《高考风向标》高考数学一轮复习 第六章 第3讲 三角函数的图像与性质精品课件 理

解：(1)∵t＝sinx＋cosx＝
π 2sin x＋4，∴－
2≤t≤ 2.
∵t2＝1＋2sinxcosx，∴2sinxcosx＝t2－1. ∴y＝t2－1－2t＋a2＝(t－1)2＋a2－2. ∵－ 2≤t≤ 2， ∴当 t＝1 时，函数 y 取得最小值 a2－2. (2)∵a2－2＝1，∴a＝± 3.
题．
类比：三角函数是函数，注意用普通的函数的思想方法解 决三角函数问题．另外，要注意一些基本方法的类比．
数形结合：用好三角函数的图像、三角函数线，有利于问
题的快速解决．
3.五点法作 y＝Asin(ωx＋φ)的简图时，设 X＝ωx＋φ，则 X 通常 π 3π 0 、 、 π 、 取________________ 2 2 、2π 五个值．
π y＝10sin8x＋φ＋20，
3π 将 x＝6，y＝10 代入，取 φ＝ 4 ，
π 3π ∴y＝10sin8x＋ 4 ＋20，x∈[6,14].
错源：忽略对参数的讨论
例 3：已知函数 f(x)＝2acos2x＋ 3asin2x＋a2(a∈R，a≠0 为常数)． (1)若 x∈R，求 f(x)的最小正周期； (2)若 x∈R 时，f(x)的最大值等于 4，求 a 的值．
4．研究函数 y＝Asinx＋Bcosx 的性质时，先要进行的变换 B 是 Asinx＋Bcosx＝ A ＋B sin(x＋θ)(tanθ＝A)．
2 2
1．函数
π y＝cos2－2x是(
D)
A．最小正周期为 2π 的偶函数 B．最小正周期为 2π 的奇函数 C．最小正周期为 π 的偶函数 D．最小正周期为 π 的奇函数
x 2．函数 y＝sin2的图像的一条对称轴的方程是( C ) A．x＝0 C．x＝π π B．x＝2 Dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx＝2π
3．函数 y＝cosx 的一个单调递增区间为( D )
π π A.－2，2 π 3π C.2， 2
B．(0，π) D．(π，2π)
4 ．如果函数 f(x) ＝ sin(x ＋ θ) 是奇函数，则常数 θ 的值为
图 6 －3 －1
考点 1 三角函数的性质 π 例 1：已知函数 f(x)＝sinx＋sin x＋2，x∈R.
(1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的最大值和最小值； 3 (3)若 f(α)＝4，求 sin2α 的值．
解题思路： 将函数表达式化简为 f(x)＝Msin(ωx＋φ)＋k 的形 式，应用 f(x)＝Msin(ωx＋φ)＋k 的图像和性质解决问题．
研究函数的性质问题，先要把函数解析式化简为 正弦型或余弦型函数，通过正弦型或余弦型函数来解决问题．
【互动探究】 1．已知函数 y＝2sinxcosx－2(sinx＋cosx)＋a2. (1)设 t＝sinx＋cosx，t 为何值时，函数 y 取得最小值； (2)若函数 y 的最小值为 1，试求 a 的值．
第3讲
三角函数的图像与性质
1．三角函数和其他函数一样，重点研究它的解析式、六条
性质、图像、应用．这是整个复习过程的一条主线．这六条性 质是：定义域、_______ 值域 、单调性、_________ 奇偶性 、周期性、对称性．
2．研究三角函数问题的基本数学思想方法． 正弦函数 转化：例如将函数 y＝Asin(ωx＋φ)问题转化为__________ 问
kπ(k ∈Z) ； _________
如果函数 f(x) ＝ sin(x ＋ θ) 是偶函数，则常数 θ 的值为 π k π ＋ ___________ 2(k∈Z) ．
5．如图 6－3－1，已知函数 y＝2cosx(0≤x≤2π)的图像和 直线 y＝2 围成一个封闭的平面图形(阴影部分)，现向长方形 1 ABCD 内任投一个质点，则此质点落在阴影部分的概率为___. 2
π 解析：f(x)＝sinx＋sinx＋2
＝sinx＋cosx＝
π 2sinx＋4.
2π (1)f(x)的最小正周期为 T＝ 1 ＝2π. π (2)f(x)的最大值为 2，此时，x＝2kπ＋4(k∈Z)； 3π 最小值为－ 2，此时，x＝2kπ－ 4 (k∈Z) . 3 3 7 (3)因为 f(α)＝4，即 sinα＋cosα＝4⇒2sinαcosα＝－16， 7 即 sin2α＝－16.
误解分析：忽略对参数的讨论．
正解：f(x)＝a(1＋ cos2x) ＋ 3asin2x＋a 2
π ＝2asin 2x＋ ＋a2＋a， 6
∴最小正周期为 π.
考点 2 三角函数的图像
π 在0，2内有两个不
例 2： 关于 x 的方程 3sin2x＋cos2x＝k 同的实数根，求实数 k 取值范围．
解题思路：转化为函数 y＝ 3sin2x＋cos2x 和函数 y＝k 的 图像有两个公共点问题．
解析：函数 y＝
π 3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋6，设
π 2x＋6＝t，
π 7π π π π 7π ∵0≤x≤2，∴6≤2x＋6≤ 6 ，则转化为函数 y＝2sint6≤t≤ 6
与函数 y＝k 的图像有两个公共点问题，如图 6－3－2 观察它们 的图像得，k 的取值范围为 1≤k＜2.
图 6 －3 －2
方程有解问题，一般转化为根的分布问题、函 数图像问题、函数的值域问题． 【互动探究】 2．如图 6－3－3，某地一天从 6 时至 14 时的温度变化曲线 近似满足函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)求这段时间的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
图 6－3－3
解：(1)由图像可知，这段时间的最大温差是 30 ℃－10 ℃
＝20 ℃.
(2)图中从 6 时至 14 时的图像是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的 1 2π π 半个周期的图像，∴2× ω ＝14－6，ω＝8， 1 1 A＝2(30－10)＝10, b＝2(30＋10)＝20， 这时