2019届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题七 2 第2讲 不等式选讲 学案 Word版含解析

第2
讲　不等式选讲
年份
卷别考查内容及考题位置命题分析
卷Ⅰ绝对值不等式的解
法、不等式的恒成立
问题·T 23
卷Ⅱ绝对值不等式的解
法、不等式的恒成立
问题·T 23
2018
卷Ⅲ含绝对值函数图象的
画法、不等式的恒成
立问题·T 23
卷Ⅰ含绝对值不等式的解
法、求参数的取值范
围·T 23
卷Ⅱ基本不等式的应用、
一些常用的变形及证明不等式的方法·T 232017
卷Ⅲ含绝对值不等式的解
法、函数最值的求
解·T 23
卷Ⅰ含绝对值函数图象的
画法、含绝对值不等
式的解法·T 24卷Ⅱ含绝对值不等式的解
法、比较法证明不等
式·T 24
2016
卷Ⅲ含绝对值不等式的解
法、绝对值不等式的
性质·T 24
1.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问
题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的
应用.
绝对值不等式的解法(综合型)
含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；
(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．
[典型例题]
(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|.(1)当m ＝－1时，求不等式f (x )≤2的解集；
(2)若f (x )≤|2x ＋1|的解集包含，求m 的取值范围．
[3
4，2]
【解】　(1)当m ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|2x －1|，当x ≥1时，f (x )＝3x －2≤2，所以1≤x ≤；
4
3当<x <1时，f (x )＝x ≤2，所以<x <1；121
2当x ≤时，f (x )＝2－3x ≤2，所以0≤x ≤，
1212
综上可得原不等式f (x )≤2的解集为.{x |0≤x ≤
4
3
}
(2)由题意可知f (x )≤|2x ＋1|在上恒成立，当x ∈时，
f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|＝|x
[34，2][3
4，2]＋m |＋2x －1≤|2x ＋1|＝2x ＋1，所以|x ＋m |≤2，即－2≤x ＋m ≤2，则－2－x ≤m ≤2－x ，且(－2－x )max ＝－
，(2－x )min ＝0，因此m 的取值范围为.114[
－11
4
，0]
|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c >0)，|x －a |－|x －b |≥c (或≤c )(c >0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．(1)零点分区间法的一般步骤
①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根．②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间．
③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集．④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．(2)利用绝对值的几何意义
由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c >0)或|x －a |－|x －b |≥c (或≤c )(c >0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．　
[对点训练]
(2018·合肥第一次质量检测)已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；
(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围．解：(1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则或{x ≥12，
2x －1－2x －1≤1){－12<x <1
2，
1－2x －2x －1≤1)
或{
x ≤－1
2
，
1－2x ＋2x ＋1≤1，)
解得x ≥或－≤x <，
12141
2即x ≥－，
1
4
所以原不等式的解集为.
[
－1
4
，＋∞)
(2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．
由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋2x ＋1|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈时等号成立，故m >2.
[
－12，1
2
]
所以m 的取值范围是(2，＋∞)
．
不等式的证明(综合型
)
含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b
|. 算术—几何平均不等式
定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则
≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．
a ＋b
2
ab 定理3：如果a ，b ，c 为正数，则
≥，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．
a ＋
b ＋c
3
3abc 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则
≥，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a
n 时，等号成立．
a 1＋a 2＋…＋a n n
n a 1a 2…a n
[典型例题]
(2018·长春质量检测(一))设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A .(1)求集合A ；
(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：
>1.|
1－abc
ab －c
|
【解】　(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝{
2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，
)
由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：要证
>1，只需证|1－abc |>|ab －c |，|
1－abc
ab －c
|
只需证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，只需证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)，只需证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，
由a ，b ，c ∈A ，得a 2b 2<1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立．综上，
>1.|
1－abc
ab －c
|
证明不等式的方法和技巧
(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．
(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值符号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．
[对点训练]
(2018·陕西教学质量检测(一))已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≤3；
(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明t 2＋1≥＋3t .
3
t
解：(1)依题意，得f (x )＝
{
－3x ，x ≤－1，
2－x ，－1<x <1
2，
3x ，x ≥1
2
，
)
所以f (x )≤3⇔或或{
x ≤－1，
－3x ≤3
)
{
－1<x <1
2，2－x ≤3
){
x ≥12，
3x ≤3，)
解得－1≤x ≤1，
即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．
(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3，
当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号，所以M ＝[3，＋∞)．t 2＋1－3t －
＝＝，3t t 3－3t 2＋t －3t （t －3）（t 2＋1）t
因为t ∈M ，
所以t －3≥0，t 2＋1>0，所以
≥0，
（t －3）（t 2＋1）
t
所以t 2＋1≥＋3t .
3
t
含绝对值不等式的恒成立问题(综合型)
[典型例题
]
(2018·郑州第一次质量预测)设函数f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝|2x －1|.(1)解不等式f (x )<g (x )；
(2)若2f (x )＋g (x )>ax ＋4对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围．【解】　(1)由已知，可得|x ＋3|<|2x －1|，即|x ＋3|2<|2x －1|2，所以3x 2－10x －8>0，解得x <－或x >4.
2
3
故所求不等式的解集为∪(4，＋∞)．
(－∞，－2
3
)
(2)由已知，设h (x )＝2f (x )＋g (x )＝2|x ＋3|＋|2x －1|＝
{
－4x －5，x ≤－3，
7，－3<x <1
2，
4x ＋5，x ≥1
2
.
)
当x ≤－3时，只需－4x －5>ax ＋4恒成立，即ax <－4x －9恒成立，因为x ≤－3<0，所以a >＝－4－恒成立，
－4x －9x 9
x 所以a >，所以a >－1；
(
－4－
9
x
)
max
当－3<x <时，只需7>ax ＋4恒成立，即ax －3<0恒成立，
1
2只需所以所以－1≤a ≤6；
{－3a －3≤0，
12
a －3≤0，
)
{
a ≥－1，
a ≤6，)
当x ≥时，只需4x ＋5>ax ＋4恒成立，即ax <4x ＋1恒成立．
1
2因为x ≥>0，所以a <＝4＋恒成立．
124x ＋1
x 1x 因为4＋>4，且x →＋∞时，4＋→4，
1
x 1x 所以a ≤4.
综上，a 的取值范围是(－1，4]．
绝对值不等式的成立问题的求解模型
(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )形式．
(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .
(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值．(4)得结论．　
[对点训练]
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；
(2)若x ∈(0，1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．
解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝故不等式f (x )>1的
{
－2，x ≤－1，
2x ，－1<x <1，2，x ≥ 1.
)
解集为{x |x >}．
1
2
(2)当x ∈(0，1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0，1)时|ax －1|≥1；
若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <，所以≥1，故0<a ≤2.
2a 2
a
综上，a 的取值范围为(0，2]．
2．(2018·洛阳第一次联考)已知函数f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|，a ∈R ，g (x )＝x 2－2x －4＋.
4（x －1）2
(1)若f (2a 2－1)>4|a －1|，求实数a 的取值范围；
(2)若存在实数x ，y ，使f (x )＋g (y )≤0，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (2a 2－1)>4|a －1|，所以|2a 2－2a |＋|a 2－1|>4|a －1|，所以|a －1|(2|a |＋|a ＋1|－4)>0，
所以|2a |＋|a ＋1|>4且a ≠1.
①若a ≤－1，则－2a －a －1>4，所以a <－；
5
3
②若－1<a <0，则－2a ＋a ＋1>4，所以a <－3，此时无解；③若a ≥0且a ≠1，则2a ＋a ＋1>4，所以a >1.综上所述，a 的取值范围为∪(1，＋∞)．
(－∞，－5
3
)
(2)因为g (x )＝(x －1)2＋－5
4
（x －1）2
≥2－5＝－1，显然可取等号，
（x －1）2·
4
（x －1）2
所以g (x )min ＝－1.
于是，若存在实数x ，y ，使f (x )＋g (y )≤0，只需f (x )min ≤1.又f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|≥|(x ＋1－2a )－(x －a 2)|＝(a －1)2，所以(a －1)2
≤1，所以－1≤a －1≤1，所以0≤a ≤2，即a ∈[0，2]．
1．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝{
2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，
－2x ＋6，x ＞2.
)
可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.
而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·开封模拟)已知函数f (x )＝|x －m |，m <0.(1)当m ＝－1时，求解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ；(2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围．解：(1)设F (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝{
－2x ，x <－1，
2，－1≤x <1，G （x ）＝2－x ，
2x ，x ≥ 1.
)
由F (x )≥G (x )解得{x |x ≤－2或x ≥0}．(2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0.
设g (x )＝f (x )＋f (2x )，当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ，则g (x )≥－m ；
当m <x <时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－<g (x )<－m ；
m 2m
2当x ≥时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ，则g (x )≥－.m 2m
2则g (x )的值域为，
[－m
2
，＋∞)
不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，即1>－，解得m >－2，
m
2由于m <0，则m 的取值范围是(－2，0)．
3．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )＝|ax －1|－(a －2)x .(1)当a ＝3时，求不等式f (x )>0的解集；
(2)若函数f (x )的图象与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，不等式可化为|3x －1|－x >0，即|3x －1|>x ，所以3x －1<－x 或3x －1>x ，即x <或x >，
141
2所以不等式f (x )>0的解集为.
{x |x <14或x >1
2
}
(2)当a >0时，f (x )＝
{
2x －1，x ≥
1
a
，2（1－a ）x ＋1，x <
1
a
，
)
要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需
即1≤a <2；
{
2
a
－1>0，
2（1－a ）≤0，
)
当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1，函数f (x )的图象与x 轴有交点，不合题意；
当a <0时，f (x )＝
{
2x －1，x ≤
1
a
，2（1－a ）x ＋1，x >
1
a
，
)
要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需
此时无解．
{
2
a
－1<0，
2（1－a ）≤0，
)
综上可知，若函数f (x )的图象与x 轴无交点，则实数a 的取值范围为[1，2)．4．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；
(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．
解：(1)f (x )＝
{
－3x ，x ＜－1
2，
x ＋2，－12
≤x ＜1，
3x ，x ≥ 1.
)
y ＝f (x )
的图象如图所示．
(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.
5．(2018·石家庄质量检测(二))已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋1|.(1)当a ＝1时，求f (x )≤2的解集；(2)若
g (x )＝4x 2＋ax －3.当
a >－1且x ∈时，f (x )≥g (x )，求实数a 的取值范围．
[
－12，a
2
]
解：(1)当a ＝1时，f (x )＝.{
－4x ，x <－
12
2，－
12≤x ≤12
4x ，x >
1
2
)
当x <－时，f (x )≤2无解；
1
2
当－≤x ≤时，f (x )≤2的解集为；
1212{
x |－12≤x ≤12
}
当x >时，f (x )≤2无解．
1
2
综上所述，f (x )≤2的解集为.{
x |－
12≤x ≤12
}
(2)当x ∈时，f (x )＝(a －2x )＋(2x ＋1)＝a ＋1，所以f (x )≥g (x )可化为a ＋1≥g (x )．
[
－12，a
2
]
又g (x )＝4x 2＋ax －3在上的最大值必为g 、g 之一，则，
[
－12，a 2]
(－12
)(a 2)
{
a ＋1≥g (－
1
2
)a ＋1≥g
(a 2
)
)
即
，即－≤a ≤2.{
a ≥－2
－43
≤a ≤2)
4
3又a >－1，所以－1<a ≤2，所以a 的取值范围为(－1，2]．6．(2018·南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋3a 2|.(1)当a ＝0时，求不等式f (x )＋|x －2|≥3的解集；
(2)若对于任意函数x ，不等式|2x ＋1|－f (x )<2a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，不等式可化为|2x |＋|x －2|≥3，得
或
或，
{x <0
－2x ＋2－x ≥3){
0≤x ≤22x ＋2－x ≥3){x >2
2x ＋x －2≥3
)
解得x ≤－或x ≥1，
1
3
所以当a ＝0时，不等式f (x )＋|x －2|≥3的解集为∪[1，＋∞)．
(－∞，－1
3
]
(2)对于任意实数x ，不等式|2x ＋1|－f (x )<2a 恒成立，即|2x ＋1|－|2x ＋3a 2|<2a 恒成立．因为|2x ＋1|－|2x ＋3a 2|≤|2x ＋1－2x －3a 2|＝|3a 2－1|，所以要使原不等式恒成立，只需|3a 2－1|<2a .当a <0时，无解；当0≤a ≤时，1－3a 2<2a ，解得<a ≤；3
31
333当a >
时，3a 2－1<2a ，解得
<a <1.33
33所以实数a 的取值范围是.
(1
3
，1)
7．(2018·福州模拟)已知函数f (x )＝x 2－|x |＋1.(1)求不等式f (x )≥2x 的解集；
(2)若关于x 的不等式f (x )≥在[0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．
|x
2＋a |
解：(1)不等式f (x )≥2x 等价于x 2－|x |－2x ＋1≥0，①当x ≥0时，①式化为x 2－3x ＋1≥0，解得x ≥或0≤x ≤；
3＋523－5
2
当x <0时，①式化为x 2－x ＋1≥0，
解得x <0，综上所述，不等式f (x )≥2x 的解集为.{x |x ≤
3－52或x ≥3＋52}(2)不等式f (x )≥在[0，＋∞)上恒成立，|x 2
＋a |等价于－f (x )≤＋a ≤f (x )在[0，＋∞)上恒成立，x 2
等价于－x 2＋x －1≤＋a ≤x 2－x ＋1在[0，＋∞)上恒成立，x 2
等价于－x 2＋x －1≤a ≤x 2－x ＋1在[0，＋∞)上恒成立，1232
由－x 2＋x －1＝－－≤－(当且仅当x ＝时取等号)，12(x －14)
2 1516151614x 2－x ＋1＝＋≥(当且仅当x ＝时取等号)，32(x －34)
2 71671634所以－≤a ≤，1516716
综上所述，实数a 的取值范围是.[－1516，716]
8．(2018·武汉调研)已知函数f (x )＝x 2＋2，g (x )＝|x －a |－|x －1|，a ∈R .
(1)若a ＝4，求不等式f (x )>g (x )的解集；
(2)若对任意x 1，x 2∈R ，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝4时，不等式f (x )>g (x )为x 2＋2>|x －4|－|x －1|，
g (x )＝|x －4|－|x －1|＝{－3，x ≥4，
－2x ＋5，1<x <4，
3，x ≤ 1.)
①当x ≥4时，x 2＋2>－3恒成立，所以x ≥4.
②当1<x <4时，x 2＋2>－2x ＋5，即x 2＋2x －3>0，得x >1或x <－3，所以1<x <4.
③当x ≤1时，x 2＋2>3，则x >1或x <－1，所以x <－1.
由①②③可知不等式f (x )>g (x )的解集为{x |x <－1或x >1}．
(2)当a ≥1时，g (x )＝所以g (x )的最大值为a －1.
{1－a ，x ≥a ，
a ＋1－2x ，1<x <a ，a －1，x ≤1，)
要使f (x 1)≥g (x 2)，只需2≥a －1，则a ≤3，
所以1≤a ≤3.
当a <1时，g (x )＝所以g (x )的最大值为1－a .
{－a ＋1，x ≥1，
2x －a －1，a <x <1，a －1，x ≤a )
要使f (x 1)≥g (x 2)，只需2≥1－a ，则a ≥－1，所以－1≤a <1.
综上，实数a的取值范围是[－1，3].。