【水印已去除】2019年湖北省武汉市武昌区高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

2019年湖北省武汉市武昌区高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）复数z＝在复平面上对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．（5分）已知非空集合A＝{x|m﹣l≤x≤2m}，B＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}，且A⊆B，则实数m 的取值范围是（）
A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[0，2]D．[1，2]
3．（5分）设，则a，b，c的大小顺序为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
4．（5分）两对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的概率为（）A．B．C．D．
5．（5分）如图，某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）
A．B．C．D．3
6．（5分）（2﹣x）（1+x）5展开式中x2的系数为（）
A．15B．16C．24D．32
7．（5分）一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（）只蜜蜂．
A．55986B．46656C．216D．36
8．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，点P
是C右支上一点，若＝0，且cos∠PF1F2＝，则C的离心率为（）A．5B．4C．D．
9．（5分）将函数f（x）＝sin（）﹣2cos2x+1的图象向左平移2个单位，得到函数y＝g（x）的图象，当x∈[0，]时，g（x）的最小值为（）
A．﹣B．0C．D．
10．（5分）已知底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD的所有顶点都在球D的球面上，平面P AD ⊥平面ABCD，P A＝PD＝AB＝2，则球O的表面积为（）
A．B．C．D．
11．（5分）已知点C为扇形AOB的弧上任意一点，且∠AOB＝120°，若（λ，μ∈R），则λ+μ的取值范围为（）
A．[﹣2，2]B．（1，]C．[1，]D．[1，2]
12．（5分）已知A，B是函数f（x）＝，图象上不同的两点，若函数y＝f（x）在点A、B处的切线重合，则实数a的取值范围是（）
A．（）B．[﹣）C．（0，+∞）D．[）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，满足a n2+2a n＝4S n﹣1，则a10＝．
14．（5分）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为4}，则P（B|A）＝
15．（5分）已知点P（﹣3，3），过点M（3，0）作直线，与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，设直线P A，PB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2＝
16．（5分）已知函数f（x）＝|x+t|（x∈R），其中表示对于x∈R，当t∈[1，3]时表达式|x+t|的最大值，则f（x）的最小值为
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．（12分）工程队将从A到D修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（A，B，C，D 在同一水平面内），求A，D之间的距离．
18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，AB＝AD ＝1，SD＝DC＝2，E为棱SB上的点，且SE＝2EB．
（1）证明：平面EDC⊥平面SBC；
（2）求二面角A﹣DE﹣C的大小．
19．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（l）求C的方程；
（2）设不过原点O直线，与C相交于A、B两点，且直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，求AOAB面积的取值范围．
20．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，经数据处理后得到该样本的频率分布直方图，其中质量指标值不大于1.50的茎叶图如图所示，以这100件产品的质量指标值在各区间内的频率代替相应区间的概率．
（1）求图中a，b，c的值；
（2）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（说明：①同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；②方差的计算只需列式正确）；
（3）若从这批产品中随机选取3件，记ξ为质量指标值在[1.50，1.70]的产品数，求ξ的分布列和数学期望．
21．（12分）已知函数f（x）＝，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x+e﹣2．
（1）求a、b的值；
（2）如果当x＞0时，e x﹣kxlnx十k（l﹣e）x﹣1≥0，求k的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线，的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，直线l与x轴交于点P，与曲线C交于两点M，N．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知f（x）＝|x﹣1|+|2x+3|．
（1）求不等式f（x）＞4的解集；
（2）若关于x的不等式|x+l|﹣|x﹣m|≥|t﹣1|+|2t+3|（t∈R）能成立，求实数m的取值范围．
2019年湖北省武汉市武昌区高考数学模拟试卷（理科）
（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解答】解：∵z＝＝，
∴z在复平面上对应的点的坐标为（﹣，﹣），位于第三象限．
故选：C．
2．【解答】解：B＝{x|x2﹣3x﹣4≤0}＝{x|﹣1≤x≤4}，
因为非空集合A＝{x|m﹣l≤x≤2m}，A⊆B，
所以，所以，所以0≤m≤2，
所以m的取值范围为：[0，2]．
故选：C．
3．【解答】解：∵＝log2，
＝，
＝＝．
∴b＞a＞c．
故选：B．
4．【解答】解：两对夫妻排成一排照相，
基本事件总数n＝＝24，
仅有一对夫妻相邻包含的基本事件个数m＝＝8，
∴仅有一对夫妻相邻的概率为：p＝＝．
故选：C．
5．【解答】解：根据几何体得三视图转换为几何体为：
故：V＝．
故选：A．
6．【解答】解：因为（1+x）5展开式的通项为T r+1＝x r，
所以（2﹣x）（1+x）5展开式中x2的系数为2﹣＝20﹣5＝15，
故选：A．
7．【解答】解：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得
数列{a n}成等比数列，它的首项为6，公比q＝6
所以{a n}的通项公式：a n＝6•6n﹣1
到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，
蜂巢中一共有a6＝6•65＝66＝46656只蜜蜂．
故选：B．
8．【解答】解：在三角形PF1F2中，因为＝0，所以∠F1PF2＝90°，∴PF1＝F1F2•cos∠PF1F2＝2c•＝，
PF2＝F1F2•sin∠PF1F2＝2c•＝，
∴2a＝PF1﹣PF2＝﹣＝，
∴e＝＝5．
故选：A．
9．【解答】解：∵f（x）＝sin（）﹣2cos2x+1＝sin（）﹣cos x＝sin ﹣cos x＝sin（x﹣）
∵f（x）的图象向左平移2个单位，得到函数y＝g（x）＝sin（x﹣）＝sin （x+）
当x∈[0，]时，x+
根据正弦函数的性质可知，g（x）即最小值为
故选：C．
10．【解答】解：令△P AD所在圆的圆心为O1，△P AD为正三角形，AD＝2，则圆O1的半径r＝，
∵平面P AD⊥底面ABCD，AB＝2，
∴OO1＝AB＝1，
∴球O的半径R＝，
∴球O的表面积＝4πR2＝．
故选：D．
11．【解答】解：设半径为1，由已知可设OB为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系，其
中A（﹣，）；B（1，0）；C（cosθ，sinθ）（其中∠BOC＝θ（0≤θ≤2）
有（λ，μ∈R）
即：（cosθ，sinθ）＝λ（﹣，）+μ（1，0）；
整理得：﹣λ+μ＝cosθ；λ＝sinθ，
解得：λ＝，μ＝cosθ+，
则λ+μ＝+cosθ+＝sinθ+cosθ＝2sin（θ+），
其中（0≤θ≤2）；
易知λ+μ＝+cosθ+＝sinθ+cosθ＝2sin（θ+）为增函数，
由单调性易得其值域为[1，2]
故选：D．
12．【解答】解：当x≤0时，f（x）＝x2+x+a的导数为f′（x）＝2x+1；
当x＞0时，f（x）＝xlnx﹣a的导数为f′（x）＝lnx+1，
设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2，
当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，
当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为：
y﹣（x12+x1+a）＝（2x1+1）（x﹣x1）；
当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y﹣x2lnx2+a＝（lnx2+1）（x ﹣x2）．
两直线重合的充要条件是lnx2+1＝2x1+1 ①，﹣x2﹣a＝a﹣x12②，
由①②得a＝，∵x1＜0，
∴令g（x）＝（x＜0），则g′（x）＝x﹣e2x，g″（x）＝1﹣2e2x，
由g″（x）＝0，得x＝，则当x＝时，g′（x）有最大值为
，
∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，则g（x）．
∴实数a的取值范围是[﹣）．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【解答】解：数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，满足a n2+2a n＝4S n﹣1①，则：当n＝1时，解得：a1＝1，
当n≥2时，a n﹣12+2a n﹣1＝4S n﹣1﹣1②，
①﹣②得：a n﹣a n﹣1＝2（常数），
故数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以：a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
由于首项符合通项，
故：a n＝2n﹣1，
所以：a10＝2×10﹣1＝19
故答案为：19
14．【解答】解：根据题意，抛掷一枚质地均匀的骰子两次，有6×6＝36种情况，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为4}，
事件A包含3×3＝9种情况，事件AB有2种情况，
则P（A）＝＝，
P（AB）＝，
则P（B|A）＝＝；
故答案为：
15．【解答】解：设直线x＝my+3，联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣12＝0，设A（，y1），B（，y2），可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣12，
则k1+k2＝+＝+
＝+═+＝﹣1．
故答案为：﹣1．
16．【解答】解：设f（t）＝|x+t|，t∈[1，3]，
可得t＝﹣x为对称轴，
当﹣x≥3，即x≤﹣3，[1，3]为减区间，则f（x）＝﹣1﹣x；
当1＜﹣x＜3即﹣3＜x＜﹣1，
若﹣2≤x＜﹣1，即f（1）≤f（3），可得f（x）＝f（3）＝3+x；
当﹣3＜x＜﹣2，f（1）＞f（3），可得f（x）＝f（1）＝﹣1﹣x；
当﹣x≤1即x≥﹣1时，区间[1，3]为增区间，可得f（x）＝f（3）＝3+x．则f（x）＝，
当x≤﹣3，f（x）≥3﹣1＝2；
当﹣2≤x＜﹣1时，f（x）≥1；
当﹣3＜x＜﹣2，f（x）＞1；
x≥﹣1时，f（x）≥3﹣1＝2．则f（x）的最小值为1．
故答案为：1．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
17．【解答】解：连接AC，
在，
．
＝，
．
18．【解答】证明：（1）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），C（0，2，0），S（0，0，2），B（1，1，0），E（，，），
＝（﹣1，﹣1，2），＝（﹣1，1，0），＝（，，），＝（0，2，0），设平面BCS的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，1），
设平面EDC的一个法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝2，得＝（2，0，﹣1），，取x＝1，得＝（1，0，
﹣1），
∴＝0，∴平面CDE⊥平面SBC．
解：（2）取DE中点F，连结AF，
由题意得AF⊥DE，EC⊥DE，
∴向量与向量的夹角是二面角A﹣DE﹣C的平面角，
F（），＝（，﹣），＝（﹣，，﹣），
cos＜，＞＝＝﹣，
∴二面角A﹣DE﹣C的大小为120°．
19．【解答】解：（1）由题意，，解得a2＝4，b2＝1．
∴C的方程为；
（2）由题意知，直线l的斜率存在且不为0，设其方程为y＝kx+m（m≠0），代入椭圆方程，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则△＝16（4k2﹣m2+1）＞0，
且，．
由直线OA，AB，OB的斜率成等比数列，得，化简得，．
由△＞0，x1x2≠0，得0＜m2＜2且m2≠1．
设d为点O到直线l的距离，则d＝，
∵|AB|＝，
∴，
∴AOAB面积的取值范围是（0，1）．
20．【解答】解：（1）＝0.1a，∴a＝0.5；
＝0.1b，∴b＝1，
（0.5+1+c+3+4）×0.1＝1，得c＝1.5．
（2）＝1.6，s2＝（1.35﹣1.6）2×0.05+（1.45﹣1.6）2×0.1+（1.55﹣1.6）2×0.3+1.65﹣1.6）2×0.4+（1.75﹣1.6）2×0.15＝0.0105．
（3）随机选取3件，相当于三次独立重复试验，所以ξ～B（3，0.7），
P（ξ＝0）＝C0.33×0.70＝0.027；
P（ξ＝1）＝0.189；
P（ξ＝2）＝0.441
P（ξ＝3）＝0.343，
Eξ＝3×0.7＝2．
21．【解答】解：（1）函数f（x）＝的导数为f′（x）＝，可得y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣b，
由在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x+e﹣2，
可得﹣b＝1，即b＝﹣1；
ae+b＝e﹣1，解得a＝1；
（2）f（x）＝的导数为f′（x）＝，
由y＝（x﹣1）e x+1的导数为y′＝xe x＞0（x＞0），即函数y在x＞0递增，即有y＞0，可得f（x）在x＞0递增，且f（x）＞0，
可得e x﹣kxlnx十k（l﹣e）x﹣1≥0等价为≥k（lnx+e﹣1），
可令g（x）＝lnx+e﹣1，即有f（x）≥kg（x）在x＞0恒成立，
f（1）＝g（1）＝e﹣1，满足上式，可得k≤1；
下面对k≤1分类讨论：
当k＜0时，lnx+e﹣1＝0，可得x＝e1﹣e，
取0＜x0＜e＜e1﹣e，则g（x0）＜，即kg（x0）＞2，
又f（x0）＜f（1）＝e﹣1＜2，不合题意；
当k＝0时，f（x）＞0，f（x）≥kg（x）在x＞0恒成立；
当0＜k≤1时，若lnx+e﹣1≤0，而＞0，所以成立；
若lnx+e﹣1＞0，而≥x+e﹣2≥lnx+e﹣1≥k（lnx+e﹣1），
所以0＜k≤1成立，
综上可得k的范围是[0，1]．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【解答】解：（1）由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，
把ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入，可得x2+y2﹣2y＝0．
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0；
（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，得t2+（2cosα﹣2sinα）t+1＝0．由△＝（2cosα﹣2sinα）2﹣4＞0，得sin2α＜0，
且t1+t2＝﹣2cosα+2sinα，t1t2＝1．
∴＝＝．
∴的取值范围是（﹣2，6]．
[选修4-5：不等式选讲]
23．【解答】解：（1）由题意可得|x﹣1|+|2x+3|＞4，当x≥1时，x﹣1+2x+3＞4，解得x≥1；
当﹣＜x＜1时，1﹣x+2x+3＞4，解得0＜x＜1；
当x≤﹣时，1﹣x﹣2x﹣3＞4，解得x＜﹣2．
可得原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）；
（2）由（1）可得|t﹣1|+|2t+3|
＝，
可得t＝﹣时，|t﹣1|+|2t+3|取得最小值，
关于x的不等式|x+l|﹣|x﹣m|≥|t﹣1|+|2t+3|（t∈R）能成立，等价为≤|x+l|﹣|x﹣m|的最大值，
由|x+l|﹣|x﹣m|≤|m+1|，可得|m+1|≥，
解得m≥或m≤﹣．。