高考数学压轴专题新备战高考《集合与常用逻辑用语》难题汇编及答案

【高中数学】《集合与常用逻辑用语》考试知识点
一、选择题
1．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==
+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．M N =
B ．M N
C ．N M
D ．M N ⋂=∅ 【答案】C
【解析】
【分析】
化简集合2|,4k M x x k Z +⎧
⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭
，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解.
【详解】
由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧
⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
， 因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数，
所以集合,M N 的关系为N
M .
故选：C .
【点睛】
本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
2．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q x
x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( ) A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2 【答案】D
【解析】
【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分.
【详解】
解：{}19P x x =<<，{}
02Q x x =<<； ()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D.
【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.
简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
3．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ）
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线平行的等价条件，求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
当m=1时，两直线方程分别为直线l 1：x+y ﹣1=0，l 2：x+y ﹣2=0满足l 1∥l 2，即充分性成立，
当m=0时，两直线方程分别为y ﹣1=0，和﹣2x ﹣2=0，不满足条件．
当m≠0时，则l 1∥l 2⇒
32211m m m --=≠-， 由
321m m m -=得m 2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由211
m -≠-得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l 1∥l 2”的充要条件，
故答案为：A
【点睛】
（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线1110a x b y c ++=和直线2220a x b y c ++=平行，则12210a b a b -=且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.
4．14
a =-是函数2()1f x ax x =--有且仅有一个零点的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件
【答案】A
【解析】
【分析】 将14a =-
代入函数证明充分性，取0a =得到不必要，得到答案. 【详解】 当14a =-时，2
211()11042f x x x x ⎛⎫=---=-+= ⎪⎝⎭
，2x =-，充分性； 当0a =时，()10f x x =--=，1x =-，一个零点，故不必要.
故选：A .
【点睛】
本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.
5．已知命题:p “关于x 的方程240x x a -+=无实根”，若p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．[1,)+∞
B ．(1,)+∞
C ．(,1)-∞
D ．(,1]-∞ 【答案】B
【解析】
【分析】
求出p 为真命题时，a 的取值，由充分不必要条件的性质，得出314m +>，即可得出答案.
【详解】
当p 为真命题时，1640a ∆=-<，即4a >
令{|4}A a a =>，{|31}B a a m =>+
因为p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，所以B
A
即314m +>，解得1m >
故选：B
【点睛】
本题主要考查了由充分不必要条件求参数范围，属于中档题.
6．已知集合
，则 ( ) A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【解析】
【分析】
由题意，集合
，，再根据集合的运算，即可求解. 【详解】
由题意，集合，
， 所以
，故选C. 【点睛】 本题主要考查了对数函数的性质，以及不等式求解和集合的运算问题，其中解答中正确求解集合
，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
础题.
7．已知命题:p m ∃∈R ，10+<m ，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>恒成立，若p ，q 至少有一个是假命题，则实数m 的取值范围是( )
A ．[)2,1--
B ．(],2-∞-
C ．[]2,1--
D ．[)1,-+∞
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可判断命题p 为真命题，所以可得命题q 必定为假命题，进而得到参数的取值范围；
【详解】
因为p ，q 中至少有一个为假命题，而命题:p m ∃∈R ，10+<m 为真命题； 所以命题q 必定为假命题，所以2410m ∆=-⨯≥，解得2m ≤-或2m ≥.
又命题:p m ∃∈R ，10+<m 为真命题，所以1m <-，于是2m ≤-.
故选：B.
【点睛】
本题考查全称命题真假性的判断、复合命题真假性求参数取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
8．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直线和平面平行的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】 Q 点P 不在直线l 、m 上，
∴若直线l 、m 互相平行，则过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，即必要性成立，
若过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行，则直线l 、m 互相平行
成立，反证法证明如下：
若直线l 、m 互相不平行，则l ，m 异面或相交，则过点P 只能作一个平面同时和两条直线平行，则与条件矛盾，即充分性成立
则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的充要条件，
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键．
9．已知集合(){}2||lg 4A x y x
==-，{|B x y ==，则A B =I ( ) A ．{}|12x x << B ．{}|12x x ≤<
C ．{}|13x x 剟
D ．{}|23x x -<… 【答案】B
【解析】
【分析】
根据对数函数和二次函数的性质，求得集合,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解．
【详解】
由题意，集合(){}2|lg 4(2,2),{|[1,3]A x y x
B x y ==-=-===，
所以{|12}A B x x =≤<I .
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
10．下列四个命题中真命题的个数是
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则； ②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>
③命题“(,0)x ∃∈-∞，23x x <”是假命题.
④命题[
):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，则p q ∨为真命题 A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】D
【解析】
【分析】
根据四种命题的关系进行判断．
【详解】
①命题2“340,1?x x x --==-若则的逆否命题为2“1,340?x x x ≠---≠若则，正确；
②命题“,cos 1?x R x ∀∈≤的否定是00“,cos 1?x R x ∃∈>，正确；
③命题“(),0x ∃∈-∞，23x x <”是假命题，正确.
④命题[):1,,lg 0"p x x ∀∈+∞≥，命题2:,10q x R x x ∃∈++<，p 是真命题， 则p q ∨为真命题，正确．
因此4个命题均正确．
故选D ．
【点睛】
本题考查四种命题及其关系，解题时可根据四种命题的关系进行判断①②，同指数函数的性质判断③，由或命题的真值表判断④，是解此类题的一般方法，本题属于基础题．
11．给出如下四个命题：
①“250x x -<”是“|1|1x -<”的充分而不必要条件；
②命题“若1a =-，则函数2()21f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为真命题； ③若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；
④在ABC V 中，“A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件．
其中正确的命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】
利用四种命题的关系，充要条件，复合命题的真假，逐一判断即可得到结论.
【详解】
①由250x x -<，解得05x <<；由|1|1x -<，解得02x <<；
所以，“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故命题①错误；
②由函数()221f x ax x =+-有一个零点，当0a =时，函数()21f x x =-有一个零点，符合题意；当0a ≠时，由440a D =+?，解得1a ≥-，此时函数有一个零点； 所以，函数()2
21f x ax x =+-有一个零点的等价条件为1a ≥-， 故命题“若1a =-，则函数()2
21f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为“函数()221f x ax x =+-有一个零点，则1a =-”此命题为假命题，故命题②错误； ③若p 是q 的必要条件，可得q p ⇒，则p q ⌝⇒⌝，所以p ⌝是q ⌝的充分条件，故命题③正确；
④在ABC ∆中，若A B >，由于A B π+<，必有B A π<-，若A ，B 都是锐角，有sin sin A B >成立；若A ，B 之一为锐角，必是B 为锐角，此时有A π-不是钝角，由于
A B π+<，必有2B A π
π<-≤，此时有()sin sin sin A A B π-=>；
若sin sin A B >，当A 不是锐角时，有A B >，当A 为锐角时，仍可得到A B >； 故“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故命题④错误.
综上，命题③正确.
故选：A.
【点睛】
本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，复合命题等知识，难度不大，属于基础题.
12．“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
先分析“4a ≤-”能否推出“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”，这
是必要性分析；然后分析“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”能否推出“4a ≤-”，这是充分性分析，然后得出结果.
【详解】
若4a ≤-，则对称轴(1)32x a =-+≥>，所以()f x 在(,2]-∞上为单调递增，
取3a =-，则对称轴(1)2x a =-+=，()f x 在(,2]-∞上为单调递增，但4a >-，所以“()f x 在(,2]-∞上为单调递增”是“4a ≤- ”的必要不充分条件.
【点睛】
充分、必要条件的判断，需要分两步：一方面要说明充分性是否满足，另一方面也要说明必要性是否满足.
13．已知实数a b 、满足0ab >，则“
11a b <成立”是“a b >成立”的（ ） A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件 【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】 由11b a a b ab
--=，
0ab >Q ，∴若11a b
< 成立, 则0b a -< ，即a b >成立，反之若a b >，
0ab >Q ，110b a a b ab
-∴-=<， 即11a b
<成立， ∴“11a b
<成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】
本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
14．已知集合{}
2|log ,1,|A y y x x B x y ⎧
==>==⎨⎩，则A B =I （ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．()0,1
C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】A
【解析】 ∵集合{}2log ,1A y y x x ==
∴集合(0,)A =+∞ ∵集合|
B x y ⎧
==⎨⎩ ∴集合1(,)2B =-∞ ∴1(0,)2
A B ⋂=
故选A.
15．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．
16．设x ∈R ，则“03x <<”是“12x -<” 的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】 解绝对值不等式12x -<求得x 的取值范围.然后根据两者的范围判断正确选项.
【详解】 由12x -<，得212x -<-<，解得13x -<<，()0,3是()1,3-的子集，故“03x <<”是“12x -<”的充分而不必要条件.故选A.
【点睛】
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.
17．下列四个结论中正确的个数是
（1）对于命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∃∈都有210x ->；
（2）已知2(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=
（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为ˆ23y
x =-； （4）“1x ≥”是“12x x +
≥”的充分不必要条件. A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定．
【详解】
由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ∃∈使得2010x -≤，则:p x R ⌝∀∈都有210x ->，是错误的； （2）中，已知()22,X N σ~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所以 (2)0.5P X >=是正确的；
（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质
和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为ˆ23y
x =-是正确；
（4）中，当1x ≥时，可得12x x +
≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，所以“1x ≥”是“12x x
+
≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
18．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是
A ．M N N =I
B ．()U M N =∅I ð
C ．M N U =U
D ．()
U M N ⊆ð 【答案】A
【解析】
【分析】
求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．
【详解】
由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．
故选A ．
【点睛】
本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．
19．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.
【详解】 Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，
由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >.
因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件.
故选：C.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.
20．已知命题0:(0,)
p x ∃∈+∞20x >；命题1:,2q x ⎛⎫∀∈+∞ ⎪⎝⎭，122x x -+>下列命题中是真命题的为（ ）
A ．q ⌝
B ．()p q ∧⌝
C ．p q ∧
D ．()()p q ⌝∨⌝
【答案】C
【解析】
【分析】 分别判断命题p 为真，命题q 为真，得到答案.
【详解】
取012x =212⎛⎫> ⎪⎝⎭
，故命题p 为真；
因为122x x -+≥=12x =时等号成立，故命题q 为真； 故p q ∧为真，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.。