2020年高中必修一数学上期中一模试卷(带答案)(1)

2020年高中必修一数学上期中一模试卷(带答案)(1)
一、选择题
1．设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =
( ) A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
2．已知函数()1ln 1x
f x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．11,32
⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．12,
43⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．12,
23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
3．设()(),01
21,1
x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则
1f a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
4．如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是
（ ）
A ．()M P S ⋂⋂
B ．()M P S ⋂⋃
C ．()()
U M P S ⋂⋂ð
D ．()()
U M P S ⋂⋃ð
5．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞
D ．(,1)(1,)-∞-+∞U
7．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ） A ．50,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．[]
1,4-
C ．1,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
D ．[]
5,5-
8．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．11
22
t -
≤≤ B ．22t -≤≤
C ．12t ≥或1
2
t ≤-或0t =
D ．2t ≥或2t ≤-或0t = 9．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是
( ) A ．(,2]-∞-
B ．[2,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)-+∞
10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若2
1log 5a f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，()2log 4.1b f =，()
0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．c a b <<
11．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3
()1f x x =-；当11x -≤≤时，
()()f x f x -=-；当1
2x >
时，11()()22
f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．2
12．三个数2
0.4
20.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b <<
B ．b a c <<
C ．a b c <<
D ．b c a <<
二、填空题
13．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += .
14．12
32e 2
(){log (1)2
x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 15．已知1240x x a ++⋅>对一切(]
,1x ∞∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是______． 16．某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店
面经营天数x 的关系是P(x)=21300,03002
45000,300x x x x ⎧-≤<⎪
⎨⎪≥⎩
则总利润最大时店面经营天数是___. 17．设，则
________
18．函数
的定义域为___．
19．已知()32,,x x a
f x x x a
⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a
的取值范围是________．
20．已知函数()log ,0
3,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩
，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有
且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．
三、解答题
21．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；
(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．
22．设2
{|670},{|24},{|}A x x x B x x C x x a =--≤=-≤=≥ （1）求A B I
（2）若A C C =U ，求实数a 的取值范围. 23．函数是奇函数．
求的解析式；
当
时，
恒成立，求m 的取值范围．
24．某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本（万
元），若年产量不足
千件，
的图象是如图的抛物线，此时的解集为
，且
的最小值是
，若年产量不小于
千件，
，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商
品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
25．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足326P a =,乙城市收益
Q 与投入b (单位:万元)满足1
24
Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收
益为()f x (单位:万元).
(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?
26．已知函数()()2log 1f x x -A ，函数()0(11)2x
g x x ⎫-⎛=⎪⎭
≤ ≤⎝的值域为集合B . （1）求A B I ；
（2）若集合{}
21C x a x a =≤≤-，且C B B =U ，求实数a 的取值范围.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
∵ 集合{}1
24A ，，=，{}
2
|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =
∴{}{}
{}2
2
|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】
根据题意，函数()1ln 1x
f x x
-=+， 则有
101x
x
->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11ln
ln 11x x
f x f x x x
+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11x
t x -=
+，则y lnt =， 12111
x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln
1x
f x x
-=+在区间()1,1-上为减函数，
()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪
⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩
，
解可得：
1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
； 故选:D ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．
3．C
解析：C 【解析】
由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由
()(+1)f a f a =
2(11)a =+-,解得1
4a =
,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫
==-= ⎪⎝⎭
,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】
图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
画出函数图像，根据函数图像得到答案.
【详解】
如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】
由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，
所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】
本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．
7．C
解析：C 【解析】
∵函数y =f (x )定义域是[−2,3]， ∴由−2⩽2x −1⩽3， 解得−
1
2
⩽x ⩽2， 即函数的定义域为1,22
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
，
本题选择C 选项.
8．D
解析：D 【解析】
试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]
1,1-最大值是
21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令
()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0
t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()
y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.
9．B
解析：B 【解析】
由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[
)2,+∞ 本题选择B 选项.
10．C
解析：C 【解析】
由题意：()2
21log log 55a f f ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
， 且：0.8
22log 5log 4.12,122>><<，
据此：0.8
22log 5log 4.12
>>，
结合函数的单调性有：()()()0.8
22log 5log 4.12f f f >>，
即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.
【考点】 指数、对数、函数的单调性
【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.
11．D
解析：D 【解析】
试题分析：当时,11()()22
f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期
函数,所以,又函数
是奇函数,所以
,故选
D ．
考点：函数的周期性和奇偶性．
12．B
解析：B 【解析】
20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.
二、填空题
13．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质
解析：3
2
-
【解析】
若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11
{10
a b b -+=-+=，此方程组无解；
若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10
{11a b b -+=+=-，解得1{
22a b ==-，所以3
2
a b +=-.
考点：指数函数的性质.
14．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数
解析：2 【解析】 【分析】
先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】
由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】
本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.
15．【解析】【分析】根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值【详解】可化为令由得则在上递减当
时取得最大值为所以故答案为【点睛】本题考查二次函数的性质函数恒成立
解析：3,4∞⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
根据题意分离出参数a 后转化为求函数的最值即可，通过换元后利用二次函数的性质可求得最大值． 【详解】
1240x
x
a ++⋅>可化为212224
x x x
x a --+>-=--，
令2x t -=，由(]
,1x ∈-∞，得1,2t ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
， 则2a t t >--，
2213()24t t t --=-++在1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上递减，当12t =时2t t --取得最大值为34-，
所以34
a >-
． 故答案为3,4⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查二次函数的性质、函数恒成立问题，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．属中档题.
16．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)
解析：200 【解析】 【分析】
根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数. 【详解】 设总利润为L(x),
则L(x)=2
120010000,0300
210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩
则L(x)=2
1(200)10000,0300
210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩
当0≤x<300时,L(x)max=10000,
当x≥300时,L(x)max=5000,
所以总利润最大时店面经营天数是200.
【点睛】
本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键. 17．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-
2))=f4=1-
解析：-1
【解析】
【分析】
由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.
【详解】
，
，
所以，故答案为-1.
【点睛】
本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．
18．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则
x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域
解析：
【解析】
【分析】
根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域.
【详解】
要使函数有意义，则，
解得且，
所以函数的定义域为：，
故答案是：.
【点睛】
该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.
19．【解析】【分析】由有两个零点可得有两个零点即与的图象有两个交点则函数在定义域内不能是单调函数结合函数图象可求的范围【详解】有两个零点有两个零点即与的图象有两个交点由可得或①当时函数的图象如图所示此时 解析：()(),01,-∞⋃+∞
【解析】 【分析】
由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】
()()g x f x b =-Q 有两个零点，
()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，
由32x x =可得，0x =或1x =
①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意
②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意
④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意
⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两
个交点
综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 【点睛】
本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．
20．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关
解析：(0,1)1,4⋃
（） 【解析】
将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.
当01a <<时一定满足，
当1a >时必须log 41a >，解得4a <.
综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
三、解答题
21．（1）f (x )min ＝－10，f (x )max ＝26；（2）(－∞，－10].
【解析】试题分析：（1）由题意可得，f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，令t=2x ，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解
（2）由题意可得，a≤f （x ）恒成立⇔a ≤f （x ）min 恒成立，结合（1）可求 试题解析：
(1)f (x )＝(2x )2
－4·2x
－6(0≤x ≤3)． 令t ＝2x ，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.
则h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．
当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数． ∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26. (2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立， ∴a ≤f (x )min 恒成立．
由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10. 故a 的取值范围为(－∞，－10]． 22．（1）[1,6]-（2）1a ≤- 【解析】 【分析】
（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由A C C =U 可知A C ⊆，结合数轴求解即可. 【详解】
（1）由2670x x --≤解得17x -≤≤，故[1,7]A =-， 因为24x -≤，所以26x -≤≤，即[2,6]B =-, 所以[1,7][2,6][1,6]A B =--=-I I . （2） 因为A C C =U ， 所以A C ⊆， 故1a ≤-. 【点睛】
本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题. 23．（1）；（2）
.
【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性的定义求出a 的值，从而求出函数的解析式即可；
问题转化为在
恒成立，令
，
，根据函数
的单调性求出的最小值，从而求出m 的范围即可．
【详解】
函数是奇函数，
，
故，
故；
当时，恒成立，
即在恒成立，
令，，
显然在的最小值是，
故，解得：．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，指数函数，二次函数的性质，是一道常规题．对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数单调性求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.
24．(1) ；(2) 当年产量千件时，该厂在这一
商品的生产中所获利润最大为万元.
【解析】
【分析】
（1）由题可知，利润=售价-成本，分别对年产量不足件，以及年产量不小于件计算，代入不同区间的解析式，化简求得；
（2）分别计算年产量不足件，以及年产量不小于件的利润，当年产量不足80件时，由配方法解得利润的最大值为950万元，当年产量不小于件时，由均值不等式解得利润最大值为1000万元，故年产量为件时，利润最大为万元.
【详解】
（1）当时，
；
当时，
，
所以（）.
（2）当时，
此时，当时，
取得最大值
万元．
当
时，
此时，当时，即
时，
取得最大值万元，
,
所以年产量为
件时，利润最大为
万元．
考点：•配方法求最值 均值不等式
25．（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元. 【解析】
(1)当50x =时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元, 所以总收益()50f =1
325067024
⨯+
⨯+=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资x 万元,乙城市投资()120x -万元, 所以()f x =()132612024x x +
-+=1
3226,4
x x -+ 依题意得40
12040x x ≥⎧⎨
-≥⎩
,解得4080x ≤≤, 故()f x =()1
322640804
x x x -+≤≤, 令t x =
,则210,45t ⎡∈⎣,
所以y =2132264t t -
++=21
(62)444
t --+. 当62t =,即72x =万元时,y 的最大值为44万元,
所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元. 26．（1）{}2；（2）3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
【解析】 【分析】
（1）求出集合A 、B ，然后利用交集的定义可求出A B I ；
（2）由C B B =U ，可得出C B ⊆，然后分C =∅和C ≠∅两种情况讨论，结合C B ⊆得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】
（1）要使函数()
f x ()2lo
g 10x -≥，得11x -≥，解得2x ≥，
[)2,A ∴=+∞. 对于函数()1
2x
g x 骣琪=琪
桫
，该函数为减函数，10x -≤≤Q ，则1122x
⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭
，即
()12g x ≤≤，[]1,2B ∴=，因此，{}2A B ⋂=；
（2）C B B =Q U ，C B ∴⊆.
当21a a -<时，即当1a <时，C =∅，满足条件； 当21a a -≥时，即1a ≥时，要使C B ⊆，则1212
a a ≥⎧⎨-≤⎩，解得3
12a ≤≤.
综上所述，实数a 的取值范围为3,2
⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
【点睛】
本题考查交集的运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数的取值范围，涉及了对数函数的定义域以及指数函数的值域问题，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.。