ，现在小明将2个A ，两个C ，两个G ，两个T ，一个X 标记组成一个DNA 分子，则其转录出的RNA 有 种
A ．8400
B ．6720
C ．5880
D ．4200
6. 在直角△ABC ，中AC =2，∠C =90°，AB 上有一动点P ，将△ACP 沿CP 折起使得二面角A '-CP -B =60°，则当A 'B 最小值最小时，BC 为
A ．
3
2
B ．
83
C ．2
D ．
52
7. 李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞，而碰撞又分为有效碰撞和无效碰撞，李华有3个小球a 和3个小球b ，当发生有效碰撞时，a ，b 上的计数器分别增加2计数和1计数，a ，b 球两两发生有效碰撞的概率均为
1
2
，现在李华取三个球让他们之间两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2，则李华一开始取出的三个球里，小球a 个数的期望是 个
A ．1.2
B ．1.6
C ．1.8
D ．2
8.实数a ,b >0，满足：a 3+b 3+7ab =9,则a +b 的范围是
A ．2,
7
3
B ．[2,7
3
)
C ．2,39
D ．2,39
9. 在△ABC 中2A sin +B sin =2C sin ，则
5A sin +9
C
sin 的最小值为 A ．14
B ．16
C ．18
D ．20
10. 已知双曲线E ：x 2
a 2-y 2
b 2=1，其左右顶点分别为A 1，A 2，P 在双曲线右支上运动，若
∠A 1PA 2的角平分线交x 轴于D 点，A 2过PD 的对称点为A 3，若仅存在2个P 使A 3D 与E 仅有一个交点，则E 离心率的范围为
A
C
A '
B
P
A ．1,2
B ．2,2
C ．2,+∞
D ．2,+∞
11. a =2ln ，b =
1
3
3
，c =3ln -1
3
15
，则 A ．a >b >c
B ．b >a >c
C ．c >a >b
D ．b >c >a
12. f x =e x +1-e 1-x -ax -asinx +e a cos ，f x 上存在A ,B ,C ,D 四点使得四边形ABCD 为正方形，则a 的取值可以是以下的几个 ①3 ②e +1 ③4 ④e +2 ⑤5
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．平面向量a ，b ，c ，d 满足a =b =c =d =1，a +b +c =0，则d -a +d -b +
d -c 的取值范围为____。

14．若存在x 使a 22
x sin +a 2x cos ≥2，则a 的取值范围为 ____。

15．圆O ：x 2+y 2=4，P 3,4 过P 作圆O 的切线PM ，PN ，过P 作斜率为1的直线l 与圆O 交于点Q (Q 在△PMN 内)，线段MN 上有一点D 使∠DQN +∠PQM =180°，则D 的坐标为____。

16．若f x =x x -1x
ln +x x -2-e x ，设f x 的零点分别为x 1，x 2，⋯，x n ，则n =____，
n
i =1
x i =____。

其中a 表示a 的整数部分，
例如：2.1 =2，π =3) 三、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．12分
在△ABC 中，∠A ，∠B ,∠C 对应的边分别为a ，b ，c ，a =2，2B sin +2C sin -3B sin C sin =
1
4
1 若存在B ≥120°，
求A 2
在1 的条件下，若P 是△ABC 内一点，过P 作AB ,BC ,AC 垂线，垂足分别为D ，E ，
F ，求T =
AB PD
+
4BC PE +AC
PF
的最小值.
18．12分
正四棱锥P -ABCD 中，PA =AB =2，E 为PB 中点，AF =λAP ，CG =μCP
，面EFG ⋂面ABCD =l ，面EFG ∩AD =K
1 证明：
当面EFG ⏊面PBD 时，l ⊥面PBD 2
当λ=μ=
1
3
时，T 为P -ABCD 表面上一动点包括顶点 ，若有且仅有5个T 满足22|TP |2+TA 2+TB 2+TC 2+TK 2=m ，求m
19．12分
已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1，圆C ：x -1 2+y 2
=1，
圆C 与椭圆E 有且仅有三个交点，直线l 过点-23,0 与E 交于A ，B 两点，当l 斜率不存在时，AB =
42
3
1 求椭圆E 的方程
2 过A ，
B 分别作A
C ，B
D ，与圆C 相切交椭圆
E 分别于C ，D 两点，若k 2
CD =1
48
，求直线CD 20．12分 已知f x =
1x
2+2ax x ln +1a
ln 1 若a =1，
讨论f x 单调性2 若f x ≥1，求a 的范围21．12分
小刚在闲暇之时设计了如下一个"数列"a n 满足：a 1=1，当a n 为偶数时，a n +1=1，
当a n 为奇数时，a n +1有12的几率为a n +1，有1
2
的几率为a n +2
1 求a 5的分布列和数学期望
2 求a n 的前n 项和S n 的数学期望
四、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，
P B
E
C
G
F D
A
则按所做的第一题计分.
22极坐标与参数方程
．10分
研究某点轨迹时，数学上常常用向量来表示一个点。

例如：M是车轮边缘的一点，初始态在原点，车轮半径为r，轮子沿着x轴滚动，M点的轨迹(x,y)即为摆线
1 若以车轮旋转角度为参数，请写出M轨迹的参数方程
2 若坐标原点处固定一半径为r的轨道，现在让车轮沿着该轨道转一圈，M初始态在r,0
点，试写出M轨迹的参数方程
23不等式选讲
．10分
已知a+b+c=3，a，b，c>0
1 求证a2b+b2c+c2a<4
2 求a2b+b2c+c2a+a2c+b2a+c2b的范围
江西省名校协作体联盟第二次联考模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分，共60分。

123456789101112B
C
D
B
C
A
B
D
B
D
B
B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 23,4 14. 0,5-1
2
]∪[1,+∞)
15. 1225,16
25 16. 3 4
三、解答题。

17．解：1 2B sin -3B sin C sin +342C sin =142C cos =B sin -32
C sin 2⇒① B sin =32C sin +1
2
C cos =C +30°
sin ⇒B =C +30°舍 或B +C =150° 即A =30°
②B sin =32C sin -1
2
C cos =C -30°
sin ⇒B =C -30°舍 或B +C =210°舍
综上A =30°
2 T =
c 2
c ∙PD
+4a 2a ∙PE +b 2b ∙PF ≥b +c +4 2
2S △ABC =2b +c +4 2bc 又由余弦定理可知：b 2+c 2-4=3bc
⇒bc =
b +
c 2
-4
2+3
⇒T ≥2(2+3)∙2b +c +4 2b +c 2
-4b +c +4=m
2(2+3)∙m 2
m 2-8m +121
m =k
112k 2-8k +1=
1
6k -1 2k -1
又bc =b +c 2
-4
2+3
≤b +c 24⇒b +c ≤42+3=22+6
⇒k ∈122+26+4,16 ⇒T ≥12+43+42+46
7+43
=36-202-203+126当且仅当b =c =2+3时取等18．解：1 设AC 交BD 于O
以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴建立直角坐标系
则E 0,2
2,22 ，G 21-μ ,0,2μ ，F -21-λ ,0,2λ
设n 1，n 2分别为面BDP ，面EFG 的一个法向量易知n 1=1,0,0 ,n 2=μ-λ,s ,t ⇒μ-λ=0⇒FG ⎳AC
又AC ⏊BD ，AC ⏊PB ，BD ⋂PB =B ⇒AC ⏊面BDP 即l ⏊面BDP
2 易证μ=λ=
1
3
时，K =D TB 2+TD 2=TO 2+OB 2+2TO OB αcos +TO 2+OD 2
-2TO OD | αcos =2TO 2+2OB 2
⇒m =4TO 2+4OB 2+22TP 2=4TO 2+22TP 2+8
过C 作CO '平分∠POC 交PO 于O '⇒PO 'OO '
=2⇒4TO 2+22TP 2=22+4 TO ' 2+22O 'P 2+4OO ' 2
⇒m =22+4 TO ' 2+8(2+1)
3+22
+8
又有且仅有五个T 满足条件，O '为P -ABCD 内切圆圆心
⇒TO ' =2∙
2
2+2
⇒m =42+8
19．解1 由题意a =2
又AB =
42
3⇒E ：x 2
4
+y 2=1
2) E :x =21-t 2 1+t
2
y =
2t 1+t 2
t 为参数
设A ：x =21-A 2 1+A 2y =2A 1+A 2 ，B ：x =21-B 2 1+B 2y =2A 1+A 2 ，C ：x =
21-C 2 1+C 2
y =2C 1+C
2
，D ：
x =
21-D 2 1+D 2
y =
2D 1+D 2
其中ABCD 均不位于左顶点
则易证AB :
1-AB 2x +A +B y -1+AB =0过-2
3
,0 ⇒AB =-2
同理AC :1-AC
2
x +A +C y -1+AC =0与圆O 相切
⇒3AC +1
1-AC 2+4(A +C )
2
=1⇒2A 2C 2=A 2+C 2⇒A 2=C 22C 2
-1，同理B 2
=D 22D 2-1⇒A 2B 2=C 22C 2-1∙D
2
2D 2-1
=4
⇒15C 2D 2+4=8C 2+D 2 ≥16CD 令CD =t )
⇒t ≥23或t ≤
25又k CD =-12∙
1-CD
C +
D ⇒k CD 2
=14∙t -1 2
15t 2+48+2t
=2t +1 2
15t 2+16t +4=148⇒t =2或46
81舍
⇒CD =2C 2+D 2=8 ⇒C +D =±23⇒CD :-x ±43y -6=0
20．解1 f x =1
x 2+2x x ln +1
ln f 'x =2∙
x 3+x 3
x ln -2x x ln -1
x 32x x ln +1
令g x =x 3+x 3x ln -2x x ln -1
x <1时有x ln <2x -1 x +1，x ln >
x 2-1
2x ⇒g x <x 3+2x 3
x -1
x +1-x 2+1-1<0⇔x +2x x -1 x +1
-1<0
⇔3x 2-2x -1=x -1 3x +1 <0成立⇒f 'x <0
同理x >1时有f 'x >0
故f x 在0,1 上递减，在1,+∞ 递增
2 由f 1 =1+1
a
≥1可知ln a ∈(0,1]
a >1时f 1 >1，不成立
a <0时，显然存在x 0使得2ax x ln +1
a
→0，此时f x →-∞，不成立
下证a ∈(0,1]时原式成立
令h a =1x
2+2ax x ln +1
a ln h 'a =2x x ln -1a
22ax x ln +1a
，a ∈(0,1]
⇒①2x x ln ≤1时，h 'a ≤0
⇒h a ≥h 1 =1
x
2+2x x ln +1
ln 由1 知1
x
2+2x x ln +1 ln ≥1
②2x x ln >1时
h a ≥h 12x x ln
=1x 2+22x x ln
ln 令F x =1
x 2+22x x ln
ln ⇒F 'x =
x 2
-4 x +x
2
ln 2x 3x
ln x ≥2时F 'x 显然大于0
x <2时有x ln <2x -2
x +2
+2
ln ⇒x 2-4 x +x 2ln >2(x -2)2+2ln x 2-4 +x 2=3+x ln x 2-8x +8-42
ln △=162ln +2
2ln -2 <0
⇒x 2-4 x +x 2ln >2(x -2)2+2ln x 2-4 +x 2=3+x ln x 2-8x +8-42ln >0⇒F 'x >0令2t t ln =1
下证F t ≥1，即
1t 2+2ln >1⇐1t 2
+2
3>1⇔t <3显然成立
故F x >F t >1⇒当且仅当a ∈(0,1]时原式成立21.解:1 分布列如图：
a 5
1234589P
38
18
18
18
18
116116
⇒E a 5 =
5116
2
S 1=1，S 2=1+
52=72由题意可知：S n =S n -22+S n -34+⋯+S 12n -2+n
i =1
4i -3 12 i -1
=S n -22+S n -34+⋯+S 12n -2+10-4n +52
n -1n ≥3
⇒S n +1-S n =S n -12-S n -10+4n +52n -12
+4n +1
2n
n ≥3
⇒S n +1=S n 2+S n -12+5-42
n n ≥3 ，又S 3=254=12+74+4=25
4成立，故n ≥2
⇒2n +1S n +1=2n S n +2∙2n -1S n -1+5∙2n +1-8令b n =2n S n 则b n +1=b n +2b n -1+5∙2n +1-8n ≥2 ⇒b n +1+b n -8 =2b n +b n -1-8 +5∙2n +1n ≥2 令c n =b n +1+b n -8 则c n =2c n -1+5∙2n +1
n ≥2
⇒c n 2n =c n -12
n -1+10，c 12=b 2+b 1-82=4
⇒c n =4+10n -1 ∙2n =10n -6 ∙2n =b n +1+b n -8n ≥1
⇒b n +1=-b n +10n -6 ∙2n +8
⇒-1 n +1b n +1=-1 n b n +-1 n +1∙10n -6 ∙2n +8 令d n =-1 n b n ，d 1=-2，d 2=14⇒d n +1=d n +-1 n +1
∙10n -6 ∙2n
+8 ⇒d n +1=-2-n
i =1
-1 n ∙10n -6 ∙2n +8
=
2
9+30n -8 ∙-2 n +1
9
+4∙-1 n +1⇒S n =29∙-12 n +30n -389+1
2n -2
经检验，
n =1，2，3，4时均成立 22解：1
OM =OA +AB +BM
由摆线定义可知AM
=OA =rφ⇒OM
=rφ,0 +0,r +-r φsin ,-r φcos =rφ-r φ,r -r φcos sin
⇒M :x =rφ-r φ
sin y =r -r φcos φ为参数)
2 设两圆相切于A ，B r ,0 则由外摆线定义可知AB
=AM
⇒∠BOA =∠AO 'M =φ
过O '作O 'C ⎳x 轴C 在O '右侧 ⇒∠MO 'C =π-2φ⇒OM =OO ' +O 'M
=2r φcos ,2r φsin +r π-2φ ,-r π-2φ sin cos =2r φcos -r 2φcos ,2r φsin -r 2φsin
⇒M :x =2r φcos -r 2φ
cos y =2r φsin -r 2φsin φ为参数) 23：解1 不妨设a ≥b ≥c
则a 2b +b 2c +c 2a ≤a 2b +2abc <a 2b +2abc +b 2c =b a +c 2=1
2
2b a +c 2
≤122a 3
3
=42 原式=a 2
3-a ≤94a =274其中x 3-x ≤94
又a ,b ,c ≥0，无法取等
又显然原式＞0
故范围为0,27
4。