分部积分方法及例题

u dv
dv
= x sin x − ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C
uv
v du
简化
（2）I2 = ∫ x2 sin x d x= −∫ x2 d cos x
dv
dv
= − x2 cos x + ∫ cosx dx2
vdu
简化
= − x2 cos x+ 2∫ x cosx dx
综合题
例9 ∫ e x dx 令t = x 2 ∫ te t d t
= 2(t e t − e t ) + C = 2e x ( x − 1) + C
例10
I
=
∫
lncosx cos2 x
d
x=
∫
ln
cos x d udv
tan
x
= tan x ⋅ ln cos x + ∫ tan2 x dx
= tan x ⋅ ln cos x + ∫ (sec2 x − 1) dx
问: 选 u = e x 行吗？ 行.
∫ ∫ I = e x d(sin x ) = e x sin x − sin x d e x u ∫ = e x sin x − sin x ⋅ e x d x (第二次分部积分)
∫ = e x sin x + e x dcos x u
两次所选u的 函数类型不
∫ (2) xn ln x d x
设 u = ln x （例3(1)）
∫ (3) xn arcsinxd x 设 u = arcsin x
（例3(2)）
dv = xnd x
3° 选 u 的优先原则： “对反代三指” 法
( 或称为“ LIATE ” 法).
选
L 对数函数
u 的
I
反三角函数
优
A
代数函数
dx
= (x2
x + a2 )n
uv
+ 2n∫
(x2 + a2)− a2 ( x2 + a2 )n+1
dx
I1
=
∫
x
2
1 +
a
2
d
x
= a arctan x + C a
In
=
(
x
2
x +a
2
)n
+
2
n∫
(x2 + a2)− a2 ( x2 + a2 )n+1
dx
=
(x2
x + a2
)n
+ 2n In − 2na2In+1
(2) ∫ v d u 比 ∫ u d v 易积分 .
例3 求下列不定积分：
∫ (1) I1 =
x
ln x dx u
=
∫
ln
xd
x2 2
dv
=
x2 2
ln
x−
∫
x2 2
d ln
x
vdu
= 1 x2 ln x 2
−
1 2
∫
x
dx
= 1 x2 ln x − 1 x2 + C
2
4
简化
（2）I 2
=
∫
x
In = x ne x − nIn−1
例2 （1）I1 = ∫ xcos x dx
分析 取 uu？==co?s x, x d x = 1 d x2 = d v
2
∫ ∫ x cos x d x = x2 cos x + x2 sin x d x 更不易积分
2
2
显然，u 选择不当，积分更难进行.
解 （1）I1 = ∫ xcos x dx = ∫ x d sin x
=
x(
cos x x
)′
−
cos x
x
+
C
=
− sin
x
−
2 cos x
x
+
C
注 若先求出 f ′( x)，再求积分会更复杂.
解2 由题设
f
(
x)
=（cos x
x）′ =
−
x
sin
x−
x2
cos
x
f
′( x) =
(
−
x sin x − cos x
x2
)′
=L
∫
x
f
′( x)dx
=∫
⎜⎛ ⎝
−
cos
dv
= e x cos x− ∫ e x dcos x
vdu
= e x cos x+ ∫ sin xe x dx
难度相当
= e x cos x + e x sin x− ∫ e x cos x dx 注意循环形式
= e x cos x + e x sin x − I
I = 1 e x (sin x + cos x) + C 2
arctan
x
dx=
∫
a rc tan
x d(
x2 2
)
udv
=
1 2
x2
arctan
x−
1 2
∫
1
x2 + x2
dx
=
1 2
x
2
arctan
x
−
1 2
∫
(1
−
1
1 +x
2
)
dx
简化
= 1 x2 arctan x − 1 ( x − arctan x) + C
2
2
注 2° 分部积分小结(1)
∫ (1) xneαx d x 设u = xn （例1，例2） ∫ xn sin x d x
= tan x ⋅ ln cos x + tan x − x + C
例11
已知
f ( x) 的一个原函数是
cos x
x
,
求∫
x
f
′(
x)
dx
.
解 由题设 f ( x) =（cos x）′ ，
x
∫
f (x)d
x
=
cos x x
+ C1
故 ∫ x f ′( x)dx = ∫ x d f ( x) = x f ( x)− ∫ f ( x)dx
uv
难度相当
= tan x sec x − （∫ tan2 x + 1）sec x d x
= tan x sec x − I − ln sec x + tan x + C
故 I = 1[tan x sec x − ln sec x + tan x ] + C 2
例7 In = ∫ sinn x d x （n ≥ 2,自然数），
uv v d u = xe x − e x + C
简化
问： 能否取 u = e x ? 不行.
∫ ∫ xe x d x = 1 e x ⋅ 2 x d x 2 u dv
∫ ∫ = 1 e x d x 2 = 1 ( x 2e x − x 2 d e x )
2
2
∫ = 1 ( x 2e x − x 2e x d x ) 更不易积分 2
I1 = − x2 cos x+ 2( x sin x + cos x) + C
推广 ∫ xn sin x d x, 令u = xn
∫ 注 1° 设 f ( x )d x, 其中 f ( x ) = ϕ ( x )ψ ( x ).
选 u 的一般原则：
(1) d v = ψ ( x ) d x
∫ψ ( x)d x 易积分 , v 易求 ;
∫ = e x sin x + e x cos x −
e
x
cos
x
d
变！
x
= e x sin x + e x cos x − I
∴ I = e x (sin x − cos x) + C .
2
注 4º 选谁作为 u 并不是绝对的. 事实上， LIATE法适用于大多数情形, 但对于 一些情形也可例外.
1 + x2
u
∫ = 1 + x2 arctan x − 1 + x2 d(arctan x)
∫ = 1 + x2 arctan x −
1
+
x2
⋅
1
1 + x2
d
x
∫ = 1 + x2 arctan x −
1 d x 令 x = tan t
1 + x2
∫ ∫ ∫ 1 d x =
1 sec2 t d t = sec t d t
(
x)
d
x
∫ =
⎪⎧ ⎨
1 +− [f
f 2(x) ( x )]n
d
x
–+
In−2
∫⎪⎩
1 [
+
− f(
f (x) x)]n
d
x
+–
In−1
类似题：
∫ ∫ (1) In =
1 sin n
dx x
=
1
−
sin2 x + sin2 sinn x
x
d
x
∫ ∫ =
cos2 sinn
x x
d
x
+
In−2
=
1
In = ∫ sinn x d x = − cos x sinn−1 x J n = ∫ cos n x d x
+ (n − 1)∫ sinn−2 x d x − (n − 1)∫ sinn x d x
= − cos x sinn−1 x +（n − 1）In−2 −（n − 1）In （n ≥ 2, n ∈ N）
故
In
=
−
1 cos n
x sinn−1
x+
n− n
1
In−2
同理
Jn
=
1 sin n
x cosn−1
x
+
n− n
1 Jn−2
例8
In
=
∫
(x2
d +
x a
2
)
n
，试导出递推关系.
udv
分析 欲将In表示成 In−1或In+1的表示式.
解
In=
(
x2
x + a2 )n
+
2n∫
(x2
x2 + a2
)n+1
推广
（2）I2 = ∫ x2ex d x = −∫ x2 d e x = − x 2e x+ ∫ e x dx2
dv
dv
vdu
= − x2e x + 2∫ e x xdx
I1 = − x2e x + 2（xe x − e x）+ C
简化
In
= ∫ xne x d x
dv
令u =
xn xne x
− n∫ xn−1e x d x
1 + x2
1 + tan2 t
= ln(sec t + tan t ) + C = ln( x + 1 + x2 ) + C
∫ ∴ x arctan x d x 1 + x2 = 1 + x2 arctan x − ln( x + 1 + x2 ) + C .
例5 I = ∫ e x cos x dx = ∫ cos x d e x
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第4章
第三节 不定积分的分布积分法
一、分部积分公式
二、典型例题
∫ ∫ 引例
e
xdx 令
x=t 2
t et dt
（换元法无法解决）
一、分部积分公式
由导数公式 (uv)′ = u′v + uv′
∫ 如：对于 eαx cos βx d x，
u, d v 可任取 （例5）
但应该注意：若需要积分两次以上，则每次所 选 u 的函数类型不变！
5º 用分部积分法，有时会出现积分“复原”的情形. 积分“复原”主要出现在以下三种情形：
(1) “复原”积分前的系数为“+1”，得不到积分
结果. 主要原因：积分过程有错，选 u 不
1 −
n
cos x d(sin1−n x) + In−2
u
∫ ∫ (2) In =
xn
1 x
2
+
1
d
x
=
1+ x2 − x2 d x xn x2 + 1
∫ ∫ =
1+ x2 xn
d
x
−
In−2
=
1
1 −
n
1 + x2 d x1−n − In−2
u
7º 分部积分小结（2） (1) 简化型（例1，例2，例3 ，例4 ）； (2) 方程型 （例5，例6）； (3) 递推型 （例7，例8）.
先 顺
T
三角函数
序
E
指数函数
I
∫ 例4 求积分
x arctan x d x. 1+ x2 A
解Q
( 1 + x2 )′ =
x, 1+ x2
选 L 对数函数
u I 反三角函数 的 优 A 代数函数 先 T 三角函数 顺 序 E 指数函数
∫ ∫ ∴ x arctan x d x = arctan x d 1 + x2
I=∫
xe x dx = 2x ex −1
e x − 1 − 2∫
ex −1dx
令u =
e
x
−
1,
则
d
x
=
1
2u + u2
d
u
I = 2x
ex
−1
−
4
u 2 4+u12− 1
∫ 1+ u2 d u
= 2x e x − 1 − 4（u − arctan u）+ C
I = 2x e x − 1− 4 e x − 1 + 4arctan e x − 1 + C
递推公式:
In
=
∫
(x2
dx + a2)n
I n+1
=
1 2na2
(x2
x + a2 )n
+
2n − 1 2na2
In
注 6º 一般地，对于
∫ ∫∫ In =
[
f
1 ( x)]n
d
x
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
1+−
f
2(x) +– f
[ f (x)]n
2(x)d
x
1 +−
f [
( x) +– f
f ( x)]n
x
+
2 sin x
x
+