2020-2021学年辽宁省沈阳市新星高级中学高二数学理期末试卷含解析

2020-2021学年辽宁省沈阳市新星高级中学高二数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 把2名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，甲班必须且只能分配1名新生，则不同的分配方法有（）
A、3种
B、4种
C、6种
D、8种
参考答案：
C
【考点】排列、组合的实际应用【解答】解：根据题意，甲班必须且只能分配1名新生，在2名新生中任选1名，分配甲班，有C21=2种情况，将剩下的1名新生分配到其他班级，有C31=3种分配方法，
则不同的分配方法有2×3=6种；
故选：C．
【分析】根据题意，分2步进行分析，在2名新生中任选1名，分配甲班，再将剩下的1名新生分配到其他班级，由组合数公式计算分配方法数目，进而由分步计数原理计算可得答案．
2. 圆心在x轴上，半径为1且过点(2,1)的圆的方程为
A．B．
C．D．
参考答案：
B
3. 过双曲线的右焦点F2的一条弦PQ，|PQ|=7，F1是左焦点，那么△F1PQ的周长为
（）
A．18 B． C． D．
参考答案：
C 4. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，若,则的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
设直线的方程为，联立，可得，利用韦达定理结合
（），求得，的值，利用可得结果.
【详解】因为抛物线的焦点为
所以，设直线的方程为，
将代入，可得，
设，，则，，
因为，所以，所以，，
所以，即，所以，
所以的面积，故选C．
【点睛】本题主要考查抛物线的方程与几何性质以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题. 解答有关直线与抛物线位置关系问题，常规思路是先把直线方程与-抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.
5. 已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则等于
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
略
6. 已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,1]上是增函数,若方程
在区间上有四个不同的根,则（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
略
7. 设集合M={0，1，3}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
参考答案：
A
【考点】交集及其运算．
【分析】先分另求出集合M和N，由此能求出M∩N．
【解答】解：∵M={0，1，3}，
N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，
∴M∩N={1}．
故选：A．
8. 过点（0，3）与抛物线有且只有一个公共点的直线有（）
A．1条 B．2条 C．3
条 D．4条
参考答案：
C
9. 对于实数x,y，条件p:x+y≠8,条件q:x≠2或y≠6，那么p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．都不对
参考答案：
A
略
10. 盒子里有25个外形相同的球，其中10个白的，5个黄的，10个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是白球，则它是黑球的概率
为
A. B. C.
D.
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列关于圆锥曲线的命题：
①设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|+|PB|=8，则动点P的轨迹为椭圆；
②设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=8，则|PA|的最大值为9；
③设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|﹣|PB|=6，则动点P的轨迹为双曲线；
④双曲线﹣=1与椭圆+=1有相同的焦点．
其中真命题的序号是．
参考答案：
②④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①，根据椭圆的定义，当8＞|AB|时是椭圆；
②，利用椭圆的定义，求出a、c，|PA|的最大值为a+c；
③，利用双曲线的定义判断；
④，根据双曲线、椭圆标准方程判断．
【解答】解：对于①，根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴故为假命题；
对于②，由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=8，所以a=5，c=4，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=9，所以为真命题．对于③，设A，B为两个定点，P为动点，若|PA|﹣|PB|=6，当6＜|AB|时，则动点P的轨迹为双曲线，故为假命题；
对于④，双曲线﹣=1的焦点为（，0），椭圆+=1的焦点（，0），故为真命题．
故答案为：②④．
12. 函数的的最小值是 .
参考答案：
13. 以椭圆=1
的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为
．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】通过椭圆的焦点、顶点坐标可知双曲线的
a=
、c=2
，进而计算可得结论．
【解答】解：∵椭圆方程为：
=1， ∴其焦点坐标为：（﹣
，0）、（
，0）， 顶点坐标为：（﹣2
，0）、（2
，0），
∴双曲线的焦点坐标为：（﹣2，0）、（2，0），
顶点坐标为：（﹣
，0）、（
，0），
∴双曲线方程：中a=、c=2，
∴b 2
=c 2
﹣a 2
=8﹣3=5，
∴双曲线方程：，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线方程，注意解题方法的积累，属于中档题．
14. 已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若
△为直角三角形，则该双曲线的离心率是________________。

参考答案：
15. 函数
的定义域是 .
参考答案：
略
16. 三点在同一条直线上，则k 的值等于
参考答案：
略
17. 孙悟空、猪八戒、沙和尚三人中有一个人在唐僧不在时偷吃了干粮，后来唐僧问谁偷吃了干粮，
孙悟空说是猪八戒，猪八戒说不是他，沙和尚说也不是他。

他们三人中只有一个说了真话，那么偷吃了干粮的是__________．
参考答案：
沙和尚 【分析】
用假设法逐一假设偷吃干粮的人,再判断得到答案.
【详解】(1)假设偷吃干粮的是孙悟空,则猪八戒和沙和尚都是真话,排除
(2)假设偷吃干粮的是猪八戒,则孙悟空和沙和尚都是真话,排除 (3)假设偷吃干粮的是沙和尚,则只有猪八戒说的真话,满足
答案是沙和尚
【点睛】本题考查了逻辑推理的知识,意在考查学生的逻辑推理能力,属于基础题.
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数
的图象如图，直线
在原点处与函数图象相切，且此切线与
函数图象所围成的区域(阴影)面积为.
（1）求的解析式；
（2）若常数
，求函数
在区间
上的最大值.
参考答案：
（1）；
（2）当
时,
；当
时, .
试题分析：（1）由条件知，
，
，代入可得
、
.再用定积分表示出所围成
的区域(阴影)面积，由面积为解得，从而得到的解析式；（2）由（1）知
，再列出
，的取值变化情况，又，结合图像即可得当
时,
；当
时,
.
试题解析：(1)由得， 2分 .由
得
， 4分
∴，则易知图中所围成的区域(阴影)面积为
从而得
，∴
. 8分
（2）由（1）知
. 的取值变化情况如下：
极大
值
极小
值
又, ①当时, ； 11分
②当
时,
综上可知当
时,
；当
时,
考点：1.求导法则；2.定积分求面积；3.利用导数研究函数单调性.
【解析】略
19. 已知复数
当实数
取什么值时，复数是：
(1)零；(2)纯虚数； (3)
参考答案：
(1)m=1；(2)m=0；(3)m=2 略
20. 支付宝作为一款移动支付工具，在日常生活中起到了重要的作用．
（1）通过现场调查12位市民得知，其中有10人使用支付宝．现从这12位市民中随机抽取3人，求至少抽到2位使用支付宝的市民的概率；
（2）为了鼓励市民使用支付宝，支付宝推出了“奖励金”活动，每使用支付宝支付一次，分别有，
，
的概率获得0.1，0.2，0.3元奖励金，每次支付获得的奖励金情况互不影响．若某位市民在一天
内使用了2次支付宝，记X 为这一天他获得的奖励金数，求X 的概率分布和数学期望．
参考答案：
（1）至少抽到2位使用支付宝的市民的概率为．
（2）X 的概率分布如下： EX ＝0.2×＋0.3×＋0.4×＋0.5×＋0.6×＝．
21. 已知四边形
是菱形，，四边形
是矩形，平面
平面
，
分别是
的中点. (Ⅰ)求证：平面
平面
； (Ⅱ)若平面
与平面
所成的角为
，求直线
与平面
所成的角的正弦值.
参考答案：
解: (Ⅰ)分别是的中点所以------------①
连接与交与,因为四边形是菱形,所以是的中点连,是三角形的中位线
---------②
由①②知,平面平面4分
(Ⅱ)平面平面,所以平面
取的中点,平面,
建系
设,
则
设平面的法向量为
,所以
平面的法向量
,所以
所以,设直线与平面所成的角为
10分
注：用几何法做酌情给分
略
22. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．
（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；
（Ⅱ）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率．
参考答案：
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】（I）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从两个盒子中分别取一个球，共有16种结果，满足条件的事件是所取两个小球上的数字为相邻整数，可以列举出所有结果，根据古典概型概率公式得到结果．
（II）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从两个盒子中分别取一个球，共有16种结果，满足条件的事件是所取两个小球上的数
字之和能被3整除，列举出共有5种结果，得到概率．
【解答】解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x，y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），
（4，2），（4，3），（4，4），共16种．
（Ⅰ）所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有
（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3），共6种．故所求概率．
即取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为．
（Ⅱ）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有
（1，2），（2，1），（2，4），（3，3），（4，2），共5种．
故所求概率为．
即取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为．。