学案12：1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
课标要求
1．能利用导数的四则运算法则求解导函数．
2．能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导．
核心扫描
1．对导数四则运算法则的考查．(重点)
2．复合函数的考查常在解答题中出现．(重点)
课前探究学习
自学导引
1．导数运算法则
的定义域、值域满足什么关系？
提示在复合函数中，内层函数u＝g(x)的值域必须是外层函数y＝f(u)的定义域的子集．
名师点睛
1．运用导数运算法则的注意事项
(1)对于教材中给出的导数的运算法则，不要求根据导数定义进行推导，只要能熟练运用运算法则求简单函数的导数即可．
(2)①对于和差的导数运算法则，可推广到任意有限可导函数的和或差， 即[f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f ′n (x )．
②[ af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )； ③当f (x )＝1时，有⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )
g 2(x )
.
(3)对于积与商的导数运算法则，首先要注意在两个函数积与商的导数运算中，不能出现[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g ′(x )以及⎣⎡
⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )
g ′(x )
这样想当然的错误；其次还要特别注意两个函数积与商的求导公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”． 2．复合函数求导
对于复合函数的求导法则，需注意以下几点：
(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成，适当选定中间变量． (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .
(3)根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π
3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos u ＝2cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3. (4)复合函数的求导运用熟练后，中间步骤可省略不写. 课堂讲练互动
题型一 利用导数的运算法则求函数的导数
例1：求下列函数的导数：
(1)y ＝x ·tan x ； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝x ＋3
x 2＋3
；
(4)y ＝x sin x －
2cos x
； (5)y ＝x 5＋x 7＋x 9
x ；
(6)y ＝x －sin x 2cos x
2.
规律方法：解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、商几种运算，在求导之前一般应先将
函数化简，然后求导，以减少运算量． 变式1：求下列函数的导数：
(1)y ＝5－4x 3； (2)y ＝3x 2＋x cos x ； (3)y ＝e x ·ln x ； (4)y ＝lg x －1
x
2.
题型二 求复合函数的导数
例2：求下列函数的导数：
(1)y ＝
1
1－2x 2
； (2)y ＝e 2x ＋
1； (3)y ＝(x －2)2； (4)y ＝5log 2(2x ＋1)．
规律方法：应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面： (1)中间变量的选取应是基本函数结构．
(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导． (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导． (4)善于把一部分表达式作为一个整体．
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤． 变式2：求下列函数的导数：
(1)y ＝ln(x ＋2)； (2)y ＝sin 4x 4＋cos 4x
4；
(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x
1＋x
.
题型三 求导法则的应用
例3：求过点(1，－1)与曲线f (x )＝x 3－2x 相切的直线方程．
题后反思：点(1，－1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解．
变式3：若将本例改为求曲线y ＝x 3－2x 在点A (1，－1)处的切线方程，结果会怎样？
方法技巧 数形结合思想在导数中的应用
数形结合的原则：(1)等价性原则：在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则：在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析或仅对几何问题进行代数分析，在许多时候是很难完成的．(3)简单性原则：找到解题思路之后，至于用几何方法还是采用代数方法，则取决于哪种方法更为简单有效，“数”与“形”的结合往往能起到事半功倍的效果．
示例：讨论关于x 的方程ln x ＝kx 解的个数．
方法点评：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义 ，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率．导数的这一几何意义为导数与解析几何的沟通搭建了一个平台．因此从某 种意义上说，导数也就是数形结合的桥梁.
参考答案
题型一 利用导数的运算法则求函数的导数
例1：解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′
(1)y ′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫
x sin x cos x ′
＝
(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′
cos 2x
＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x
＝sin x cos x ＋x cos 2x
.
(2)法一 ∵(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x 3＋6x 2＋11x ＋6)′＝3x 2＋12x ＋11. 法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′
＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2 ＝3x 2＋12x ＋11.
(3)y ′＝(x ＋3)′(x 2＋3)－(x ＋3)(x 2＋3)′(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.
(4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎫2cos x ′＝sin x ＋x cos x －2sin x
cos 2x . (5)∵y ＝x 5＋x 7＋x 9x ＝x 2＋x 3＋x 4，
∴y ′＝(x 2＋x 3＋x 4)′＝2x ＋3x 2＋4x 3. (6)先使用三角公式进行化简，得 y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －1
2
sin x ，
∴y ′＝⎝⎛⎭⎫x －12sin x ′＝x ′－12(sin x )′＝1－1
2cos x . 变式1：解：(1)y ′＝－12x 2；
(2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x ； (3)y ′＝e x x ＋e x
·ln x ；
(4)y ′＝
1x ln 10＋2x
3. 题型二 求复合函数的导数
例2：解：(1)设y ＝u －1
2
，u ＝1－2x 2，
则y ′＝⎝⎛⎭⎫u －12′(1－2x 2)′＝⎝⎛⎭⎫－12u －3
2·(－4x ) ＝－12(1－2x 2)－32(－4x )＝2x (1－2x 2)－3
2
.
(2)y ＝e u ，u ＝2x ＋1，
∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(e u )′·(2x ＋1)′＝2e u ＝2e 2x ＋
1. (3)法一 ∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4， ∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′ ＝1－4×12x －12＝1－2
x
.
法二 令u ＝x －2，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2(x －2)·(x －2)′ ＝2(x －2)⎝⎛⎭⎫12·1x －0＝1－2x . (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′(2x ＋1)′＝
10u ln 2＝10
(2x ＋1)ln 2
. 变式2：解：(1)y ＝ln u ，u ＝x ＋2
∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝(ln u )′·(x ＋2)′＝1u ·1＝1
x ＋2.
(2)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x
4
＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4
＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，
∴y ′＝－1
4
sin x .
(3)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )2
1－x
＝2＋2x 1－x ＝4
1－x
－2，
∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4
(1－x )2
.
题型三 求导法则的应用
例3：解：设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝0
x x y ='＝3x 20－2，
故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0
) ① ∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0 ② 又∵(1，－1)在切线上，
∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)
＝(3x 20－2)(1－x 0)． 解得x 0＝1或x 0＝－12
.
故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－5
4(x －1)．
即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.
变式3：解：∵点A (1，－1)在曲线上，点A 是切点，
∴在A 处的切线方程为x －y －2＝0.
方法技巧 数形结合思想在导数中的应用
示例：解：如图，
方程ln x ＝kx 的解的个数就是直线y ＝kx 与曲线y ＝ln x 交点的个数． 设直线y ＝kx 与y ＝ln x 切于P (x 0，ln x 0) ，则kx 0＝ln x 0. ∵(ln x )′＝1
x
，
∴k ＝1
x 0，kx 0＝1＝ln x 0.
∴x 0＝e ，k ＝1
e
.
结合图象知：当k ≤0或k ＝1
e 时，
方程ln x ＝kx 有一解．
当0<k <1
e 时，方程ln x ＝kx 有两解．
当k >1
e 时，方程ln x ＝kx 无解．。