2017-2018学年河北省唐山一中高二上学期第一次月考数学试题(文科)解析版

2017-2018学年河北省唐山一中高二（上）第一次月考数学试卷
（文科）
一、选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行，则a=（）A．﹣1 B．2 C．0或﹣2 D．﹣1或2
2．（5分）直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，垂足为（1，p），则n的值为（）
A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．10
3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）
A．3 B．2 C．D．1
4．（5分）已知圆的方程是x2+y2=1，则在y轴上截距为的切线方程为（）
A．y=x+B．y=﹣x+
C．y=x+或y=﹣x+D．x=1或y=x+
5．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）
A．内切B．相交C．外切D．相离
6．（5分）圆心在直线x﹣y﹣4=0上，且经过两圆x2+y2+6x﹣4=0和x2+y2+6y﹣28=0的交点的圆的方程为（）
A．x2+y2﹣x+7y﹣32=0 B．x2+y2﹣x+7y﹣16=0
C．x2+y2﹣4x+4y+9=0 D．x2+y2﹣4x+4y﹣8=0
7．（5分）设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）
A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4 C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2
8．（5分）方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）
A．（4，+∞）B．（4，7） C．（7，10）D．（4，10）
9．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，在C上满足•=0
的点P的个数为（）
A．0 B．2 C．4 D．无数个
10．（5分）已知点（m，n）在椭圆8x2+3y2=24上，则2m+4的取值范围是（）A．[4﹣2，4+2]B．[4﹣，4+] C．[4﹣2，4+2]D．[4﹣
，4+]
11．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在
椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．
12．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线
与椭圆的公共点个数为（）
A．至多一个B．0个 C．1个 D．2个
二、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）如图所示，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是．
14．（5分）过点（1，）的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当优弧所对的圆心角最大时，直线l的斜率k=．
15．（5分）已知动点p（x，y）在椭圆=1上，若A点坐标为（3，0）||=1
且=0，则||的最小值是 ．
16．（5分）已知椭圆
=1（a ＞b ＞0）中有一条倾斜角为
的直线交椭圆
于A ，B 两点，若AB 的中点为C （），则椭圆离心率为 ．
三、解答题（解答应写出必要的文字说明和推理过程，17题10分，其他题12分）
17．（10分）已知椭圆=1（a ＞b ＞0）经过点A （0，4），离心率为；
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标．
18．（12分）已知直线l 过点P （1，1），并与直线l 1：x ﹣y +3=0和l 2：2x +y ﹣6=0分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分． 求：
（1）直线l 的方程；
（2）以O 为圆心且被l 截得的弦长为
的圆的方程．
19．（12分）已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是，
，离心
率是
，直线y=t 椭圆C 交与不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆
心为P ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标．
20．（12分）已知点A （1，0），点P 是圆C ：（x +1）2+y 2=8上的任意一点，线段PA 的垂直平分线与直线CP 交于点E ． （1）求点E 的轨迹方程；
（2）若直线y=x +m 与点的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．
21．（12分）如图，已知点A （1，
）是离心率为的椭圆C ：+=1（a
＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．
22．（12分）平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1，为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线交y=kx+m椭圆于C于A，B两点，求△ABO面积的最大值．
2017-2018学年河北省唐山一中高二（上）第一次月考数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题5分，共60分）
1．（5分）已知两条直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行，则a=（）A．﹣1 B．2 C．0或﹣2 D．﹣1或2
【分析】由两直线平行，且直线的斜率存在，所以，他们的斜率相等，解方程求a．
【解答】解：因为直线l1：（a﹣1）x+2y+1=0的斜率存在，
又∵l1∥l2，
∴，
∴a=﹣1或a=2，两条直线在y轴是的截距不相等，
所以a=﹣1或a=2满足两条直线平行．
故选：D．
【点评】本题考查两直线平行的性质，当两直线的斜率存在且两直线平行时，他们的斜率相等，注意截距不相等．
2．（5分）直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，垂足为（1，p），则n的值为（）
A．﹣12 B．﹣2 C．0 D．10
【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件、直线的交点即可得出．
【解答】解：∵直线mx+4y﹣2=0与直线2x﹣5y+n=0垂直，垂足为（1，p），
∴×=﹣1，2﹣5p+n=0，m+4p﹣2=0，
解得m=10，p=﹣2，n=﹣12，
故选：A．
【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、直线的交点，考查了推理能
力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）
A．3 B．2 C．D．1
【分析】由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离
【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离，则由圆的性质可得，，
即．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础试题
4．（5分）已知圆的方程是x2+y2=1，则在y轴上截距为的切线方程为（）
A．y=x+B．y=﹣x+
C．y=x+或y=﹣x+D．x=1或y=x+
【分析】用斜截式设切线方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列方程求出待定系数，从而得到切线方程．
【解答】解：在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y=kx+，
则=1，∴k=±1，故所求切线方程为y=x+，或y=﹣x+．故选C．
【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，用待定系数法求切线的斜率．
5．（5分）已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）
A．内切B．相交C．外切D．相离
【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：圆的标准方程为M：x2+（y﹣a）2=a2 （a＞0），
则圆心为（0，a），半径R=a，
圆心到直线x+y=0的距离d=，
∵圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，
∴2=2，
∴a=，
则圆心为M（0，），半径R=，
圆N：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心为N（1，1），半径r=1，
则MN=，
∵R+r=+1，R﹣r=﹣1，
∴R﹣r＜＜R+r，
即两个圆相交．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆相交的应用，以及两圆位置关系的判断，根据相交弦长公式求出a的值是解决本题的关键．
6．（5分）圆心在直线x﹣y﹣4=0上，且经过两圆x2+y2+6x﹣4=0和x2+y2+6y﹣28=0的交点的圆的方程为（）
A．x2+y2﹣x+7y﹣32=0 B．x2+y2﹣x+7y﹣16=0
C．x2+y2﹣4x+4y+9=0 D．x2+y2﹣4x+4y﹣8=0
【分析】设所求圆的方程为（x2+y2+6x﹣4）+λ（x2+y2+6y﹣28=0）=0，用λ表示出圆心，代入直线x﹣y﹣4=0，求出λ，从而求出所求．
【解答】解：根据题意，要求圆经过两圆x2+y2+6x﹣4=0和x2+y2+6y﹣28=0的交点，
设其方程为（x2+y2+6x﹣4）+λ（x2+y2+6y﹣28）=0，
变形可得（1+λ）x2+（1+λ）y2+6x+6λy﹣4﹣28λ=0，
其圆心为（﹣，），
又由圆心在直线x﹣y﹣4=0上，
则有（﹣）﹣（）﹣4=0，
解可得λ=﹣7；
则圆的方程为：（﹣6）x2+（﹣6）y2+6x﹣42y+192=0，
即x2+y2﹣x+7y﹣32=0，
故选：A．
【点评】本题考查圆的标准方程以及圆系方程的应用，关键是设出过两圆交点的圆系方程．
7．（5分）设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）
A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4 C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2
【分析】圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1，根据PA是圆的切线，且|PA|=1，可得，从而可求P点的轨迹方程
【解答】解：设P（x，y），则由题意，圆（x﹣1）2+y2=1的圆心为C（1，0），半径为1
∵PA是圆的切线，且|PA|=1
∴
∴P点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=2
故选：D．
【点评】本题以圆的标准方程为载体，考查圆的切线性质，考查轨迹方程的求解，属于基础题．
8．（5分）方程=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）
A．（4，+∞）B．（4，7） C．（7，10）D．（4，10）
【分析】直接由题意列关于k的不等式组得答案．
【解答】解：∵=1表示焦点在x轴上的椭圆，
∴，解得7＜k＜10．
∴实数k的取值范围是（7，10）．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了曲线方程表示椭圆的条件，是基础题．
9．（5分）已知F1，F2是椭圆的两个焦点，在C上满足•=0的点P的个数为（）
A．0 B．2 C．4 D．无数个
【分析】由椭圆方程求出a，b，c，判断椭圆的形状，确定满足题意的点的个数．
【解答】解：由，得a=2，b=2，c=2．
∵b=c=2，
∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有2个交点．
∴PF1⊥PF2的点P的个数为2，即满足•=0的点P的个数为2，
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的基本性质，垂直条件的应用是解题的关键，考查计算能力，是中档题．
10．（5分）已知点（m，n）在椭圆8x2+3y2=24上，则2m+4的取值范围是（）A．[4﹣2，4+2]B．[4﹣，4+] C．[4﹣2，4+2]D．[4﹣
，4+]
【分析】椭圆8x2+3y2=24方程可化为：=1，可得椭圆焦点在y轴上，可
得m的取值范围，即可得出．
【解答】解：椭圆8x2+3y2=24方程可化为：=1，
∴椭圆焦点在y轴上，又，b=，∴，
∴2m+4∈．
故选：A．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．（5分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在
椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．
【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．
【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），
∵=2，
∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．
∴a=2c，
∴e==，
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了
数形结合的数学思想．
12．（5分）若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）的直线与椭圆的公共点个数为（）
A．至多一个B．0个 C．1个 D．2个
【分析】先根据题意可知原点到直线mx+ny﹣4=0的距离大于等于2求得m和n 的范围可推断点P（m，n）是以原点为圆心，2为半径的圆内的点，根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆，进而可知点P是椭圆内的点，进而判断可得答案．
【解答】解：因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，
所以原点到直线mx+ny﹣4=0的距离d=＞2，
所以m2+n2＜4，
所以点P（m，n）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点．
∵椭圆的长半轴3，短半轴为2
∴圆x2+y2=4内切于椭圆
∴点P是椭圆内的点
∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了直线与圆、直线与圆锥曲线的关系，以及点到直线的距离公式，解决此类问题可采用数形结合的方法较为直观．
二、填空题（每题5分，共20分）
13．（5分）如图所示，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是2．
【分析】设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，
光线所经过的路程|P′P″|．
【解答】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（﹣2，0），设点P关于直线AB：x+y﹣4=0的对称点P″（a，b），
由解得，
故光线所经过的路程|P′P″|=2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．
14．（5分）过点（1，）的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当优弧所
对的圆心角最大时，直线l的斜率k=．
【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由优弧所对的圆心角最大，劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．
【解答】解：如图示，由图形可知：
点A（1，）在圆（x﹣2）2+y2=4的内部，
圆心为O（2，0），要使得优弧所对的圆心角最大，则劣弧所对的圆心角最小，只能是直线l⊥OA，
所以k=﹣=．
故答案为：．
【点评】垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所对的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小．
15．（5分）已知动点p（x，y）在椭圆=1上，若A点坐标为（3，0）||=1
且=0，则||的最小值是．
【分析】根据=0推断出，进而利用勾股定理可知|PM|2=|AP|2﹣|AM|2，进而问题转化为求得|AP|最小值，但点A到椭圆的右顶点时|AP|最小，进而求得||的最小值．
【解答】解：∵=0
∴
∴|PM|2=|AP|2﹣|AM|2
∵|AM|2=1
∴|AP|越小，|PM|越小，
|AP|最小是5﹣3=2，
∴|PM|最小是=
故答案为：
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质和平面向量的几何意义．考查了学生综合分析问题和推理能力以及数形结合的思想的运用．
16．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）中有一条倾斜角为的直线交椭圆
于A，B两点，若AB的中点为C（），则椭圆离心率为．
【分析】根据直线的斜率公式及点差法即可求得=，根据椭圆的离心率公式即可求得椭圆的离心率e．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可知：x1+x2=﹣1，y1+y2=，tan==1
由，，
作差，整理得：=﹣×，
∴=，
由椭圆的离心率e===，
∴椭圆的离心率e=，
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，“点差法”的应用，考查计算能力，属于基础题．
三、解答题（解答应写出必要的文字说明和推理过程，17题10分，其他题12分）
17．（10分）已知椭圆=1（a＞b＞0）经过点A（0，4），离心率为；
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
【分析】（1）由题意可知：b=4，根据椭圆离心率公式即可求得b的值，求得椭圆方程；
（2）由点斜式方程求得直线AB方程，代入椭圆方程，求得A和B点坐标，利用中点坐标公式，即可求得AB的中点坐标．
【解答】解：（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（0，4），则b=4，
椭圆离心率为e===，则a=5，
∴C的方程为+=1；
（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y=（x﹣3），
设直线与C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
将直线方程y=（x﹣3）代入C的方程，得x2﹣3x﹣8=0，
解得：x1=，x2=，
∴AB的中点M（x0，y0）坐标x0==，
y0==（x1+x1﹣6）=﹣，
即中点为（，﹣）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．
18．（12分）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．
求：
（1）直线l的方程；
（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．
【分析】（1）依题意可设A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），分别代入直线l1 和l2的方程，求出m=﹣1，n=2，用两点式求直线的方程．
（2）先求出圆心（0，0）到直线l的距离d，设圆的半径为R，则由，求得R的值，即可求出圆的方程．
【解答】解：（1）依题意可设A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），则，即，解得m=﹣1，n=2．
即A（﹣1，2），又l过点P（1，1），用两点式求得AB方程为=，即：x+2y﹣3=0．
（2）圆心（0，0）到直线l的距离d==，设圆的半径为R，则由
，
求得R2=5，故所求圆的方程为x2+y2=5．
【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．
19．（12分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标．
【分析】（Ⅰ）直接利用左、右焦点坐标和离心率是，就可求出对应椭圆C的
方程；
（Ⅱ）先把直线y=t与椭圆C的方程求出点M，N的横坐标，进而求出圆的半径，再利用圆P与x轴相切就可求出t以及圆心P的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）因为，且，所以
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意知p（0，t）（﹣1＜t＜1）
由得
所以圆P的半径为
解得所以点P的坐标是（0，）
【点评】在求椭圆的标准方程时，一般是利用条件先求a，c，或b，c；再利用a，b，c之间的关系即可求出椭圆的标准方程．
20．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2=8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）若直线y=x+m与点的轨迹有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由EC+EA=PC可知轨迹为椭圆，根据椭圆的定义得出方程；
（2）求出|PQ|和O到直线PQ的距离，列出不等式得出m的范围．
【解答】解：（1）∵E在线段PA的中垂线上，∴PE=AE，
∴EC+EA=EC+EP=PC=2＞AC=2，
∴E点轨迹是以A、C为焦点的椭圆，
设椭圆方程为，则，
∴a=，c=1，
又a2=b2+c2，∴b=1，
∴点E的轨迹为．
（2）联立方程组，消元得3x2+4mx+2m2﹣2=0，
∵直线与椭圆有两个交点P，Q，
∴△=16m2﹣24（m2﹣1）＞0，
解得：﹣＜m＜．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，
∴|PQ|=|x1﹣x2|==，
又O到直线PQ的距离d=，
∵原点O总在以PQ为直径的圆的内部，
∴＜，解得：﹣＜m＜．
【点评】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
21．（12分）如图，已知点A（1，）是离心率为的椭圆C：+=1（a
＞b＞0）上的一点，斜率为的直线BD交椭圆C于B，D两点，且A、B、D三点互不重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：直线AB，AD的斜率之和为定值．
【分析】（Ⅰ）根据点A（1，）是离心率为的椭圆C上的一点，建立方程，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线BD的方程为y=x+m，代入椭圆方程，设D（x1，y1），B（x2，y2），直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，则k AD+k AB=，由此能导出即k AD+k AB=0．
【解答】解：（1）由题意，可得e==，
代入A（1，）得，
又a2=b2+c2，…（2分）
解得a=2，b=c=，
所以椭圆C的方程．…（5分）
（2）证明：设直线BD的方程为y=x+m，
又A、B、D三点不重合，∴m≠0，
设D（x1，y1），B（x2，y2），
则由得4x2+2mx+m2﹣4=0
所以△=﹣8m2+64＞0，
所以﹣2＜m＜2．
x1+x2=﹣m，x1x2=﹣…（8分）
设直线AB、AD的斜率分别为：k AB、k AD，
则k AD+k AB==2+m•
=2+m•=2﹣2=0 （*）
所以k AD+k AB=0，即直线AB，AD的斜率之和为定值．…（12分）
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．
22．（12分）平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离
心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1，为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线交y=kx+m椭圆于C于A，B两点，求△ABO面积的最大值．
【分析】（1）由题意利用待定系数法求得a，b，c的值即可确定椭圆方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理得到三角形面积的表达式，换元之后结合二次函数的性质即可求得三角形面积的最大值．
【解答】解：（1）由题意可得：2a=4，则a=2，且，
据此可得：b=1，则椭圆方程为：．
（2）直线与y轴的交点坐标为（0，m），设A（x1，y1），B（x2，y2），则△ABO 的面积，
联立直线方程与椭圆方程可得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，
直线与椭圆有交点，则：△=（8km）2﹣4（1+4k2）×4（m2﹣1）＞0，
据此可得：4k2+1＞m2，则：
，
，
21 ， 令，∵4k 2+1＞m 2，∴0，则S=\frac {1}{2}\sqrt {t （1﹣t ）}$， 结合二次函数的性质可得，当
时，△ABO 的面积取得最大值
． 【点评】本题考查椭圆方程的求解，直线与椭圆方程的位置关系等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．。