七年级上册深圳南山区学府中学数学期末试卷(提升篇)(Word版 含解析)

七年级上册深圳南山区学府中学数学期末试卷（提升篇）（Word版
含解析）
一、初一数学上学期期末试卷解答题压轴题精选（难）
1．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图①），其中，， .
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
（2）若，求的度数；
（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角，试探究等于多少度时，并简要说明理由.
【答案】（1）解：，理由如下：
，
（2）解：如图①，设，则，
由（1）可得，
，
，
（3）解：分两种情况：
①如图1所示，当时，，
又，
；
②如图2所示，当时，，
又，
.
综上所述，等于或时， .
【解析】【分析】（1）由∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可求出∠BCD+∠ACE的度数.
（2）如图①，设∠ACE=a，可得∠BCD=3a，结合（1）可得3a+a=180°，求出a的度数，即得∠BCD的度数.
（3）分两种情况讨论，①如图1所示，当AB∥CE时，∠BCE=180°-∠B=120°，②如图2所示，当AB∥CE时，∠BCE=∠B=60°，分别求出∠BCD的度数即可.
2．已知，∠AOB=∠COD=90°，射线OE，FO分别平分∠AOC和∠BOD．
（1）当OB和OC重合时，如图（1），求∠EOF的度数；
（2）当∠AOB绕点O逆时针旋转至图（2）的位置（0°＜∠BOC＜90°）时，求∠EOF的度数．
【答案】（1）解：当OB和OC重合时，∠AOD=∠AOC+∠BOD=180°，
又∵射线OE，FO分别平分∠AOC和∠BOD，
∴∠COE= ∠AOC，∠BOF= ∠BOD，
∴∠EOF=∠COF+∠BOF= （∠AOC+∠BOD）= ×180°=90°
（2）解：∵∠AOB=∠COD=90°，∠COE= ∠AOC，∠BOF= ∠BOD，
∴∠EOF=∠COE+∠BOF﹣∠BOC
= ∠AOC+ ∠BOD﹣∠BOC
= （∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
= （∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BOC）﹣∠BOC
= （180°+2∠BOC）﹣∠BOC
=90°+∠BOC﹣∠BOC
=90°
【解析】【分析】（1）由角平分线的性质可得∠COE=∠AOC，∠BOF=∠BOD；由平角的定义可得∠AOC+∠BOD=180°，由角的构成可得∠EOF=∠COE+∠BOF，代入计算即可求解；（2）同理可求解。

3．如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC．
（1）若∠AOC=60°，请求出∠AOD和∠BOC的度数.
（2）若∠AOD和∠DOE互余，且∠AOD= ∠AOE，请求出∠AOD和∠COE的度数．
【答案】（1）解：∠AOD= ×∠AOC= ×60°=30°，∠BOC=180°﹣∠AOC=180°﹣60°=120°（2）解：∵∠AOD和∠DOE互余，
∴∠AOE=∠AOD+∠DOE=90°，
∴∠AOD= ∠AOE= ×90°=30°，
∴∠AOC=2∠AOD=60°，
∴∠COE=90°﹣∠AOC=30°
【解析】【分析】（1）①由角平分线的定义可得：∠AOD=∠COD= ∠AOC即可求解；
②由邻补角的定义可得：∠BOC+∠AOC= 180°，所以∠BOC= 180° -∠AOC即可求解；
（2）①由互为余角的定义和图形可得∠AOE=∠AOD+∠DOE= 90°，所以∠AOD= ∠AOE 可求解；②由①可得∠AOD的度数，由角平分线的定义可得∠AOC=2∠AOD，所以∠COE=∠AOE-∠AOC，把∠AOE和∠AOC的度数代入计算即可求解。

4．如图
如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的一个“二倍点”．
（1）一条线段的中点________这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若线段AB=20cm，点M从点B的位置开始，以每秒2cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，运动的时间为t秒．
问t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”.
（3）同时点N从点A的位置开始，以每秒1cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．
【答案】（1）是
（2）解：当AM=2BM时，20﹣2t=2×2t，解得：t= ；
当AB=2AM时，20=2×（20﹣2t），解得：t=5；
当BM=2AM时，2t=2×（20﹣2t），解得：t= ；
答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”
（3）解：当AN=2MN时，t=2[t﹣（20﹣2t）]，解得：t=8；
当AM=2NM时，20﹣2t=2[t﹣（20﹣2t）]，解得：t=7.5；
当MN=2AM时，t﹣（20﹣2t）=2（20﹣2t），解得：t= ；
答：t为7.5或8或时，点M是线段AN的“二倍点”．
【解析】【解答】解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，
该线段等于2倍的中点一侧的线段长．
所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”
故答案为：是
【分析】（1）由中点可知，这条线段等于中点分出的线段的2倍，进而得出结论；（2）分三种情况：当AM=2BM时，当AB=2AM时，当BM=2AM时，分别列出方程解答即可；
（3）分三种情况：当AN=2MN时，当AM=2NM时，当MN=2AM时，分别列出方程解答即可.
5．如图，已知OE平分，OF平分
（1）若是直角，，求的度数.
（2）若，，，请用x 的代数式来表示直接写出结果就行 .
【答案】（1）解：∵∠AOB是直角，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋60°＝150°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝75°，
∵OF平分∠BOC，
∴∠COF＝∠BOC＝30°，
∴∠EOF＝∠EOC−∠COF＝75°−30°＝45°；
（2）解：∵∠AOC＝x°，OE平分∠AOC，
∴∠EOC＝∠AOC＝ x°，
∵OF平分∠BOC，∠BOC＝60°，
∴∠COF＝∠BOC＝30°，
∴∠EOF＝∠EOC−∠COF＝x°−30°，即y＝x−30.
【解析】【分析】（1）由∠AOB是直角、∠BOC＝60°知∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝150°，根据OE平分∠AOC、OF平分∠BOC求得∠EOC、∠COF度数，由∠EOF＝∠EOC−∠COF可
得答案；（2）由∠AOC＝x°，、OE平分∠AOC 知∠EOC＝∠AOC＝ x°，由OF平分∠BOC、∠BOC＝60°知∠COF＝∠BOC＝30°，根据∠EOF＝∠EOC−∠COF可得答案.
6．将一副直角三角板按如图1摆放在直线AD上直角三角板OBC和直角三角板MON，，，，，保持三角板OBC不动，
将三角板MON绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒
（1）如图2， ________度用含t的式子表示；
（2）在旋转的过程中，是否存在t的值，使？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.
（3）直线AD的位置不变，若在三角板MON开始顺时针旋转的同时，另一个三角板OBC 也绕点O以每秒的速度顺时针旋转.
①当 ________秒时，；
②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系关系式中不能含
.________
【答案】（1）90﹣8t.
（2）解：当MO在∠BOC内部时，即t 时，根据题意得：
90﹣8t=4（45﹣8t）
解得：t ；
当MO在∠BOC外部时，即t 时，根据题意得：
90﹣8t=4（8t﹣45）
解得：t .
综上所述：t 或t .
（3）5或10；解：∵∠NOD=90﹣8t，∠BOM=6t，∴3∠NOD+4∠BOM=3（90﹣8t）+4×6t=270°. 即3∠NOD+4∠BOM=270°.
【解析】【解答】解:（1）∠NOD一开始为90°，然后每秒减少8°，因此∠NOD=90﹣8t.
故答案为：90﹣8t.
（ 3 ）①当MO在∠BOC内部时，即t 时，根据题意得：
8t﹣2t=30
解得：t=5；
当MO在∠BOC外部时，即t 时，根据题意得：
8t﹣2t=60
解得：t=10.
故答案为：5或10.
【分析】（1）把旋转前∠NOD的大小减去旋转的度数就是旋转后的∠NOD的大小.（2）相对MO与CO的位置有两种情况，所以要分类讨论，然后根据∠NOD=4∠COM建立关于t 的方程即可.（3）①其实是一个追赶问题，分MO没有追上CO与MO超过CO两种情况，然后分别列方程即可.
②分别用t的代数式表示∠NOD和∠BOM，然后消去t即可得出它们的关系.
7．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°，将一个含45°角的直角三角尺的一个顶点放在点O处，斜边OM与直线AB重合，另外两条直角边都在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角尺绕着点O逆时针旋转90°，如图2所示，此时∠BOM＝________度（答案直接填写在答题卡的横线上）；在图2中，OM是否平分∠CON?请说明理由；（2）紧接着将图2中的三角板绕点O逆时针继续旋转到图3的位置所示，使得ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠CON之间的数量关系，并说明理由；
（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，请你直接写出t的值为多少．
【答案】（1）90°，
OM平分∠CON．理由如下：
∵∠BOC=135°，
∴∠MOC=135°-90°=45°，
而∠MON=45°，
∴∠MOC=∠MON
（2）∠AOM=∠CON．
理由如下：如图3，
∵∠MON=45°，
∴∠AOM=45°-∠AON，
∵∠AOC=45°，
∴∠NOC=45°-∠AON，
∴∠AOM=∠CON
（3）解：t= ×45°÷5°=4.5（秒）或t=（180°+22.5°）÷5°=40.5（秒）．
故答案为90°；4.5秒或40.5秒．
【解析】【分析】（1）利用旋转的性质可得∠BOM的度数，然后计算∠MOC的度数判断OM是否平分∠CON；（2）利用∠AOM=45°-∠AON和∠NOC=45°-∠AON可判断∠AOM与∠CON之间的数量关系；（3）ON旋转22.5度和202.5度时，ON平分∠AOC，然后利用速
度公式计算t的值．
8．已知：在和中，，，将如图摆放，使得的两条边分别经过点和点 .
（1）当将如图1摆放时，则 ________度.
（2）当将如图2摆放时，请求出的度数，并说明理由.
（3）能否将摆放到某个位置时，使得、同时平分和？直接写出结论________（填“能”或“不能”）
【答案】（1）240
（2）∠ABD+∠ACD=40°；
理由如下：
∵∠E+∠F=100°
∴∠D=180°−(∠E+∠F)=80°
∴∠ABD+∠ACD=180°−∠A−∠DBC−∠DCB=180°−40°−(180°−80°)=40°；
（3）不能
【解析】【解答】解：(1)在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−40°=140°
在△BCD中,∠D+∠BCD+∠CBD=180°
∴∠BCD+∠CBD=180°−∠D
在△DEF中,∠D+∠E+∠F=180°
∴∠E+∠F=180°−∠D
∴∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=140°+100°=240°；
故答案为：240；
( 3 )不能.假设能将△DEF摆放到某个位置时,使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB.则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°,那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能.
【分析】（1）要求∠ABD+∠ACD的度数,只要求出∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD,利用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°;∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°,从而得出答案；
（2）要求∠ABD+∠ACD的度数，只要求出∠ABC+∠ACB-（∠BCD+∠CBD）的度数.根据三
角形内角和定理，∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°；根据三角形内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=140°，得出∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-（∠BCD+∠CBD）=140°-100°=40°；
（3）不能，假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB，则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能.
9．平行线问题的探索
（1）问题一：
已知：如图，AB∥CD，EF⊥AB于点O，FG交CD于点P，当∠1=30°时，求∠EFG的度数。

甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题，如图1：
甲同学辅助线的做法和分析思路如下
辅助线：（）
分析思路
①欲求∠EFG的度数，由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数；
②由MN∥CD可知，∠2=∠1，又由已知∠1的度数可得∠2的度数；
③由AB∥CD，MN〃CD推出AB∥MN，由此可推出∠3=∠4；
④由已知EF⊥AB，可得∠4=90°，所以可得∠3的度数；
⑤从而可求∠EFG的度数
Ⅰ.请你根据乙同学所画的图形，描述乙同学辅助线的做法
辅助线： ________ ；
Ⅱ.请你根据丙同学所画的图形，且不再添加其他辅助线，求∠EFG的度数________
（2）问题二
如图2，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C(0，a)，D(b，a)，其中a，b满足关系式：|a+3|+(b-a+1)2=0．
①a=________，b=________ ；
②根据已知点的坐标判断AB与CD的位置关系是 ________ 。

【答案】（1）过点F作MN∥CD；如图，过O作OD∥FG，交CD于N
∴∠ONP=∠1=30°
∵AB∥CD，
∴∠BON=∠ONP=30°
∵EF⊥AB，
∴∠EOB=90°
∴∠EON=∠EOB+∠BON=90°+30°=120°
∵OD∥FG
∴∠EFG=∠EON=120°
（2）-3；-4；AB∥CD
【解析】【解答】解：(1)Ⅰ.如图2，过P作PN∥EF，交AB于N，
故答案为：过点F作MN∥CD，①过P作PN∥EF，交AB于N
( 2 )①∵|a+3|+(b-a+1)2=0，
∴a+3=0，b-a+1=0，
解得：a=-3，b=-4，
故答案为：-3，-4
②AB∥CD，理由是
∵C(0，a)，D(b，a)，
∴CD∥x轴，
∵点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上，
∴AB∥CD，
故答案为：AB∥CD
【分析】（1）Ⅰ.由图示可知辅助线的作法；
Ⅱ. 过O作OD∥FG，交CD于N，则两直线平行，内错角相等得∠ONP=∠1，AB∥CD，又由两直线平行内错角相等得∠BON=∠ONP，等量代换从而求得∠BON得度数，结合∠EOB=90°，∠EON=∠EOB与∠BON之和，求得∠EON，再由OD∥FG，根据两直线平行同位角相等求得∠EFG；
（2）根据两个非负数之和等于0，则此两个两个非负数分别等于0列式，解出a、b的值；
C点和D点的横坐标不同，纵坐标相同，则CD∥x轴，又因为点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，则AB在x轴上，因此得出AB平行CD。

10．如图1，∠AOB=120°，∠COE=60°，OF平分∠AOE
（1）若∠COF=20°，则∠BOE=________°
（2）将∠COE绕点O旋转至如图2位置，求∠BOE和∠COF的数量关系
（3）在（2）的条件下，在∠BOE内部是否存在射线OD，使∠DOF=3∠DOE，且∠BOD=70°？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）40
（2）解：∵
∴
∴
（3）解：存在．理由如下：
∵
设
∴
∵
∴
∴
∴
∴
【解析】【解答】⑴
∴
∵OF平分∠AOE，
∴
∴
∴
故答案为：40。

【分析】（1）根据，∠EOF=∠COE-∠COF=40°，再由角平分线的定义得出∠AOF=∠EOF=40°，最后∠BOE=∠A OB−∠AOE=120°−80°=40°.
（2）由角平分线的定义得出∠AOE=2∠EOF，再利用等量代换得∠AOE=120°−∠BOE=2(60°−∠COF) , 整理得∠BOE=2∠COF；
（3）∠DOF=3∠DOE，设∠DOE=α，∠DOF=3α ，∠AOF=∠EOF=2α ，根据∠AOD+∠BOD=120°，构建一个含α的方程，5α+70°=120°求出α，进而求出∠DOF和∠COF.
11．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系________；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
【答案】（1）∠A+∠C=90°；
（2）解：如图2，过点B作BG∥DM，
∵BD⊥AM，
∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°，
又∵AB⊥BC，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠ABD=∠CBG，
∵AM∥CN，
∴∠C=∠CBG，
∴∠ABD=∠C；
（3）解：如图3，过点B作BG∥DM，
∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，
∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，
由（2）可得∠ABD=∠CBG，
∴∠ABF=∠GBF，
设∠DBE=α，∠ABF=β，则
∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α，
∴∠AFC=3α+β，
∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，
∴∠FCB=∠AFC=3α+β，
△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得
（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，①
由AB⊥BC，可得
β+β+2α=90°，②
由①②联立方程组，解得α=15°，
∴∠ABE=15°，
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C；（3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．
12．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，另一边ON仍在直线AB的下方．
（1）若OM恰好平分∠BOC，求∠BON的度数；
（2）若∠BOM等于∠COM余角的3倍，求∠BOM的度数；
（3）若设∠BON＝α（0°<α<90°），试用含α的代数式表示∠COM．
【答案】（1）解：∵∠BOC=120°，OM恰好平分∠BOC
∴∠BOM=∠BOC=60°
又∵∠MON=90°
∴∠BON=∠MON−∠BOM
=90°−60°=30°
（2）解：设的余角为x°，
则
由题意得：，
x=15,
3x=45，
所以的度数为45°
（3）解：（0°< <90°）．
．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠BOM的度数，再根据∠BON=∠MON−∠BOM，即可求出结果。

（2）设∠ C O M 的余角为x°，表示出∠COM的度数，再根据∠BOM=∠COM余角的3倍，建立方程求解即可。

（3）根据角的和与差计算即可。

13．如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1与∠2互补
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由
（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH
（3）如图3，在(2)的条件下，连结PH，在GH上取一点K，使得∠PKG=2∠HPK，过点P 作PQ平分∠EPK交EF于点Q，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．(温馨提示：三角形的三个内角和为180°．)
【答案】（1）解：如图，
∵∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，
∴∠1=∠3
∴AB∥CD
（2）解：如图，
由(1)得AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°
又∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP= (∠BEF+∠EFD)=90°，
∴∠EPF=90°，即EG⊥PF
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH．
（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
∵EG⊥HG，∴∠KGP=90°
∴∠EPK=180°-∠4=180°-(180-∠3-∠KGP)=90°+∠3
∵∠3=2∠6，
∴∠EPK=90°+2∠6
∵PQ平分∠EPK，
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠6
∴∠HPQ=∠QPK-∠6=45°
∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义可证得∠2与∠3互补，再根据同角的补角相等，可证得∠1=∠3，然后利用同位角相等，两直线平行，可证得结论。

（2）利用两直线平行，同旁内角互补，可证得∠BEF+∠EFD=180°，再利用角平分线的定义去证明∠EPF=90°可得到EG⊥PF，然后利用同垂直于一条直线的两直线平行，可证得结论。

（3）利用垂直的定义可证得∠KGP=90°，利用邻补角的定义可证得∠EPK=90°+∠3，再由∠3=2∠6，可得到∠EPK=90°+2∠6，再利用角平分线的定义，可推出∠QPK=45°+∠6，由∠HPQ=∠QPK-∠6，即可求出∠HPQ的度数。

14．己知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间。

（1）如图①，试说明：∠AEC=∠BAE+∠ECD；
（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿射线CD平移至FG。

①如图②，若∠AEC=90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；
②如图③，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由。

【答案】（1）解：如图①
【法1】过点E作直线EK∥AB
因为AB∥CD，所以EK∥CD
所以∠BAE=∠AEK，∠DCE=∠CEK
所以∠AEC=∠AEK+∠CEK=∠BAE+∠ECD
【法2】连接AC，则∠BAC+∠DCA=180°
则∠BAC+∠DCA=180°
即∠BAE+∠EAC+∠ECA+∠ECD=180°
所以∠BAE+∠ECD=180°-(∠EAC+∠ECA)=∠AEC
即∠AEC=∠BAE+∠ECD
（2）解：①【法1】因为AH平分∠BAE，FH平分∠DFG，所以∠BAH=∠EAH，∠DFH=∠GFH
又因为FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD
由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH
= ∠BAE+ ∠DFG= ∠BAE+ ∠DCE
= （∠BAE+∠DCE) = ∠AEC= ×90°=45°
【法2】因为AH平分∠BAE，所以∠BAH=∠EAH
因为HE平分∠DFG，设∠GFH=∠DFH=x
又CE∥FG，所以∠ECD=∠GFD=2x
又∠AEC=∠BAE+∠ECD，∠AEC=90°
所以∠BAH=∠EAH=45°-x
由(1) 知，易证∠AHF=∠BAH+∠DFH=45°-x+x=45°
②【法1】因为AH平分∠BAE，FH平分∠CFG，所以∠BAH=∠EAH，∠CFH=∠GFH
又因为FG∥CE，所以∠GFD=∠ECD
由(1)知，∠AHF=∠BAH+∠DFH
= ∠BAE+∠GFH+∠GFD= ∠BAE+ ∠CFG+∠GFD
= ∠BAE+ ∠(180°-∠GFD)+∠GFD=90°+ (∠BAE+∠GFD)
=90°+ (∠BAE+∠ECD)=90+ ∠AEC
【法2】设∠BAH=∠EAH=x，∠CED=y，则∠GFD=y
因为HF平分∠CFG，所以∠GFH=∠CFH=90°-
由(1)知∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y
∠AHF=∠BAH+∠DFH=∠BAH+∠DFG+∠GFH
=x+y+90°- =x+ +90°= (2x+y)+90°= ∠AEC+90°
所以∠AHF= ∠AEC+90°(或2∠AHF=∠AEC+180°或2∠AHF-∠AEC=180°)
【解析】【分析】（1）过点E作直线EK∥AB，根据平行线的性质即可求解；也可连接AC，根据平行线的性质和三角形内角和定理求解；
（2）①根据（1）的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，再结合平行线的性质和角平分线的定义表示出∠AHF，即可求解；也可设∠GFH=∠DFH=x，则∠BAH=45°-x，再根据∠AHF=∠BAH+∠DFH求解；
②根据（1）的结论可得∠AHF=∠BAH+∠DFH，结合角平分线的定义将∠AHF用∠AEC表示出来；也可设∠BAH=∠EAH=x，∠CED=∠GFD=y，则有∠AEC=∠BAE+∠ECD=2x+y，再结合∠AHF=∠BAH+∠DFH即可求解.
15．以直线上点为端点作射线，使，将直角的直角顶点放在点处.
（1）若直角的边在射线上（图①），求的度数；
（2）将直角绕点按逆时针方向转动，使得所在射线平分（图②），说明所在射线是的平分线；
（3）将直角绕点按逆时针方向转动到某个位置时，恰好使得（图③），求的度数.
【答案】（1）解：∵，
又∵，
∴ .
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴所在直线是的平分线.
（3）解：设，则，
∵，，
①若∠COD 在∠BOC的外部，
∴，解得x=10，
∴∠COD=10°，
∴∠BOD=60°+10°=70°；
②若∠COD在∠BOC的内部，
，解得x=30，
∴∠COD=30°，
∴∠BOD=60°-30°=30°；
即或，
∴或 .
【解析】【分析】（1）代入∠BOE=∠COE+∠COB求出即可；（2）求出∠AOE=∠COE，根据∠DOE=90°求出∠AOE+∠DOB=90°，∠COE+∠COD=90°，推出∠COD=∠DOB，即可得出答案；（3）要分情况讨论，一种是∠COD在∠BOC的内部，另一种是∠COD在∠BOC的外部，再根据平角等于180°可通过列方程求出即可．。