2024届桂林中学高一数学第二学期期末检测模拟试题含解析

2024届桂林中学高一数学第二学期期末检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知θ为第Ⅱ象限角，2
25sin sin 240,θθ+-=则cos
2
θ
的值为（）
A ．
35
B ．35
±
C
．
2
D ．45
±
2．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，公差0d ≠，11a =，若125,,a a a 成等比数列，
则
9
3
++n n S a 的最小值为( ) A ．
136
B ．2
C
1
D ．
94
3．在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是（ ） A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
4．直线
x +1=0的倾斜角是（ ） A ．30° B ．60° C ．120°
D ．150°
5．不等式2230x x -->的解集为 A ．(3,1)- B ．-∞-+∞(,3)(1,) C ．(1,3)
-
D ．(,1)
(3,)-∞-+∞
6．已知数列{}n a 满足12a =，()
()
11n
n n n a a a n N *
+=+-∈，则4
2
a a 的值为（ ）
A ．
1615
B ．
43
C ．
13
D ．83
7．终边在y 轴上的角α的集合（ ） A ．{|2,}k k αα=π∈Z
B ．{|,}k k αα=π∈Z
C ．{|2,}2k k ααπ
=π+∈Z
D ．{|,}2
k k ααπ
=π+∈Z
8．已知(,0)2
απ
∈- ，tan cos2-1αα=，则α=( ) A ．-
12
π B ．-
6
π
C ．-
4
π
D ．-
3
π
9．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
10．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，且()
21n n n a a a n N *
++⋅=∈，则2019a 的值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．
1
2
D ．
14
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知函数()2
1
sin sin cos 2
f x x x x =+-
，下列结论中： ①函数()f x 关于8
x π
=-
对称；
②函数()f x 关于(,0)8π
对称；
③函数()f x 在3(,)88ππ
是增函数，
④将y x
=
的图象向右平移34π可得到()f x 的图象． 其中正确的结论序号为______ ．
12．在公比为q 的正项等比数列{a n }中，a 3＝9，则当3a 2+a 4取得最小值时，3log q ＝_____．
13．数列{}n a 是等比数列，21a =-，64a =-，则4a 的值是________．
14．若{}n a 是等差数列，首项10a >，200620070a a +>，200620070a a ⋅<，则使前n 项和n S 最大的自然数n 是________.
15．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________
16．不论k 为何实数，直线(21)(3)(11)0k x k y k --+--=通过一个定点，这个定点的坐标是______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在等差数列{}n a 中，23a =，59a =，等比数列{}n b 中，12b a =，25b a =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）若n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
18．在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资数为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资数为2000元，以后每年月工资在上一年的月工资增加基础上递增5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：
（1）若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少?
（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其它因素），该人应该选择哪家公司，为什么
（3）在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元（精确到1元），并说明理由.
19．正项数列{}n a 的前n 项和为n S
，且1n a =+. （Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()
11
11n n n b a a +=
+⋅+，求{}n b 的前n 项和为n T .
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若245
n m m
T -<<对一切*n N ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 20．已知(
)
3sin ,cos a x m x =
+，()cos ,cos b x m x =-+，且()f x a b =⋅
（1）求函数()f x 的解析式； （2）当,63x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，()f x 的最小值是4-，求此时函数()f x 的最大值，并求出函数()f x 取得最大值时自变量x 的值
21．如图，某小区有一块半径为4米的半圆形空地，开发商计划在该空地上征地建一个
矩形的花坛ABCD 和一个等腰三角形的水池EDC ，其中O 为圆心，,A B 在圆的直径上，,,C D E 在半圆周上.
（1）设BOC θ∠=，征地面积为()f θ，求()f θ的表达式，并写出定义域；
（2）当θ满足()()16sin g f
θθθ=+取得最大值时，建造效果最美观.试求()g θ的最
大值，以及相应角θ的值.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】
首先由225sin sin 240θθ+-=，解出sin θ，求出cos θ，再利用二倍角公式以及2
θ
所在位置，即可求出． 【题目详解】
因为225sin sin 240θθ+-=，所以24
sin 25
θ=或sin 1θ=-， 又θ为第Ⅱ象限角，故24sin 25θ=，7
cos 25
θ=-．
因为θ为第Ⅱ象限角即222
k k π
πθππ+<<+，k Z ∈
所以
422k k πθπ
ππ+<
<
+，k Z ∈，即
2
θ
为第Ⅰ，Ⅲ象限角．
由于27cos 2cos
1225θθ=-=-，解得3cos 25
θ=±，故选B ． 【题目点拨】
本题主要考查二倍角公式的应用以及象限角的集合应用． 2、A 【解题分析】
由125,,a a a 成等比数列可得数列的公差，再利用等差数列的前n 项和公式及通项公式可
得93
++n n S a 为关于n 的式子，再利用对勾函数求最小值. 【题目详解】
∵125,,a a a 成等比数列，
∴221522
(1)1(14)20a a d d a d d =⇒+=⋅+⇒-=，解得：2d =，
∴2
(1)
2991(1)2(1)101102[(1)2]31(1)232121
n n n n n S n n n a n n n -+
⋅+++-++===++-++-⋅+++，
令1t n =+，令110
(2)2y t t
=
+-，其中2t ≥的整数， ∵函数y 在(0,10]递减，在[10,)+∞递增， ∴当3t =时，13
6y =；当4t =时，94
y =， ∴min 136
y =
. 故选：A. 【题目点拨】
本题考查等差数列与等比数列的基本量运算、函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意n 为整数，如果利用基本不等式求解，等号是取不到的. 3、C 【解题分析】
如图，取中点，则平面，
故，因此AD 与平面11BB C C 所成角即为，
设，则
，
，
即， 故，故选C.
4、D
【解题分析】
首先求出直线的斜率，由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【题目详解】
直线x 3+1=0的斜率k 3
3
== 设其倾斜角为θ（0°≤θ<180°）， 则tan 3
θ=， ∴θ=150° 故选：D 【题目点拨】
本题考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题. 5、D 【解题分析】
把不等式化为2
23(3)(1)0x x x x --=-+>，即可求解不等式的解集，得到答案． 【题目详解】
由题意，不等式可化为2
23(3)(1)0x x x x --=-+>，解得3x >或1x <-， 即不等式的解集为(,1)(3,)-∞-+∞，故选D ．
【题目点拨】
本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 6、B 【解题分析】
由()11n
n n n a a a +=+-，得()1
11n
n n
a a +-=+
，然后根据递推公式逐项计算出2a 、4a 的
值，即可得出4
2
a a 的值.
【题目详解】
()11n
n n n a a a +=+-，()111n
n n
a a +-∴=+
，则21111
1122
a a =-
=-=， 32
11123a a =+
=+=，431121133a a =-=-=，因此，4224
233a a =⨯=，故选B.
【题目点拨】
本题考查数列中相关项的计算，解题的关键就是递推公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 7、D 【解题分析】
根据轴线角的定义即可求解. 【题目详解】
A 项，{|2,}k k αα=π∈Z 是终边在x 轴正半轴的角的集合；
B 项，{|,}k k αα=π∈Z 是终边在x 轴的角的集合；
C 项，{|2,}2k k ααπ
=π+∈Z 是终边在y 轴正半轴的角的集合；
D 项，{|,}2k k ααπ
=π+∈Z 是终边在y 轴的角的集合；
综上，D 正确. 故选:D 【题目点拨】
本题主要考查了轴线角的判断，属于基础题. 8、C 【解题分析】
利用二倍角公式变形为2tan 2sin αα=-，然后利用弦化切的思想求出tan α的值，可得出角α的值． 【题目详解】
222222222
22sin 2sin cos tan cos 2112sin 12sin sin cos sin cos cos α
αααααααααα
α
=-=--=-=-=-++
222tan tan 1αα=-+，化简得()
2
tan tan 10αα+=， 02
π
α-
<<，则tan 0α<，tan 1α∴=-，因此，4
π
α=-
，故选C ．
【题目点拨】
本题考查二倍角公式的应用，考查弦切互化思想的应用，考查给值求角的问题，着重考查学生对三角恒等变换思想的应用能力，属于中等题． 9、B 【解题分析】
利用正弦定理可得()2
sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得
sin 1,2
A A π
==
，从而可得结果.
【题目详解】
因为cos cos sin b C c B a A +=，
所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，
()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，
所以sin 1,2
A A π
==，所以是直角三角形.
【题目点拨】
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 10、A 【解题分析】
由递推关系，结合
11a =，22a =，可求得3a ，4a ，5a 的值，可得数列{}n a 是一个
周期为6的周期数列，进而可求2019a 的值。

【题目详解】
因为(
)*
21n n n a a a n N
++⋅=∈，由1
1a
=，22a =，得32a =；
由22a =，32a =，得41a =； 由32a =，41a =，得51
2
a =
；
由41a =，51
2a =，得612
a =； 由51
2a =，612a =，得71a =； 由
61
2
a =
，71a =，得82a =
由此推理可得数列{}n a 是一个周期为6的周期数列，所以201932a a ==，故选A 。

【题目点拨】
本题考查由递推关系求数列中的项，考查数列周期的判断，属基础题。

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、①②③ 【解题分析】
把()f x 化成()()sin f x A wx ϕ=+的型式即可。

【题目详解】
由题意得()21sin sin cos sin 2224f x x x x x π⎛⎫=+-=- ⎪⎝
⎭ 所以对称轴为324
2
82
k x k x π
π
ππ
π-
=
+⇒=
+， ①对，当24
8
2k x k x π
π
ππ-
=⇒=
+
时，对称中心为,082k ππ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
，②对。

()f x 的增区间为3222+2
4
2
8
8
k x k k x k π
π
π
π
π
ππππ-
+≤-
≤
+⇒-
+≤≤
，③对
cos22
y x =
向右平移
34π得()332cos 2224222f x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫
=-=-=- ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭。

④错 【题目点拨】
本题考查三角函数的性质，三角函数变换，意在考查学生对三角函数的图像与性质的掌握情况。

12、
1
2
【解题分析】
利用等比数列的性质，结合基本不等式等号成立的条件，求得公比q ，由此求得3log q 的值.
【题目详解】
∵在公比为q 的正项等比数列{a n }中，a 3＝9，根据等比数列的性质和基本不等式得
243a a +≥==243a a =，即
27
9q q
=，即q =
时，3a 2+a 4取得最小值，∴log 3q ＝log 12
=． 故答案为：
12
【题目点拨】
本小题主要考查等比数列的性质，考查基本不等式的运用，属于基础题. 13、2- 【解题分析】
由题得2
426a a a =⋅计算得解. 【题目详解】
由题得2
426a a a =⋅,所以2
44(1)(4)4,2a a =-⋅-=∴=±.
因为等比数列246,a a a ，
同号， 所以4=2a -. 故答案为：2- 【题目点拨】
本题主要考查等比数列的性质和等比中项的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14、4012 【解题分析】
由已知条件推导出20060a >，20070a <，由此能求出使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 的值． 【题目详解】 解：
等差数列{}n a ，首项10a >，200620070a a +>，200620070a a ⋅<，
20060a ∴>，20070a <．
如若不然，200620070a a <<，则0d >，
而10a >，得2006120050a a d =+>，矛盾，故不可能．
()()1401220062007401240124012
=
02
2
a a a a S +⨯+⨯∴=>
()14013204001374013
=401302
a a S a +⨯∴=
<
∴使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 为4012．
故答案为：4012． 【题目点拨】
本题考查等差数列的前n 项和取最大值时n 的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用． 15、1 【解题分析】
分析：设塔的顶层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为2的等比数列，利用等比数列前n 项和公式能求出结果．
详解: 设塔的顶层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为2的等比数列，
∴S 7=
=181，解得a 1=1．故答案为1.
点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力. 16、 (2,3) 【解题分析】
将直线方程变形为()()311210x y k x y +----=，它表示过两直线3110x y +-=和210x y --=的交点的直线系，解方程组3110210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，得2
,3
x y =⎧∴⎨
=⎩上述直线恒过定点()2,3，故答案为()2,3. 【方法点睛】
本题主要考查待定直线过定点问题. 属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为
()(),,0tf x y g x y +=的形式，根据()(),0
,0f x y g x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
求解），借助于曲线系的思想找出定
点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）21n a n =-，3n
n b = （2）()1313n n T n +=+-⋅
【解题分析】
（1）根据等差数列的通项公式求出首项，公差和等比数列的通项公式求出首项，公比即可.
(2)由()213n
n n n c a b n ==-⋅用错位相减法求和.
【题目详解】
（1）在等差数列{}n a 中，设首项为1a ，公差为d .
由23a =，59a =有215
1549a a d a a d =+=⎧⎨
=+=⎩ ，解得：11
2a d =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =-
又设{}n b 的公比为q ，由123b a ==，259b a ==，得3q =
所以3n
n b =.
(2) ()213n
n n n c a b n ==-⋅
()2333353213n n T n =+⨯+⨯++-⨯…………………………………①
()()2341333353233213n n n T n n +=
+⨯+⨯+
+-⨯+-⨯……………②
由①－②得
()()23412323333213n n n T n +-=+++++--⨯
()()119133221313
n n n -+-=+⨯
--⨯-
162(1)3n n +=-+-⨯
所以()1
313n n T n +=+-⋅
【题目点拨】
本题考查求等差、等比数列的通项公式和用错位相减法求和,属于中档题. 18、（1）在A 公司第n 年收入为2301270n +；在B 公司连续工作n 年收入为
12000(15%)-⋅+n ；（2）应选择A 公司，理由见详解；（3）827；理由见详解.
【解题分析】
（1）先分别记该人在A 公司第n 年收入为n a ，在B 公司连续工作n 年收入为n b ， 根据题中条件，即可直接得出结果；
（2）根据等差数列与等比数列的求和公式，分别计算前10的和，即可得出结果；
（3）先令1
23012702000(1.05)-=-=+-⨯n n n n c a b n ，将原问题转化为求n c 的最大
值，
进而可求出结果. 【题目详解】
（1）记该人在A 公司第n 年收入为n a ，在B 公司连续工作n 年收入为n b ， 由题意可得：1500(1)2302301270=+-⋅=+n a n n ，*n N ∈，
12000(15%)-=⋅+n n b ，*n N ∈；
（2）由（1），当10n =时， 该人在A 公司工资收入的总量为：
()110121010()
12...1260(15003570)3042002
++++=⨯
=⨯+=a a a a a （元）；
该人在B 公司工资收入的总量为：
()10121020001(15%)12...123018691(15%)
⎡⎤⨯-+⎣⎦
+++=⨯
≈-+b b b （元）
显然A 公司工资总量高，所以应选择A 公司；
（3）令1
23012702000(1.05)-=-=+-⨯n n n n c a b n ，
则原问题即等价于求n c 的最大值； 当2n ≥时，
12
123012702000(1.05)230(1)12702000(1.05)---⎡⎤⎡⎤-=+-⨯--+-⨯⎣⎦⎣⎦n n n n c c n n
2230100(1.05)-=-⨯n ，
若10-->n n c c ，则2
230100(1.05)
0--⨯>n ，即2(1.05) 2.3-<n ，解得1.052log 2.3<+n ；
又 1.0517log 2.318<<，所以1920<<n ，
因此，当219≤≤n 时，1n n c c ->；当20n ≥时，1-≤n n c c . 所以19c 是数列{}n c 的最大项，191919827=-≈c a b （元）， 即在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多827元. 【题目点拨】
本题主要考查数列的应用，熟记等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
19、（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）()41n n T n =+；（Ⅲ）55,42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.
【解题分析】
（Ⅰ）将所给条件式子两边同时平方,利用递推法可得1n S -的表达式,由1n n n a S S -=-两式相减,变形即可证明数列{}n a 为等差数列,进而结合首项与公差求得{}n a 的通项公式. （Ⅱ）由（Ⅰ）中21n a n =-可求得1n a +.将n a 与1n a +代入()()11
11n n n b a a +=+⋅+即可
求得数列{}n b 的通项公式,利用裂项法即可求得前n 项和n T . （Ⅲ）先求得n T 的取值范围,结合不等式245
n m m
T -<<,即可求得m 的取值范围. 【题目详解】
（Ⅰ）因为正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,
且1n a =+ 化简可得()2
24121n n n n S a a a =+++=
由递推公式可得112
1421n n n S a a ---++=
两式相减可得1221422n n n n n a a a a a ---+-=,变形可得1122
22n n n n a a a a --=+-
即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---++-=,由正项等比数列可得10n n a a -+≠ 所以12n n a a --=
而当1n =时
,11a =+解得11a =
所以数列{}n a 是以11a =为首项,以2d =为公差的等差数列 因而21n a n =-
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知21n a n =- 则()121121n a n n +=+-=+ 代入()()
11
11n n n b a a +=
+⋅+中可得()()1122241n b n n n n =
=⋅+⋅+ 所以1231n n n T b b b b b -=+++⋅⋅⋅+
()()111111
412233411n n n n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⨯⨯⨯-+⎝⎭
1111111111142233411n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅-+- ⎪-+⎝⎭
()
1114141n n n ⎛⎫=-= ⎪
++⎝⎭ （Ⅲ）由（Ⅱ）可知()
41n n
T n =
+
则
1
141n T n =
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
,所以数列{}n T 为单调递增数列,则11
8n T T ≥= 且当n →+∞时, 1
4n T →
,即14
n T < 所以
11
84
n T ≤< 因为{}n T 对一切*n N ∈的
245
n m m
T -<<恒成立 则满足145
21
4
8m
m ⎧≤⎪⎪⎨
-⎪<⎪⎩,解不等式组可得5542m ≤< 即实数m 的取值范围为55,42⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【题目点拨】
本题考查了等差数列通项公式与求和公式的应用,裂项求和法的应用,数列的单调性与不等式关系,综合性强,属于中档题. 20、（1）()21sin(2)6
2f x x m π
=++
-（2）5,26
x π-= 【解题分析】
试题分析：（1）由向量的数量积运算代入点的坐标得到三角函数式，运用三角函数基本公式化简为()()sin f x A x ωϕ=+的形式；（2）由定义域,63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
可得到x ωϕ+的范围，结合函数单调性求得函数最值及对应的自变量值 试题解析：（1）
即22()3cos cos f x x x x m =+-
221cos 222
x x m +=
+-2
1sin(2)62x m π=++-
（2）由,63x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦，52,666x πππ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，1sin(2),162x π⎡⎤
∴+∈-⎢⎥⎣⎦
，
211
422
m ∴-+-=-，2m ∴=±
max 15
()1422
f x ∴=+-=-，
此时，sin(2)=1,2=663626x x x x π
πππππ⎡⎤
+
∈-∴+∴=⎢⎥⎣⎦
，且， 考点：1．向量的数量积运算；2．三角函数化简及三角函数性质
21、 (1) ()f
θ()16cos sin cos ,0,2πθθθθ⎛
⎫
=+∈ ⎪⎝
⎭
(2) 最大值为8+ ，此时
4
π
θ=
【解题分析】
（1）连接,OE OC ，在Rt OBC ∆中，求出,BC OB ，进而求出面积以及角的范围； （2）令sin cos t θθ=+，再求出t 的范围，转化为二次函数即可求出最大值，以及相应角θ的值. 【题目详解】
（1）连接,OE OC ，在Rt OBC ∆中，4sin ,4cos BC OB θθ==，
()()2161sin cos OBCE f S θθθ==+()16cos sin cos ,0,
2πθθθθ⎛⎫
=+∈ ⎪⎝
⎭
（2）()()()16sin 16sin cos sin cos g f
θθθθθθθ=+=++，
令sin cos t θθ=+，因为0,
2πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以(
t ∈， 所以()()2
11162
2g h t t t θ⎛⎫==+-
⎪⎝⎭
因为()h t 在(
t ∈上单调递增，
所以t =
时()h t 有最大值为8+，此时4
π
θ=
【题目点拨】
本题主要考查三角函数与实际应用相结合，最终转化为二次函数进行求解，这类问题的
特点是通过现实生活的事例考查解决问题的能力、仔细理解题，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.。