2018-2019黑龙江省大庆高二上学期期末考试数学（文）试题

2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试
数学（文）试题
一、单选题
1．一支田径队有男运动员560 人，女运动员420 人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取16 人，从女生中任意抽取12 人进行调查．这种抽样方法是（）A．简单随机抽样法B．抽签法
C．随机数表法D．分层抽样法
【答案】D
【解析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样
【详解】
总体由男生和女生组成，比例为560：420＝4：3，所抽取的比例也是16：12＝4：3．故选：D．
【点睛】
本小题主要考查抽样方法，当总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，属基本题．
2．已知，其中是实数，是虚数单位，则的共轭复数为A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵，∴x=2,y=1，∴复数2+i的共轭复数为，故选D
3．命题“若，，则”的逆否命题是（）
A．若，，则
B．若，，则
C．若且，，则
D．若或，，则
【解析】根据逆否命题的定义进行判断即可．
【详解】
根据逆否命题的定义可得命题的逆否命题为：
若x≠0或y≠0，x、y∈R，则x2+y2≠0，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查逆否命题的判断，根据逆否命题的定义是解决本题的关键．比较基础．4．当时，比较和的大小并猜想
A．时，B．时，
C．时，D．时，
【答案】D
【解析】
当时，，即；当时，，即；当时，，即；当时，，即；当时，，即；当时，，可猜想时，，故选D.
【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
5．在正方形ABCD 内随机生成n 个点，其中在正方形ABCD 内切圆内的点共有m 个，利用随机模拟的方法，估计圆周率的近似值为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】按照几何概型来计算圆周率，先表示出两个图形的面积，求出豆子落在圆中的概率，根据比例得出圆周率的近似值．
由题意知，本题可以按照几何概型来计算出圆周率， 设正方形的边长为2，正方形的面积是2×2＝4， 圆的面积是π×12＝π，
∴，∴
故选：C ． 【点睛】
本题考查了模拟方法估计概率的应用问题，是利用面积比表示概率． 6．已知命题p ：0x ∀>，4
4x x
+≥；命题q ：0x ∃∈R ，021x =-．则下列判断正确的是（ ）
A ．p 是假命题
B ．q 是真命题
C ．()p q ∧⌝是真命题
D ．()p q ⌝∧是真命题 【答案】C
【解析】试题分析：由于命题p ：0x ∀>，44
24x x x x
+
≥⋅=，故命题p 是真命题；由于x ∀∈R ，20x >，可知命题q 是假命题，q ⌝所以是真命题，故选C ． 【考点】 复合命题的真值的判定和运用． 7．直线
与圆
相交于 ， 两点，则“
”是“
”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】
直线
与圆
相交于
两点，
圆心到直线的距离
，则 ，当时，，即充分
性成立，若，则，即，解得或，即必要性不成立，
故“
”是“
”的充分不必要条件，故选A.
个数记为，则直线不经过第四象限的概率为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】从集合，中随机选取后组合成的数对有，，，，，
，，，，共种，要使直线不经过第四象限，则需，，共有种满足，
所以所求概率．
9．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）
A．105 B．16 C．15 D．1
【答案】C
【解析】试题分析：根据程序框图确定框图所要执行的运算，由输入的依次进行运算求，根据判断框中的条件判断运算是否执行，得到结果，故选C．
【考点】程序框图．
10．设F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则= （）
A．9 B．6 C．4 D．3
【答案】B
【解析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线方程求得焦点坐标
和准线方程，再依据0，判断点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值．最后根据抛物线的定义求得答案．
【详解】
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x＝﹣1
∵，
∴点F是△ABC重心
则x1+x2+x3＝3
y1+y2+y3＝0
而|F A|＝x1﹣（﹣1）＝x1+1
|FB|＝x2﹣（﹣1）＝x2+1
|FC|＝x3﹣（﹣1）＝x3+1
∴|F A|+|FB|+|FC|＝x1+1+x2+1+x3+1＝（x1+x2+x3）+3＝3+3＝6
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了抛物线的简单性质．解本题的关键是判断出F点为三角形的重心．11．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两位是对的，则获奖的歌手是
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】C
【解析】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符；若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，与题意不符；当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符.
故选C.
点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.
12．已知点分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线左
支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率为
A．2 B．5 C．3 D．2或5
【答案】B
【解析】首先利用双曲线的定义求出关系式，进一步利用的最小值为9a，确定m＝a 或4a，此时c＝2a或5a，即可求出双曲线的离心率．
【详解】
设，根据双曲线定义：，
所以，
因为的最小值为，
所以（提示：根据“对勾函数”的特征）（不合题意舍去）或，
此时，所以双曲线的离心率为5．
故选：B
【点睛】
本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程，得到a,c的关系式是解得的关键，对于双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，
常见有两种方法：①求出a,c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e的取值范围)．
二、填空题
13．用反证法证明命题：“若，且，则和中至少有一个小于2”时，应假设___．
【答案】假设两者都大于或等于2
【解析】由于“，中至少有一个小于”的反面是: “，都大于或等于”,故用反证法证明命题: “若且,则，中至少有一个小于”时,应假设，都大于或等于,故答案为和都大于或等于 .
14．类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边AB，AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：．若三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC，ACD，ADB 两两互相垂直，则三棱锥的三个侧面积，，与底面积S 之间满足的关系为__．
【答案】
【解析】斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面．
【详解】
由边对应着面，边长对应着面积，
由类比可得，
故答案为．
【点睛】
本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．
15．若关于x 的不等式对任意恒成立，则实数a 的取值范围是___．
【答案】或
【解析】利用绝对值三角不等式可得|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4，于是解不等式a2﹣3a≥4即可求得答案．
【详解】
不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a，对任意实数x恒成立，
∴a2﹣3a≥4，即（a﹣4）（a+1）≥0，
解得：或，
∴实数a的取值范围为或，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，着重考查绝对值三角不等式|x+a|﹣|x+b|≤|a﹣b|的应用，考查等价转化思想与恒成立问题，属于中档题．
16．已知 A 为椭圆上的动点，MN 为圆的一条直径，则的最大值为_____．
【答案】15
【解析】由题意画出图形，得到椭圆上离圆心最远的点A，在设出圆的直径两端点的坐标，由平面向量数量积运算求得答案．
【详解】
作出椭圆和圆对应的图象如图，
•
圆（x﹣1）2+y2＝1在椭圆内，椭圆上的所有点只有左顶点到圆心（1，0）距离最远，由题意可设圆的直径的两个端点为M（1+cosθ，sinθ），N（1﹣cosθ，﹣sinθ），
又A（﹣3，0），
∴（4+cosθ，sinθ），（4﹣cosθ，﹣sinθ），
∴AM•AN的最大值为15．
故答案为：15．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，考查了平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
三、解答题
17．用综合法或分析法证明：
（1）如果，则；
（2）．
【答案】(1)见证明；(2)见证明
【解析】（1）利用基本不等式，结合y=lgx在（0，+∞）上增函数即可证明；
（2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然成立为止．
【详解】
证明：（1）当a，b＞0时，有≥＞0，
∴lg≥lg，
∴lg ≥lg （ab）=．
∴lg≥；
（2）要证+＞2+2，
只要证（+）2＞（2+2）2，
即2＞2，显然成立的，
所以，原不等式成立．
【点睛】
本题考查综合法或分析法，考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，掌握
18．已知复数，试求：当实数a 取什么值时，复数z 为：
（1）实数?
（2）虚数?
（3）纯虚数?
【答案】（1）（2）（3）不存在实数a
【解析】（1）当z为实数时，则有a2﹣5a﹣6＝0，a2﹣1≠0，解出即可得出．
（2）当z为虚数时，则有，解出即可得出．
（3）当z为纯虚数时，则有．解出即可得出．
【详解】
（1）当复数z为实数时，
所以
所以．
所以当时，复数z为实数．
（2）当复数z为虚数时，
所以
所以且．
所以当时，复数 z为虚数．
（3）当复数为纯虚数时，
所以
所以不存在实数 a，使复数z为纯虚数．
本题考查了复数的运算法则及其有关知识、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19．某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120 分为优秀，120 分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙
两个文科班全部110 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为．
（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，是否有99.9% 的把握认为“成绩与班级有关系”．
参考公式与临界值表：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）根据题意填写列联表即可；
（2）由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．
【详解】
（1）
（2），没有 99.9% 的把握认为成绩与班级有关．【点睛】
独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式
计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）
20．某公司经营一批进价为每件4 百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x（百元）与日销售量y（件）之间有如下关系：
相关公式：，．
（1）求y 关于x 的回归直线方程；
（2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元（精确到个位数）时，日利润最大?
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）求求出回归系数，即可y关于x的回归直线方程；
（2）销售价为x时的利润为（x﹣4）（﹣2x+20.8）＝﹣2x2+28.8x﹣83.2，即可得出结论．
【详解】
（1）因为，，所以，
．
于是得到y关于x的回归直线方程．
（2）销售价为 x 时的利润为.
当时，日利润最大．
【点睛】
求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；
②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为；回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.
21．已知抛物线，直线与E 交于A，B 两点，且，其中O 为原点．
（1）求抛物线 E 的方程；
（2）点C 坐标为(0,-2)，记直线CA，CB 的斜率分别为，，证明：为定值．
【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.
【解析】试题分析：本题考查抛物线的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的数量积等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问，将直线与抛物线方程联立，消去参数，得到关于的方程，得到两根之和两根之积，设出点的坐标，代入到中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得出的值，从而得到抛物线的标准方程；第二问，先利用点
的坐标得出直线的斜率，再根据抛物线方程转化参数，得到和的关系式，代入到所求证的式子中，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得出常数即可.
试题解析：（Ⅰ）将代入，得．2分
其中
设，，则
，．4分
．
由已知，，．
所以抛物线的方程．6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．
，同理，10分
所以．12分
【考点】1.抛物线的标准方程；2.韦达定理；3.向量的数量积；4.直线的斜率公式.
22．（本小题满分12分）已知椭圆:E
22
22
1
x y
a b
+=（0
a b
>>）的半焦距为c，原点O
到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为1
2
c ． （Ⅰ）求椭圆E 的离心率；
（Ⅱ）如图，AB 是圆:M ()()2
2
5
212
x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．
【答案】（Ⅰ）3
2；（Ⅱ）
221123
x y +=． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（Ⅱ）先由（Ⅰ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()22221
44y k x x y b
⎧=++⎪⎨
+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x 的值，进而可得k ，再利用
10AB =可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程．
试题解析：（Ⅰ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc ，
则原点O 到直线的距离22
bc
d a
b c =
=
+， 由1
2
d
c ，得2222a b a c ，解得离心率
3c a ． （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为2
2244x
y b ． (1) 依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且|AB |10．
易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y
k x ，代入(1)得
2222
(14)8(21)4(21)40k x k k x k b
设1122(,y ),B(,y ),A x x 则22
12
12
22
8(21)
4(21)4,.1414k k k b x x x x k k
由1
2
4x x ，得
2
8(21)4,14k k k 解得12
k
． 从而212
82x x b ．
于是
12|AB ||x x =-=
= 由|AB |
10，得22)10，解得2
3b ．
故椭圆E 的方程为
2
21123
x y ．
解法二：由（Ⅰ）知，椭圆E 的方程为2
2244x
y b ． (2)
依题意，点A ，B 关于圆心()2,1M -对称，且|AB |10． 设1122(,y ),B(,y ),A x x 则2
221144x y b ，22
22244x y b ，
两式相减并结合1
2124,y 2,x x y 得1212
-4()80x x y y ．
易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率1212
1k .2AB y y x x 因此AB 直线方程为1
(2)12y x ，代入(2)得224820.x x b
所以1
24x x ，212
82x x b ．
于是12|AB ||x x =-=
= 由|AB |
10，得22)10，解得2
3b ．
故椭圆E 的方程为
2
21123
x y ．
【考点】1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置．。