第一章7矩阵的秩

x2
x3 x4
c1
2 1 0
c2
4 0 1
3
21
两个定理的推广
定理：矩阵方程 AX B 有解的充要条件是 R( A) R( A, B)
定理：矩阵方程 Amn X O有非零解的充要条件是 R( A) n
22
Cramer 法则
Cramer法则： 如果线性方程组
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2 an1x1 an2x2
32
0
0
6
9
1
1 2 2 1 1
1 2 2 1 1
0
0
2
1
0
0
0
2
1
0
0 0 0 0 5
0 0 0 12 1
0
0
0
12
1
0
0
0
0
5
7
矩阵的秩还有以下性质： 5）R(PAQ) ＝ R(A), 其中P, Q为可逆矩阵。 6）max{ R( A), R(B)} R( A, B) R( A) R( B)
A
2
3
5
4 7 1
3 阶子式 | A|=0
2 阶子式
1 2
2 0
3
∴ R(A) = 2
3
例. 求矩阵B 的秩, 其中
2 1 0 3 2
B
0
3 1 2
5
0 0 0 4 3
0
00
0
0
2 1 0 3 2 4 阶子式都 = 0
B
0
0
0
3 1 2
5
2 1 3
0 0 4 3 3 阶子式 0 3 2 0
29
对于齐次线性方程组有 定理： 如果齐次线性方程组的系数行列式 D≠0
则齐次线性方程组没有非零解。
定理： 如果齐次线性方程组有非零解， 则它的系数行列式必为0。
30
例：问 l 取何值时，齐次线性方程组
1
2
l x1 x1 3
2
l
x2
x
4x3 2 x3
0 0
x1 x2 1 l x3 0
a1n xn b1 a2n xn b2
ann xn bn
的系数行列式D不等于零，则线性方程组有唯一解，
x1
D1 D
,
x2
D2 D
,
,
xn
Dn D
.
23
其中
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
a11
a1, j 1 b1 a1, j 1
a1n
Dj
an1
an, j 1 bn an, j 1
9 5
0 1
6 2 108
0 4 7 6
1 0 7 6
21 8 1
2 1 5 8
1 D3 0
3 2
9 5
6
1
2 27 D4 0
3 2
0 1
9 27
5
14 0 6
1 4 7 0
所以
x1
D1 D
81 27
3,
x2 4,
x3 1,
x4 1.
27
Cramer 法则也可以叙述为
定理： 如果线性方程组的系数行列式 D ≠0，
有非零解？
31
解： 1 l 2 4 1 l 3 l 3 2l l2
D 2 3 l 1 2 1 l 1 2l
1 1 1l 1 0
0
(l 3)(2l 1) (1 l )(3 2l l2 )
l (l 2)(l 3)
因齐次方程组有非零解，则 D = 0
故 l = 0, 2, 3 时齐次方程组可能有非零解。
定义：矩阵 A的非零子式的最高阶数称为 A的秩， 记作 R(A) 。规定零矩阵的秩为 0.
1
由矩阵秩的定义可得以下性质：
1）若矩阵A 中有一个k 阶子式不为 0，则R(A) k；
若矩阵 A中所有 k 阶子式全为 0，则R(A) < k.
2）若 A为 m n 矩阵，则 0 R(A) min{ m , n } .
7）R( A B ) R( A) R(B )
8）R( AB) min{ R( A), R(B)}
9）若 Amn Bnl O, 则 R( A) R( B ) n
8
例 设 A 为 n 阶矩阵，证明
R(A + E) + R(A – E) n .
证明 根据前面的性质
R(A + E) + R(A – E) R(A + E – A + E) .
r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
7 7 12
3 5 3
c1 2c2
3 3
0 1 0
27
c3 2c2 7 7 2 7 2
26
8 1 5 1
2 8 5 1
9 D1 5
3 2
0 1
6
81
2
1 D2 0
条件是 R A R A,b，并且 当 R A R A,b n 时，有唯一解； 当 R A R A,b n 时，有无穷多解。
14
例：求解线性方程组
x1 2 x2 3 x1 x2
3x3 5x3
x4 3x4
1 2
2 x1 x2 2 x3 2 x4 3
1 2 3 1 1
3） R(AT) = R(A) .
4） 设A 为 n 阶方阵，则当 | A | 0 时 R(A) = n ,
当 | A | = 0 时 R(A) < n . 注：可逆矩阵又称满秩矩阵，
不可逆矩阵（奇异矩阵）又称降秩矩阵. 2
1 2 3
例.
求矩阵A
的秩,
其中
A
2
3
5
4 7 1
1 2 3
则其一定有解, 且解是唯一的。
其逆否命题是 定理： 如果线性方程组无解或有两个不同的解，
则它的系数行列式必为零。
28
齐次线性方程组
a11x1 a12 x2
a21x1
a22 x2
an1x1 an2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
ann xn 0
易知，x1 x 2 x n 0 是上述方程组的解，称为 齐次线性方程组的零解；若其有一组不全为零的解， 则称为齐次线性方程组的非零解。
第七节 矩阵的秩
定义：在矩阵 A中，任取 k 行、k 列所得的 k2个 元素不改变它们的相对位置而得的 k 阶行列式， 称为 A的一个 k 阶子式。
注：m n 矩阵 A 的 k 阶子式 共有 Cmk Cnk 个．
2 1 1 1 2
A
1
1
2
1
4
3 6 9 7 9
A的一个2阶子式：
1 2 69
= R(2E)=n .
9
线性方程组的解
非齐次与齐次线性方程组的概念:
线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
若常数项 b1, b2 , , bn 不全为零，则称此方程 组为非齐次线性方程组；若 b1, b2 , , bn 全为零，
则称此方程组为齐次线性方程组。
10
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
()
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
Ax b
11
不妨假定
化为行最 简形矩阵
12
x1 b x 1,r1 r1 b1n xn d1
00
0
0
00 4
∴ R(B) = 3
4
定理 若A ~ B, 则 R(A) = R(B) . 事实上，若 A 经过一次初等变换变为 B，A的
k 阶子式全等于零, 则 B的 k 阶子式也全等于零。
根据这一定理,为求矩阵的秩,只要把矩阵 用初等变换变成行阶梯矩阵, 行阶梯形矩阵 中非零行的行数即是该矩阵的秩.
6
1 2 2 1 1
例
设
A
2 2
4 4
8 2
0 3
,b
2
3
,
3
6
0
6
4
求矩阵 A 及矩阵 B = ( A , b ) 的秩.
R(A) =3 R(B) =4
解
(A
1
b)
2
2
2 4 4
2 8 2
1 0 3
1
2
3
1
0 0
2 0 0
2 4 6
1 1
2
0
3 5
3
6
0
6
4
0 0
x1 x2 4 x3 3 x4 0
解：
1 2 2 1 1 2 2 1
A
3 1
1 1
2 4
2 3
0 0
3 3
6 6
4 4
1 0 2 5 3
0 1 2 4 3
0 0 0 0
20
x1 x2
2x3 2x3
5
3 4
3
x4 x4
0 0
x1 2 5 3
5
1 2 1 1
例
设
A
3
2
a
1 ,
5 6 3 b
已知 R(A) = 2，求 a 与 b 的值.
1 2 1 1 1 2 1 1
解
A
3
2
a
1 0 4 a 3
4
5 6 3 b 0 4 8 b 5
1 2 1 1
0 4 a 3
4
0 0 5 a b 1
因为 R(A) = 2，故 a=5， b=1.
解：(
A,
b)
3 2
1 1
5 2
3 2
2 3
15
1 2 3 1 1
0 0
5 5
4 4
0 0
11
1 2 3 1 1
0 0
5 0
4 0
0 0
21
R( A) 2, R( A, b) 3 可知方程组无解。
16
例：求解线性方程组
x1 3 x1
x2 x2
3x3 3x3
1 4
x2
3c1
1 4
x3 2c1
令 x3 2c1
即
x1 x2 x3
c1
3 3 2
1 4
5 1 0
18
齐次线性方程组有非零解的条件
定理：齐次线性方程组 Amn x 0有非零解的 充要条件是 R( A) n
19
例：求解齐次线性方程组
x1 2 x2 2 x3 x4 2 x1 x2 2 x3 2 x4
(#)
xr
b x r ,r 1 r 1
brn xn
dr
0 dr1
(1) 若 dr1 0 ，则 (#)无解。 (2) 若 dr1 0, 则 (#)有解，并且
当
r r
n n
时，有唯一解。 时，有无穷多解。
13
非齐次性线性方程组有解的条件
定理：非齐次线性方程组 Amn x b 有解的充要
ann
证明： 略。见教材P82。
24
例：用 Cramer 法则解线性方程组。
2x1 x2 5x3 x4 8
x1
3x2 2x2 x3
6x4 9 2x4 5
x1 4 x2 7 x3 6 x4 0
25
解： 2 1 5 1
1 3 0 6 D
0 2 1 2
1 4 7 6
r1 2r2
x1 5 x2 9 x3 0
1 1 3 1
1 1 3 1
解：
( A,b)
3 1
1 5
3 9
4 0
0 0
4 0
6 0
1 0
1
0
3 2
5
4
0 1 3 1
2 4
0
0
0
0
R( A) R(A,b)
17
得
x1
3 2
x3
5 4
x2
3 2
x3
1 4
x1
3c1
5 4
故