二元二次函数求最值公式

二元二次函数求最值公式
在数学中，二元二次函数是一类包含两个自变量和二次项的函数。

求解二元二次函数的最值是数学中的常见问题之一，它在许多实际问题中具有重要的应用。

本文将介绍二元二次函数的最值求解方法及相关公式。

一、基本概念
1. 二元二次函数的定义
二元二次函数可以表示为以下形式：
f(x,y)=ax2+by2+cxy+dx+ey+f
其中a、b、c、d、e、f都是实数，x和y是变量。

2. 最值的定义
在二元二次函数中，最值是指函数在给定定义域上取得的最大值或最小值。

•最大值：如果对于定义域内任意的(x,y)，都有 $f(x, y) \\leq f(x_0, y_0)$，那么(x0,y0)是函数的最大值点，f(x0,y0)是最大值。

•最小值：如果对于定义域内任意的(x,y)，都有 $f(x, y) \\geq f(x_0, y_0)$，那么(x0,y0)是函数的最小值点，f(x0,y0)是最小值。

二、二元二次函数的最值求解
1. 寻找最值的一般步骤
对于二元二次函数求最值的一般步骤如下：
1.确定函数的定义域。

二元二次函数通常定义在平面上的一个区域内。

2.求取一阶偏导数。

分别对x和y求偏导数，令其等于0，得到关于x
和y的方程组。

3.解方程组。

求解方程组，得到一组或多组解。

4.求取二阶偏导数。

对x和y再次求导，得到二阶偏导数。

5.判定是否为最值。

对于每组解，将其代入二阶偏导数中，判断其正负
性，即可判定是否为最值点。

2. 求取最值的公式
在求解二元二次函数的最值时，可以利用以下公式：
1.最值点的横坐标：最值点的横坐标可以通过以下公式计算：
$$ x = \\frac{-d + \\sqrt{d^2 - 4ae}}{2a} $$
其中d2−4ae是判别式，用于判断最值点的数量。

2.最值点的纵坐标：将横坐标代入二元二次函数中，可以得到最值点的
纵坐标。

3.最值点的判定：对于二元二次函数，最大值点和最小值点可以通过二
阶偏导数的符号进行判定。

•当二阶偏导数满足 $\\frac{\\partial^2f}{\\partial x^2} > 0$ 且$\\frac{\\partial^2f}{\\partial y^2} > 0$ 时，最值为最小值。

•当二阶偏导数满足 $\\frac{\\partial^2f}{\\partial x^2} < 0$ 且$\\frac{\\partial^2f}{\\partial y^2} < 0$ 时，最值为最大值。

三、示例
为了更好地理解二元二次函数的最值求解方法，我们举一个示例：
考虑函数f(x,y)=2x2+3y2−4xy+4x+6y+1，我们来求其最值。

首先，计算一阶偏导数：
$\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 4x - 4y + 4$
$\\frac{\\partial f}{\\partial y} = 6y - 4x + 6$
令 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0$，解方
程组得到(1,1)。

接下来，计算二阶偏导数：
$\\frac{\\partial ^2 f}{\\partial x^2} = 4$
$\\frac{\\partial ^2 f}{\\partial y^2} = 6$
最值点(1,1)满足 $\\frac{\\partial ^2 f}{\\partial x^2} > 0$ 且
$\\frac{\\partial ^2 f}{\\partial y^2} > 0$，因此是最小值点。

将(1,1)代入函数f(x,y)，得到最小值为4。

四、结论
二元二次函数求最值是数学中的重要问题，通过求取一阶偏导数和二阶偏导数，并利用相应的公式，可以求得函数的最值点和最值。

最大值点和最小值点的判定依赖于二阶偏导数的符号。

理解二元二次函数的最值求解方法，对于解决实际问题具有重要意义。