九年级上册汕头数学期末试卷中考真题汇编[解析版]

九年级上册汕头数学期末试卷中考真题汇编[解析版]
一、选择题
1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的为（ ）
A ．2210x x
+= B ．220x x --= C ．2320x xy -= D ．240y -= 2．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）
A ．2S 甲＞2S 乙
B ．2S 甲＝2S 乙
C ．2S 甲＜2S 乙
D ．无法确定
3．下列说法中，不正确的是（ ）
A ．圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B ．圆有无数条对称轴
C ．圆的每一条直径都是它的对称轴
D ．圆的对称中心是它的圆心 4．一枚质地匀均的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是（ ）
A ．12
B ．13
C ．23
D ．16
5．如图，AB 是⊙O 的弦，∠BAC ＝30°，BC ＝2，则⊙O 的直径等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6 6．已知a 是方程x 2+3x ﹣1＝0的根，则代数式a 2+3a+2019的值是( ) A ．2020 B ．﹣2020
C ．2021
D ．﹣2021 7．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程
20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）
A ．53t -<<
B ．5t >-
C ．34t <≤
D ．54t -<≤ 8．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连C
E ，则线段CE 的长等于（ ）
A ．2
B ．54
C ．53
D ．75 9．如图，在矩形
中，，，若以为圆心，4为半径作⊙.下列四个点
中，在⊙外的是( )
A ．点
B ．点
C ．点
D ．点
10．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ）
A ．都含有一个40°的内角
B ．都含有一个50°的内角
C ．都含有一个60°的内角
D ．都含有一个70°的内角
11．某市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所数据120 000 000用科学记数法表示为（ ）
A ．12×108
B ．1.2×108
C ．1.2×109
D ．0.12×109 12．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交BC 于点
E ，6AB =，5AD =,则AE 的长为（ ）
A ．2.5
B ．2.8
C ．3
D ．3.2
二、填空题
13．小亮测得一圆锥模型的底面直径为10cm，母线长为7cm，那么它的侧面展开图的面积是_____cm2．
14．将边长分别为2cm，3cm，4cm的三个正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为______2
cm.
15．将抛物线y＝－5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．
16．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点,,,
A B C D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为_________．
17．如图，直线l1∥l2∥l3，A、B、C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若
∠ABC＝90°，BD＝3，且
1
2
m
n
=，则m＋n的最大值为___________．
18．在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是．
19．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径2
r cm
=，扇形的圆心角120
θ=，则该圆锥的母线长l为___cm．
20．一元二次方程x2﹣4=0的解是．_________
21．数据8，8，10，6，7的众数是__________．
22．圆锥的底面半径是4cm ，母线长是6cm ，则圆锥的侧面积是______cm 2（结果保留π）．
23．若函数y ＝（m +1）x 2﹣x +m （m +1）的图象经过原点，则m 的值为_____．
24．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +5a ＝0有两个正的相等的实数根，则这两个相等实数根的和为_____．
三、解答题
25．如图，二次函数2y x bx c =-++的图像经过()0,3M ，()2,5N --两点.
（1）求该函数的解析式；
（2）若该二次函数图像与x 轴交于A 、B 两点，求ABM ∆的面积；
（3）若点P 在二次函数图像的对称轴上，当MNP ∆周长最短时，求点P 的坐标.
26．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝13，BC ＝10，求tan B 的值．
27．如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 上一点，延长CE 到点F ，使∠FBC ＝∠DCE ，且FB 与AD 相交于点G ．
（1）求证：∠D ＝∠F ；
（2）用直尺和圆规在边AD 上作出一点P ，使△BPC ∽△CDP ，并加以证明．（作图要求：保留痕迹，不写作法．）
28．某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
（1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w （元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？
29．已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是 ；
（2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C 2的坐标是 ；
（3）△A 2B 2C 2的面积是 平方单位．
30．关于x 的方程
22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时
方程的根． 31．如图①，抛物线y ＝x 2﹣（a +1）x +a 与x 轴交于A 、B 两点（点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C ．已知△ABC 的面积为6．
（1）求这条抛物线相应的函数表达式；
（2）在抛物线上是否存在一点P ，使得∠POB ＝∠CBO ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，M 是抛物线上一点，N 是射线CA 上的一点，且M 、N 两点均在第二象限内，A 、N 是位于直线BM 同侧的不同两点．若点M 到x 轴的距离为d ，△MNB 的面积为2d ，且∠MAN ＝∠ANB ，求点N 的坐标．
32．如图，抛物线2
65y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；
（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.
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一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
【详解】
解：A.2210x x
+=,是分式方程, B.220x x --=,正确,
C.2320x xy -=,是二元二次方程,
D.240y -=,是关于y 的一元二次方程,
故选B
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2．
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲.
【详解】
解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2S 甲＞2
S 乙
故选：A
【点睛】
本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 3．C
解析：C
【解析】
【分析】
圆有无数条对称轴，但圆的对称轴是直线，故C 圆的每一条直线都是它的对称轴的说法是错误的
【详解】
本题不正确的选C ，理由：圆有无数条对称轴，其对称轴都是直线，故任何一条直径都是它的对称轴的说法是错误的，正确的说法应该是圆有无数条对称轴，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴
【点睛】
此题主要考察对称轴图形和中心对称图形，难度不大
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接得出朝上面的数字大于4的个数，再利用概率公式求出答案．
【详解】
∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次，∴共有6种情况，其中朝上面的数字大于4的情况有2种，
∴朝上一面的数字是朝上面的数字大于4的概率为：21 63 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查简单的概率求法，概率=所求情况数与总情况数的比；熟练掌握概率公式是解题关键．
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
如图，作直径BD，连接CD，根据圆周角定理得到∠D＝∠BAC＝30°，∠BCD＝90°，根据直角三角形的性质解答．
【详解】
如图，作直径BD，连接CD，
∵∠BDC和∠BAC是BC所对的圆周角，∠BAC＝30°，
∴∠BDC＝∠BAC＝30°，
∵BD是直径，∠BCD是BD所对的圆周角，
∴∠BCD＝90°，
∴BD＝2BC＝4，
故选：C．
【点睛】
本题考查圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°圆周角所对的弦是直径；熟
练掌握圆周角定理是解题关键．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义，将a 代入已知方程，即可求得a 2+3a 的值，然后再代入求值即可.
【详解】
解：根据题意，得
a 2+3a ﹣1＝0，
解得：a 2+3a ＝1，
所以a 2+3a+2019＝1+2019＝2020.
故选：A.
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键
7．D
解析：D
【解析】
【分析】
首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.
【详解】
将()4,0代入二次函数，得
2440m -+=
∴4m =
∴方程为240x x t -+=
∴x = ∵15x <<
∴54t -<≤
故答案为D .
【点睛】
此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】
如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，
∴22
34
+，
∵CD=DB，
∴AD=DC=DB=5
2
，
∵1
2•BC•AH=
1
2
•AB•AC，
∴AH=12
5
，
∵AE=AB，DE=DB=DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
∵1
2•AD•BO=
1
2
•BD•AH，
∴OB=12
5
，
∴BE=2OB=24
5
，
在Rt△BCE中，
2
222
247
5
55 BC BE⎛⎫
-=-=
⎪
⎝⎭
.
故选D．
点睛：本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接AC,利用勾股定理求出AC的长度,即可解题.
【详解】
解：如下图,连接AC,
∵圆A的半径是4,AB=4,AD=3,
∴由勾股定理可知对角线AC=5,
∴D在圆A内,B在圆上,C在圆外,
故选C.
【点睛】
本题考查了圆的简单性质,属于简单题,利用勾股定理求出AC的长是解题关键.
10．C
解析：C
【解析】
试题解析：因为A,B,D给出的角40,50,70可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；
C. 有一个60的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确.
故选C.
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
120 000 000＝1.2×108，
故选：B．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接BD,CD,由勾股定理求出BD的长，再利用ABD BED，得出DE DB
DB AD
=，从而
求出DE的长，最后利用AE AD DE
=-即可得出答案．【详解】
连接BD,CD
∵AB为O的直径
90
ADB
∴∠=︒
2222
6511
BD AB AD
∴=-=-
∵弦AD平分BAC
∠
11
CD BD
∴==
CBD DAB
∴∠=∠
ADB BDE
∠=∠
ABD BED
∴
DE DB
DB AD
∴=
11
5
11
=
解得
11
5
DE=
11
5 2.8
5
AE AD DE
∴=-=-=
故选：B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理的推论及相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论及相似三角形的性质是解题的关键．
二、填空题
13．35π．
【解析】
【分析】
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=lr即可求解．【详解】
底面周长是：10π，
则侧面展开图的面积是：×10π×7＝35πcm2．
故答案是：35π．
解析：35π．
【解析】
【分析】
首先求得圆锥的底面周长，然后利用扇形的面积公式S=1
2
lr即可求解．
【详解】
底面周长是：10π，
则侧面展开图的面积是：1
2
×10π×7＝35πcm2．
故答案是：35π．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
14．【解析】
【分析】
首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL的面积减去梯形BENK的面积，再利用相似三角形的性质求出BK、EN的长从而求出梯形的面积即可得出答案.
【详解】
解：如
解析：13 3
【解析】
【分析】
首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL的面积减去梯形BENK的面积，再利用相似三角形的性质求出BK、EN的长从而求出梯形的面积即可得出答案.
【详解】
解：如图所示，
∵四边形MEGH为正方形，∴NE GH
∴△AEN~△AHG
∴NE:GH=AE:AG
∵AE=2+3=5，AG=2+3+4=9,GH=4∴NE:4=5:9
∴NE=20 9
同理可求BK=8 9
梯形BENK的面积：120814
3 2993⎛⎫
⨯+⨯=
⎪
⎝⎭
∴阴影部分的面积：
1413 33
33⨯-=
故答案为：13 3
.
【点睛】
本题主要考查的知识点是图形面积的计算以及相似三角形判定及其性质，根据相似的性质求出相应的边长是解答本题的关键.
15．y＝－5（x+2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再
解析：y＝－5（x+2）2－3
【解析】
【分析】
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．
【详解】
解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∴新抛物线顶点坐标为（-2，-3），
∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-3．
故答案为：y=-5（x+2）2-3．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．16．【解析】
【分析】
如图所示，由网格的特点易得△CEF≌△DBF，从而可得BF的长，易证
△BOF∽△AOD，从而可得AO与AB的关系，然后根据勾股定理可求出AB的长，进而可得答案.
【详解】
解：
【解析】
【分析】
如图所示，由网格的特点易得△CEF≌△DBF，从而可得BF的长，易证△BOF∽△AOD，从而可得AO与AB的关系，然后根据勾股定理可求出AB的长，进而可得答案.
【详解】
解：如图所示，∵∠CEB=∠DBF=90°，∠CFE=∠DFB，CE=DB=1，
∴△CEF≌△DBF，
∴BF=EF=1
2
BE=
1
2
，
∵BF∥AD，
∴△BOF∽△AOD，
∴
1
1
2
48 BO BF
AO AD
===，
∴
8
9
AO AB
=，
∵AB=
∴AO=
故答案为：
9
【点睛】
本题以网格为载体，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.
17．【解析】
【分析】
过作于，延长交于，过作于，过作于，设，，得到，，根据相似三角形的性质得到，，由，得到，于是得到，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：过作于，延长交于，过作于，过
解析：274
【解析】
【分析】
过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，设AE BN x ==，CF BM y ==，得到3DM y =-，4DN x =-，根据相似三角形的性质得到xy mn =，29y x =-+，由12
m n =，得到2n m =，于是得到()3m n m +=最大，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】
解：过B 作1BE l ⊥于E ，延长EB 交3l 于F ，过A 作2AN l ⊥于N ，过C 作2CM l ⊥于M ，
设AE BN x ==，CF BM y ==，
3BD =，
3DM y ∴=-，3DN x =-，
90ABC AEB BFC CMD AND ∠=∠=∠=∠=∠=︒，
90EAB ABE ABE CBF ∴∠+∠=∠+∠=︒，
EAB CBF ∴∠=∠，
ABE BFC ∴∆∆∽， ∴AE BE BF CF =，即x m n y =， xy mn ∴=，
ADN CDM ∠=∠，
CMD AND ∴∆∆∽，
∴AN DN CM DM
=，即3132m x n y -==-， 29y x ∴=-+，
1
2
m n =， 2n m ∴=，
()3m n m ∴+=最大，
∴当m 最大时，()3m n m +=最大，
22(29)292mn xy x x x x m ==-+=-+=，
∴当92(29)4x =-
=⨯-时，28128mn m ==最大， 94
m ∴=最大， m n ∴+的最大值为927344
⨯=． 故答案为：274
． 【点睛】
本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，正确的作出辅助线，利用相似三角形转化线段关系，得出关于m 的函数解析式是解题的关键．
18．【解析】
试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为.
考点：概率公式．
解析：
【解析】
试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为42=147
. 考点：概率公式．
19．【解析】
【分析】
易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】
圆锥的底面周长cm ，
设圆锥的母线长为，则： ，
解得，
故答案为．
【点睛】
本
解析：【解析】
【分析】
易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
【详解】
圆锥的底面周长224ππ=⨯=cm ，
设圆锥的母线长为R ，则：
1204180
R ππ⨯=， 解得6R =，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： 180n r π． 20．x=±2
【解析】
移项得x2=4，
∴x=±2．
故答案是：x=±2．
解析：x=±2
【解析】
移项得x 2=4，
∴x=±2．
故答案是：x=±2．
21．8
【解析】
【分析】
根据众数的概念即可得出答案．
【详解】
众数是指一组数据中出现次数最多的数，题中的8出现次数最多，所以众数是8
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查众数，掌握众数的概念是解
解析：8
【解析】
【分析】
根据众数的概念即可得出答案．
【详解】
众数是指一组数据中出现次数最多的数，题中的8出现次数最多，所以众数是8
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查众数，掌握众数的概念是解题的关键．
22．24π
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为4cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
解析：24π
【解析】
【分析】
根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】
解：∵圆锥的底面半径为4cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，
∴圆锥的侧面积=1
2
×8π×6=24π（cm2）．
故答案为：24π．
【点睛】
本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周
长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=12
•l •R ，（l 为弧长）． 23．0或﹣1
【解析】
【分析】
根据题意把原点（0,0）代入解析式，得出关于m 的方程，然后解方程即可．
【详解】
∵函数经过原点，
∴m（m+1）＝0，
∴m＝0或m ＝﹣1，
故答案为0或﹣1．
【点
解析：0或﹣1
【解析】
【分析】
根据题意把原点（0,0）代入解析式，得出关于m 的方程，然后解方程即可．
【详解】
∵函数经过原点，
∴m （m +1）＝0，
∴m ＝0或m ＝﹣1，
故答案为0或﹣1．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是知道函数图象上的点满足函数解析式．
24．2
【解析】
【分析】
根据根的判别式，令，可得，解方程求出b ＝﹣2a ，再把b 代入原方程，根据韦达定理：即可．
【详解】
当关于x 的一元二次方程ax2+bx+5a ＝0有两个正的相等的实数根时， ，即
解析：
【解析】
【分析】
根据根的判别式，令=0∆，可得2220=0b a -，解方程求出b ＝﹣，再把b 代入原
方程，根据韦达定理：12b x x a
+=-
即可． 【详解】 当关于x 的一元二次方程ax 2+bx +5a ＝0有两个正的相等的实数根时，
=0∆，即2220=0b a -，
解得b ＝﹣a 或b ＝（舍去），
原方程可化为ax 2﹣+5a ＝0，
则这两个相等实数根的和为
故答案为：
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式和韦达定理，解题的关键是熟练掌握根的判别式和韦达定理。

三、解答题
25．（1）2y x 2x 3=-++；（2）6；（3）()1,1P
【解析】
【分析】
（1）将M,N 两点代入2
y x bx c =-++求出b,c 值，即可确定表达式；
（2）令y=0求x 的值，即可确定A 、B 两点的坐标，求线段AB 长，由三角形面积公式求解.
（3）求出抛物线的对称轴，确定M 关于对称轴的对称点G 的坐标，直线NG 与对称轴的交点即为所求P 点，利用一次函数求出P 点坐标.
【详解】
解：将点()0,3M ，()2,5N --代入2y x bx c =-++中得， 3425c b c =⎧⎨--+=-⎩
， 解得，23b c =⎧⎨=⎩
， ∴y 与x 之间的函数关系式为2y x 2x 3=-++；
（2）如图，当y=0时，2230x x -++=，
∴x 1=3,x 2= -1,
∴A(-1,0),B(3,0),
∴AB=4,
∴S △ABM =
14362
⨯⨯= . 即ABM ∆的面积是6.
（3）如图，抛物线的对称轴为直线2122
b
x a ， 点()0,3M 关于直线x=1的对称点坐标为G(2，3),
∴PM=PG,
连MG 交抛物线对称轴于点P ，此时NP+PM=NP+PG 最小，即MNP ∆周长最短.
设直线NG 的表达式为y=mx+n,
将N(-2,-5),G(2,3)代入得，
2523m n m n -+=-⎧⎨+=⎩
， 解得，21m n =⎧⎨=-⎩
， ∴y=2m-1,
∴P 点坐标为(1,1).
【点睛】
本题考查抛物线与图形的综合题，涉及待定系数法求解析式，图象的交点问题，利用对称性解决线段和的最小值问题，利用函数观点解决图形问题是解答此题的关键.
如图，二次函数y=-x ²+bx+c 的图像经过M(0,3)，N(-2,-5)两点.
26．12 5
【解析】
【分析】
过A点作AD⊥BC，将等腰三角形转化为直角三角形，利用勾股定理求AD，利用锐角三角函数的定义求∠B的正切值．
【详解】
过点A作AD⊥BC，垂足为D，
∵AB=AC=13，BC=10，
∴BD=DC=1
2
BC=5，
∴AD2222
13512
AB BD
-=-=，在Rt△ABD中，
∴tan B
12
5 AD
BD
==．
【点睛】
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角函数的应用，关键是将问题转化到直角三角形中求解，并且要熟练掌握好边角之间的关系．
27．（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，∠FGE＝FBC，再根据已知∠FBC＝
∠DCE，进而可得结论；
（2）作三角形FBC的外接圆交AD于点P即可证明．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠FGE＝∠FBC
∵∠FBC＝∠DCE，
∴∠FGE＝∠DCE
∵∠FEG＝∠DEC
∴∠D＝∠F．
（2）如图所示：
点P 即为所求作的点．
证明：作BC 和BF 的垂直平分线，交于点O ，
作△FBC 的外接圆，
连接BO 并延长交AD 于点P ，
∴∠PCB ＝90°
∵AD ∥BC
∴∠CPD ＝∠PCB ＝90°
由（1）得∠F ＝∠D
∵∠F ＝∠BPC
∴∠D ＝∠BPC
∴△BPC ∽△CDP ．
【点睛】
此题主要考查圆的综合应用，解题的关键是熟知平行四边形的性质、外接圆的性质及相似三角形的判定与性质.
28．（1）0.24R m =；（2）50x =时，w 最大1200=；（3）70x =时，每天的销售量为20件.
【解析】
【分析】
（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解；
（2）由题意得w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，即可求解；
（3）由题意得（x-30）（-2x+160）≥800，解不等式即可得到结论．
【详解】
（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，
将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：
100307045k b k b
+⎧⎨+⎩＝＝， 解得：2160k b -⎧⎨⎩＝＝
，
故函数的表达式为：y=-2x+160；
（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，
∵-2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50，
∴当x=50时，w由最大值，此时，w=1200，
故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；
（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，
解得：x≤70，
∴每天的销售量y=-2x+160≥20，
∴每天的销售量最少应为20件．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润=w得出函数关系式是解题关键．
29．（1）（2，﹣2）；
（2）（1，0）；
（3）10．
【解析】
试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为（1，0）；
（3）∵=20，=20，=40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：××=10平方单位．
故答案为10．
考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理
30．1m =，此时方程的根为121x x ==
【解析】
【分析】
直接利用根的判别式
≥0得出m 的取值范围进而解方程得出答案．
【详解】
解：∵关于x 的方程x 2-2x+2m-1=0有实数根，
∴b 2-4ac=4-4（2m-1）≥0，
解得：m≤1，
∵m 为正整数，
∴m=1，
∴此时二次方程为：x 2-2x+1=0，
则（x-1）2=0，
解得：x 1=x 2=1．
【点睛】
此题主要考查了根的判别式，正确得出m 的值是解题关键． 31．（1）y ＝x 2
+2x ﹣3；（2）存在，点P 坐标为113331322⎛+ ⎝⎭或5371533722⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭
；（3）点N 的坐标为（﹣4，1） 【解析】
【分析】
（1）分别令y ＝0 ,x ＝0,可表示出A 、B 、C 的坐标，从而表示△ABC 的面积，求出a 的值继而即可得二次函数解析式；
（2）如图①，当点P 在x 轴上方抛物线上时，平移BC 所在的直线过点O 交x 轴上方抛物线于点P ，则有BC ∥OP ，此时∠POB ＝∠CBO ，联立抛物线得解析式和OP 所在直线的解析式解方程组即可求解；当点P 在x 轴下方时，取BC 的中点D ，易知D 点坐标为（12，
32
-），连接OD 并延长交x 轴下方的抛物线于点P ，由直角三角形斜边中线定理可知，OD ＝BD ，∠DOB ＝∠CBO 即∠POB ＝∠CBO ，联立抛物线的解析式和OP 所在直线的解析式解方程组即可求解．
（3）如图②，通过点M 到x 轴的距离可表示△ABM 的面积，由S △ABM ＝S △BNM ，可证明点A 、点N 到直线BM 的距离相等,即AN ∥BM ，通过角的转化得到AM ＝BN ，设点N 的坐标，表示出BN 的距离可求出点N ．
【详解】
（1）当y ＝0时，x 2﹣（a +1）x +a ＝0，
解得x 1＝1，x 2＝a ，
当x ＝0，y ＝a
∴点C 坐标为（0，a ），
∵C （0，a ）在x 轴下方
∴a ＜0
∵点A 位于点B 的左侧，
∴点A 坐标为（a ，0），点B 坐标为（1，0），
∴AB ＝1﹣a ，OC ＝﹣a ，
∵△ABC 的面积为6， ∴()()1162
a a --=， ∴a 1＝﹣3，a 2＝4（因为a ＜0，故舍去），
∴a ＝﹣3，
∴y ＝x 2+2x ﹣3；
（2）设直线BC ：y ＝kx ﹣3，则0＝k ﹣3，
∴k ＝3；
①当点P 在x 轴上方时，直线OP 的函数表达式为y ＝3x ，
则2323y x y x x =⎧⎨=+-⎩
，
∴11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
∴点P
坐标为1322⎛+ ⎝⎭
； ②当点P 在x 轴下方时，直线OP 的函数表达式为y ＝﹣3x ，
则2323y x y x x =-⎧⎨=+-⎩
∴
1
1
537
2
15337
2
y
x
⎧-+
=
⎪⎪
⎨
-
⎪=
⎪⎩
，
2
2
537
2
15337
2
y
x
⎧--
=
⎪⎪
⎨
+
⎪=
⎪⎩
，
∴点P坐标为
53715337
,
⎛⎫
-+-
⎪
⎪
⎝⎭
，
综上可得，点P坐标为
1133313
,
⎛⎫
++
⎪
⎪
⎝⎭
或
53715337
,
⎛⎫
-+-
⎪
⎪
⎝⎭
；
（3）如图，过点A作AE⊥BM于点E，过点N作NF⊥BM于点F，设AM与BN交于点G，延长MN与x轴交于点H；
∵AB＝4，点M到x轴的距离为d，
∴S△AMB＝
11
42
22
AB d d d
⨯⨯⨯
==
∵S△MNB＝2d，
∴S△AMB＝S△MNB，
∴
11
22
BM AE BM NF
⨯=⨯，
∴AE＝NF，
∵AE⊥BM，NF⊥BM，
∴四边形AEFN是矩形，
∴AN∥BM，
∵∠MAN＝∠ANB，
∴GN＝GA，
∵AN∥BM，
∴∠MAN＝∠AMB，∠ANB＝∠NBM，
∴∠AMB＝∠NBM，
∴GB＝GM，
∴GN+GB＝GA+GM即BN＝MA，
在△AMB 和△NBM 中AMB NB AM NB MB BM M =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩
=
∴△AMB ≌△NBM （SAS ）， ∴∠ABM ＝∠NMB ，
∵OA ＝OC ＝3，∠AOC ＝90°，
∴∠OAC ＝∠OCA ＝45°，
又∵AN ∥BM ，
∴∠ABM ＝∠OAC ＝45°，
∴∠NMB ＝45°，
∴∠ABM +∠NMB ＝90°，
∴∠BHM ＝90°，
∴M 、N 、H 三点的横坐标相同，且BH ＝MH ，
∵M 是抛物线上一点，
∴可设点M 的坐标为（t ，t 2+2t ﹣3），
∴1﹣t ＝t 2+2t ﹣3，
∴t 1＝﹣4，t 2＝1（舍去），
∴点N 的横坐标为﹣4，
可设直线AC ：y ＝kx ﹣3，则0＝﹣3k ﹣3，
∴k ＝﹣1，
∴y ＝﹣x ﹣3，
当x ＝﹣4时，y ＝﹣（﹣4）﹣3＝1，
∴点N 的坐标为（﹣4，1）．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，还涉及到全等三角形的判定及其性质、三角形面积公式等知识点，综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
32．（1）265y x x =-+-；（2）1258S =，点P 坐标为515,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
；（3）点M 的坐标
为7837,2323⎛⎫- ⎪⎝
⎭， 6055,2323⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
（1）利用B （5，0）用待定系数法求抛物线解析式； （2）作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，根据12
PBC S PQ OB ∆=⋅求解即可； （3）作∠CAN=∠NAM 1=∠ACB ，则∠A M 1B=3∠ACB, 则∆ NAM 1∽∆ A C M 1,通过相似的性质来求点M 1的坐标；作AD ⊥BC 于D,作M 1关于AD 的对称点M 2, 则∠A M 2C=3∠ACB,根据对称点坐标特点可求M 2的坐标.
【详解】
（1）把()5,0B 代入265y ax x =+-得
253050a +-=
1a =-.
∴265y x x =-+-；
（2）作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，设点()2,65P x x x -+-，则
∵()5,0B
∴OB=5，
∵Q 在BC 上，
∴Q 的坐标为（x ，x-5），
∴PQ=2(65)(5)x x x -+---=25x x -+，
∴12PBC S PQ OB ∆=
⋅ =21(5)52
x x -+⨯ =252522
x x -+ ∴当52x =时，S 有最大值，最大值为1258
S =，
∴
点P 坐标为515,24⎛⎫ ⎪⎝
⎭. （3）如图1，作∠CAN=∠NAM 1=∠ACB ，则∠A M 1B=3∠ACB,
∵∠CAN=∠NAM 1,
∴AN=CN,
∵265y x x =-+-=-(x-1)(x-5),
∴A 的坐标为（1，0），C 的坐标为（0，-5）， 设N 的坐标为（a,a-5），则
∴2222(1)(5)(55)a a a a -+-=+-+， ∴a= 136
, ∴N 的坐标为（136,176-）, ∴AN 2=221317(1)()66-+-=16918
，AC 2=26， ∴22169113182636
AN AC =⨯=， ∵∠NAM 1=∠ACB ，∠N M 1A=∠C M 1A ，
∴∆ NAM 1∽∆ A C M 1,
∴11
AM AN AC CM =, ∴21211336
AM CM =, 设M 1的坐标为（b,b-5），则
∴222236[(1)(5)]13[(55)]b b b b -+-=+-+,
∴b 1= 7823
，b 2=6(不合题意，舍去)， ∴M 1的坐标为7837(
,)2323-， 如图2，作AD ⊥BC 于D,作M 1关于AD 的对称点M 2, 则∠A M 2C=3∠ACB,
易知∆ADB是等腰直角三角形，可得点D的坐标是（3，-2），∴M2横坐标= 7860
23
2323
⨯-=，
M2纵坐标=
3755 2(2)()
2323⨯---=-，
∴M2的坐标是6055
(,)
2323
-，
综上所述，点M的坐标是
7837
(,)
2323
-或
6055
(,)
2323
-.
【点睛】
本题考查了二次函数与几何图形的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题．。