向量正余弦定理知识点

第二章 平面向量
1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度（模）．
零向量：长度为0的向量叫零向量,记作：．零向量的方向是任意的 单位向量：长度等于1个单位的向量．(与AB 共线的单位向量是||
AB AB ±)；
平行向量（共线向量）：：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

注意：
①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性（因为有0)；
④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、
共线； 相等向量：长度相等且方向相同的向量．相等向量有传递性 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是
平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是_______
（答：（4）（5））
2.向量的表示方法：
（1）几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； （2）符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；
（3）坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称
(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

如果向量的起点在
原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．
（几何意义：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）
⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；
②结合律：()()
a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=．
⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 4、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．（注意：此处减向量与被减向量的起点相同） ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，
则()1212,a b x x y y -=--．
设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，
则),(1212y y x x B A --=
．
5、向量数乘运算：
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ． ①a a λλ=；
②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．
⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()
a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 6、向量共线定理：
向量()
0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．
设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、
()
0b b ≠共线．
7、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共
b
a
C B
A a b C C -=A -A
B =B
线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底
例：（1）若(1,1),a b ==(1,1),(1,2)c -=-，则c =_______ （答：132
2
a b -）； （2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是
A. 12(0,0),(1,2)e e ==-
B. 12(1,2),(5,7)e e =-=
C. 12(3,5),(6,10)e e ==
D. 121
3(2,3),(,)2
4
e e =-=- （答：B ）； 8、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，
()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫
⎪++⎝⎭
． 9、平面向量的数量积：
（1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=
()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝
2
π
时，，垂直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做与的数量积（或内积），记作：∙，即∙＝cos a b θ
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不是向量。

（3）平面向量的数量积的性质：设a 和b 都是非零向量，其夹角为θ
则①0a b a b ⊥⇔⋅=．
②当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；
2
2a a a a ⋅==或a a a =⋅． ③a b a b ⋅≤．
（4）运算律：①a b b a ⋅=⋅；
②()()()
a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅； ③()
a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．
（5）坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+． 若(),a x y =，则2
22a x y =+，或2a x y =+
（6）向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=．
设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则
121
cos a b a b
x θ⋅=
=
+．
10、b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。

11、平移公式：如果点(,)P x y 按向量(),a h k =平移至(,)P x y ''，则x x h
y y k
'=+⎧⎨
'=+⎩； 曲线(,)0f x y =按向量(),a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=.
12、重心问题：0PA PB PC P ++=⇔为ABC ∆的重心；
重心坐标公式：在ABC ∆中，若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐
标为123123,33x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭。

正余弦定理
1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C
∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c
R C
===A B ．
2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；
②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c
C R
=；
③::sin :sin :sin a b c C =A B ；
④sin sin sin sin sin sin a b c a b c
C C
++===
A +
B +A B ． 3、三角形面积公式：111
sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．
4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，
2222cos c a b ab C =+-．
5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222
cos 2a b c C ab
+-=．
6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．
7、射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+ 8、解三角形常用三角关系式：
π=++C B A ;
C B A C B A cos )cos(,sin )sin(-=+=+
2
sin 2cos ,2cos 2sin
C
B A
C B A =+=+ 9、判断三角形形状的方法：化边为角；化角为边 注：（1）判断一个三角形为等腰三角形时，要进一步讨论它是否可能是等边三角
形或者等腰直角三角形
（2）在ABC ∆中，由B A 2sin 2sin =不一定有B A =
因为B A 2sin 2sin =2
2222π
π=
+=⇒-==⇒B A B A B A B A 或或。