课件3：4.2.2 指数函数的图象和性质

规律方法 (1)指数方程的类型可分为： ①形如 af(x)＝ag(x)(a>0，且 a≠1)的方程化为 f(x)＝g(x)求解； ②形如 a2x＋b·ax＋c＝0(a>0，且 a≠1)的方程，用换元法求解．
(2)指数不等式的类型为 af(x)>ag(x)(a>0，且 a≠1)． ①当 a>1 时，f(x)>g(x)； ②当 0<a<1 时，f(x)<g(x)． 含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成同底的 指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不 等式求解．
5．已知集合
M＝x3x＋1≤19
x－2，x∈R
，则当 x∈M 时，
求函数 y＝2x 的值域．
解：由 3x＋1≤19x－2， 得 3x＋1≤34－2x. 因为函数 y＝3x 在定义域 R 上是增函数， 所以 x＋1≤4－2x，解得 x≤1. 因为函数 y＝2x 是增函数， 所以当 x≤1 时，2x≤21＝2，
解：(1)因为 3x－1>9x，所以 3x－1>32x， 又 y＝3x 在定义域 R 上是增函数， 所以 x－1>2x，所以 x<－1.即 x 的取值范围是(－∞，－1)．
(2)当 a>1 时，因为 a－5x>ax＋7，所以－5x>x＋7，解得 x<－76； 当 0<a<1 时，因为 a－5x>ax＋7，所以－5x<x＋7，解得 x>－76. 综上所述，当 a>1 时，x 的取值范围是－∞，－76； 当 0<a<1 时，x 的取值范围是－76，＋∞.
指数函数的 会解决与指数函数有关
实际应用 的实际问题
核心素养 逻辑推理 数学建模
讲练互动 探究点 1 利用指数函数的单调性比较大小 例 1 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5 和 1.53.2； (2)0.6－1.2 和 0.6－1.5； (3)1.70.2 和 0.92.1.
解：(1)1.52.5，1.53.2 可看作函数 y＝1.5x 的两个函数值， 由于底数 1.5＞1， 所以函数 y＝1.5x 在 R 上是增函数， 因为 2.5＜3.2，所以 1.52.5＜1.53.2. (2)0.6－1.2，0.6－1.5 可看作函数 y＝0.6x 的两个函数值， 因为 0＜0.6＜1， 所以函数 y＝0.6x 在 R 上是减函数， 因为－1.2＞－1.5，所以 0.6－1.2＜0.6－1.5.
跟踪训练 1．函数 y＝ 2 x1 的单调增区间为________． 【解析】由 x－1≥0，得函数的定义域为[1，＋∞)． 令 u＝x－1(x≥1)， 则函数 u＝x－1(x≥1)为增函数， 故函数 y＝ 2 x1 的单调增区间为[1，＋∞)． 【答案】 [1，＋∞)
2．函数 y＝23|1－x|的单调递减区间是________；单调递增区间是 ________． 【解析】y＝23|1－x|＝2323x1－－1x（（xx≥<11）），，因此它的单调递减区间为[1， ＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．
解：现有木材的蓄积量为 200 万立方米，经过 1 年后木材的蓄积量 为 200＋200×5%＝200(1＋5%)万立方米； 经过 2 年后木材的蓄积量为 200(1＋5%)＋200(1＋5%)×5% ＝200(1＋5%)2 万立方米； … 经过 x 年后木材的蓄积量为 200×(1＋5%)x 万立方米． 故 y＝f(x)＝200×(1＋5%)x，x∈N*.
跟踪训练 1．已知(a2＋a＋2)x＞(a2＋a＋2)1－x，求 x 的取值范围． 解：因为 a2＋a＋2＝a＋122＋74＞1， 所以 y＝(a2＋a＋2)x 在 R 上是增函数． 所以 x＞1－x， 解得 x＞12. 所以 x 的取值范围是12，＋∞.
2．解方程 4x＋2x－6＝0.
解：设 t＝2x(t＞0)， 则原方程可化为 t2＋t－6＝0. 即(t＋3)(t－2)＝0. 解得 t＝－3 或 t＝2. 又因为 t＝2x＞0，所以 t＝2， 即 2x＝2＝21，解得 x＝1. 所以方程 4x＋2x－6＝0 的解为 x＝1.
规律方法 函数 y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧
(1)关于指数型函数 y＝af(x)(a>0，且 a≠1)的单调性由两点决定，一 是底数 a>1 还是 0<a<1；二是 f(x)的单调性，它由两个函数 y＝au， u＝f(x)复合而成． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分 解成 y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考查 f(u)和 φ(x)的单调性，求出 y＝f(φ(x)) 的单调性．
规律方法 解决指数函数应用题的步骤
(1)审题：理解题意，弄清楚关键字词和字母的意义， 从题意中提取信息． (2)建模：据已知条件，列出指数函数的解析式． (3)解模：运用数学知识解决问题． (4)回归：还原为实际问题，归纳得出结论．
跟踪训练
1．某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为 b，2018 年
(3)由指数函数性质得，1.70.2＞1.70＝1，0.92.1＜0.90＝1， 所以 1.70.2＞0.92.1.
规律方法 比较幂值大小的三种类型及处理方法
跟踪训练 比较下列几组值的大小： (1)25－12和(0.4)－32； (2)(－2.5)23和(－2.5)45.
解：(1)由于(0.4)－32＝25－32.
该市生活垃圾量为 a 吨，由此可以预测 2028 年生活垃圾
量为( )
A．a(1＋10b)吨
B．a(1＋9b)吨
C．a(1＋b)10 吨
D．a(1＋b)9 吨
【解析】由 2018 年到 2028 年共经历了 10 年，故可以预 测 2028 年生活垃圾量为 a(1＋b)10 吨． 【答案】C
2．为了预防流感，某学校对教室内用药熏消毒法进行消毒．已知 药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小 时)成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关系为 y＝116t－a(a 为常 数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
互动探究 1．(变条件)本例中函数 f(x)变为 f(x)＝31－x2＋2x试讨论 f(x)的单调性．
解：函数 f(x)的定义域为 R. 令 t＝－x2＋2x， 则 y＝13t. 因为 y＝13t在(－∞，＋∞)上是减函数，而 t＝－x2＋2x 在(－∞，1] 上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数， 所以 f(x)在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．
即 y＝2x≤2. 又因为指数函数 y＝2x>0， 所以 0<y≤2， 即函数 y＝2x 的值域是(0，2]．
本课结束
因为 0<25<1，－12>－32，
所以25－12<(0.4)－32. (2)由于(－2.5)23＝2.532，(－2.5)45＝2.545.
因为 2.5>1，45>23，所以 2.545>2.532，
4
2
即(－2.5)5>(－2.5)3.
探究点 2 解简单的指数方程与指数不等式
例 2 求满足下列条件的 x 的取值范围． (1)3x－1>9x； (2)a－5x>ax＋7(a>0，且 a≠1)．
【答案】 [1，＋∞) (－∞，1)
探究点 4 指数函数的实际应用 例 4 某林区 2018 年木材蓄积量为 200 万立方米，由于 采取了封山育林、严禁采伐等措施，预计使木材蓄积量的 年平均增长率能达到 5%.若经过 x 年后，该林区的木材蓄 积量为 y 万立方米，求 y＝f(x)的解析式，并写出此函数的 定义域．
取值范围是( )
A．(0，1)
B．(1，＋∞)
C．21，1
D．(－∞，1)
【解析】由已知，得 0<2a－1<1，得21<a<1， 所以实数 a 的取值范围是21，1. 【答案】C
3．函数 y＝121－x的单调递增区间为(
)
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(0，1)
【解析】由已知得，f(x)的定义域为 R.设 u＝1－x， 则 y＝21u. 因为 u＝1－x 在 R 上为减函数， 又因为 y＝12u在(－∞，＋∞)上为减函数， 所以 y＝121－x在(－∞，＋∞)上为增函数，所以选 A. 【答案】A
(1)从药物释放完毕后，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小 时)的函数解析式为________； (2)据测定，当药物释放完毕后，空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克及以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始至少需 要经过________小时后，学生才能回到教室．
【解析】(1)从图中可以看出：当 t＝0.1 时，y＝1，即可求得方程 1160.1－a＝1 中的 a＝0.1，所以 y＝116t－0.1. (2)由题设 y≤0.25，则116t－0.1≤0.25，即142t－0.2≤14，故 2t≥1.2，所以 t≥0.6， 因此从药物释放开始至少需要经过 0.6 小时后，学生才能回到教室． 【答案】(1)y＝116t－0.1 (2)0.6
2．(变条件)本例中“x∈R”变为“x∈[－1，2]”．判断 f(x)的单调性，并求其值域．
解：由本例解析知，又 x∈[－1，2]，所以 f(x)＝13x2－2x(x∈[－ 1，2])在[－1，1]上是增函数，在(1，2]上是减函数． 因为 u＝x2－2x(x∈[－1，2])的最小值、最大值分别为 umin＝ －1，umax＝3，所以 f(x)的最大值、最小值分别为 f(1)＝13－1 ＝3，f(－1)＝313＝217. 所以函数 f(x)的值域为217，3.
探究点 3 指数型函数的单调性 例 3 判断 f(x)＝13x2－2x的单调性，并求其值域． 解：令 u＝x2－2x，则原函数变为 y＝13u. 因为 u＝x2－2x＝(x－1)2－1 在(－∞，1]上递减，
在[1，＋∞)上递增，又因为 y＝13u在(－∞，＋∞)上递减，
所以 y＝13x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减． 因为 u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， 所以 y＝13u，u∈[－1，＋∞)， 所以 0<13u≤13－1＝3， 所以原函数的值域为(0，3]．
达标反馈
1．下列判断正确的是( )
A．2.52.5>2.53
B．0.82<．0.90.3>0.90.5
【解析】因为 y＝0.9x 是减函数，且 0.5>0.3， 所以 0.90.3>0.90.5. 【答案】D
2．若函数 f(x)＝(2a－1)x 是 R 上的减函数，则实数 a 的
4.2.2 指数函数的图象和性质
考点
学习目标
核心素养
比较大小
能利用指数函数的单调 性比较与指数有关的大 小问题
逻辑推理、 数据分析
能借助指数函数的单调 指数方程与
性求解指数方程与指数 指数不等式
不等式问题
逻辑推理、 数学运算
考点
学习目标
指数型函数 会求与指数函数有关的
的单调性 复合型函数的单调性
4．若 f(x)＝3x＋1，则( ) A．f(x)在[－1，1]上单调递减 B．y＝3x＋1 与 y＝13x＋1 的图象关于 y 轴对称 C．f(x)的图象过点(0，1) D．f(x)的值域为[1，＋∞)
【解析】f(x)＝3x＋1 在 R 上单调递增，则 A 错误；y＝3x ＋1 与 y＝3－x＋1 的图象关于 y 轴对称，则 B 正确；由 f(0) ＝2，得 f(x)的图象过点(0，2)，则 C 错误；由 3x>0，可 得 f(x)>1，则 D 错误．故选 B. 【答案】B