(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》检测(答案解析)(5)

一、选择题
1．设函数的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象
为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．设函数()4
cos f x x x =--的导函数为()g x ，则()g x 图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()
2
ln g x e x =的公切线，则b =
（ ） A ．2
B ．
12
C ．ln
2
e D ．()ln 2e
4．已知函数()0sin cos f x x x =+，()()'10f x f x =，()()'21f x f x =，…，()()'
1n n f x f x +=，
n N ∈，那么()2020f x =（ ）
A ．cos sin x x -
B ．sin cos x x -
C ．sin cos x x +
D ．sin cos x x --
5．若函数2
3
1()(0)3
f x ax x x =->的图象存在与直线20x y -+=平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞-
C ．(]
[),11,-∞-+∞ D ．(](),11,-∞-+∞
6．已知函数21,0()12,02
x e x f x x x x ⎧-≥⎪
=⎨+<⎪⎩，函数()(1)g x k x =-，若方程()()f x g x =恰有
三个实数解，则实数k 的取值范围为（ ） A
．[1
B
．
C
．(0,3-
D
．(0,3
7．设()'f x 是()f x 的导函数,若2()2(2)12f x x xf '=++在闭区间[0, ]m 上有最大值12,最小值4-,则m 的取值范围是( ) A ．[2, )+∞ B ．[2, 4] C ．[4, )+∞
D ．[4, 8]
8．已知函数()f x 的图像在点()()
22f ,处的切线方程是210x y -+=，若
()()
f x h x x
=
，则()2h '=（ ） A ．
12 B ．12
-
C ．18
-
D ．
58
9．三次函数()3
2
3212
f x ax x x =-
++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）
A ．83
B ．
116
C ．
113
D ．
53
10．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22x
f x e =-
B ．()2sin f x x =
C ．()13f x x x
=+
D ．()3
2f x x x =--
11．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或e
B ．1或e
C ．0或1
D ．e
12．已知函数()f x 在R 上可导，且2()=2(1)f x x xf +'，则函数()f x 的解析式为（ ） A ．2()4f x x x =- B ．2()4f x x x =+ C ．2()2f x x x =-
D ．2()2f x x x =+
二、填空题
13．若()()32111
1322
f x f x x x '=
-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________．
14．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是______．
15．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()
1,1f 处的切线方程为21y x =+，则
ab =______.
16．二项展开式012233
(1),N n n n n n n n n x C C x C x C x C x n ++=++++
+∈，两边对x 求
导，得1
1232
1
(1)
23n n n n n n n n x C C x C x nC x --+=++++，令1x =，可得
123
1232n
n n n n n C C C nC n -++++=⋅，类比上述方法，则
212223
2123n
n n n n C C C n C ⋅+⋅+⋅+
+⋅=______．
17．已知函数ln ()(0)x
f x x a ax
=-
≠在点(1,(1))f 处的切线1l 与在点(,())e f e 处的切线2l 互相垂直，则1l 与2l 的交点坐标为_____．
18．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()2
21y ax a x =+++相切,则a=________．
19．曲线()4
ln 1f x x x =--在点()1,0P 处的切线方程是______.
20．已知()f x 在R 上连续可导，()f x '为其导函数，且()2(0)x f x e f x '+=⋅，则()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为________________
三、解答题
21．设函数1
()ln x x
be f x ae x x
-=+．
（1）求导函数()'
f x ；
（2）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1)2y e x =-+，求a ，b 的值． 22．设函数()b
f x ax x
=-
，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=. （1）求()f x 的解析式；
（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的
面积为定值，并求此定值. 23．已知函数1
()ln f x x x b x
=++的图像与直线2y =相切. （1）求b 的值；
（2）当1[,]x e e
∈时，()f x ax ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 24．已知函数()sin x x
f x e
=
（1）求函数()f x 在点()()
0,0M f 处的切线方程；
（2）若()0f x k -≤在[]0,x π∈时恒成立，求k 的取值范围． 25．已知函数()ln()(,)b
f x x a a b R x
=+-∈，且曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为2y x =-.
（Ⅰ）求实数a ，b 的值；
（Ⅱ）函数()(1)()g x f x mx m R =+-∈有两个不同的零点1x ，2x ，求证：2
12x x e ⋅>.
26．已知函数()24
3f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。

（1）求()f x 的解析式；
（2）求()f x 在()1,2处的切线方程.
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一、选择题 1．B 解析：B 【详解】 ∵，∴
，∴
，
可知
应该为奇函数，且当02
t π
<<
时，故选B ．
考点：利用导数研究函数的单调性.
2．D
解析：D 【分析】
求出导函数()g x ，然后研究()g x 的性质，用排除法确定正确选项． 【详解】
因为()4
cos f x x x =--，所以()3
'sin 4f x x x =-，所以()3
sin 4g x x x =-，
所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：D. 【点睛】
本题考查导数的运算，考查由函数解析式选择函数图象，解题时可根据解析式确定函数的性质，利用排除法得出正确选项．
3．C
解析：C 【分析】
由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()
2
ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关
于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】
设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()
2
ln g x e x =相切
于点()22,B x y ，
()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k
-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-
⎪⎝⎭
， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln k
k k b k
--=⋅
+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x
'=，由()2
21g x k x '==，可得21x k =， ()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
将点B 的坐标代入直线l 的方程可得1
2ln 1k k b b k
-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2
e b =-=. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.
4．C
解析：C
【分析】
由题意，依次求出1234(),(),(),()f x f x f x f x ，观察所求的结果，归纳出周期性规律，求解即可 【详解】
由题意得，()0sin cos f x x x =+，
()10'()cos sin f x f x x x ==-，
()21'()sin cos f x f x x x ==--， ()32'()cos sin f x f x x x ==-+， ()43()sin cos f x f x x x ==+，
以此类推，可得()4()n n f x f x +=， 所以()20200()sin cos f x f x x x ==+， 故选：C. 【点睛】
此题考查三角函数的导数，关键是通过求导计算分析其变化的规律，属于中档题.
5．A
解析：A 【分析】
求出导函数()'
f x ，由()1f x '
=有正数解求解即可． 【详解】
2()2f x ax x '=-，由题意2()21f x ax x '=-=有正数解，
∵0x >，
∴21122x a x x
+=≥=，当且仅当1x =时等号成立， ∴a 的取值范围是[1,)+∞．
故选：A ． 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查二次方程的分布问题，掌握导数的几何意义是解题基础．
6．D
解析：D 【分析】
要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点，再分别作出函数(),()f x g x 的图象，观察图像的交点个数即可得解. 【详解】
解：依题意，画出21,0()12,02
x e x f x x x x ⎧-≥⎪
=⎨+<⎪⎩的图象，如图．直线()(1)g x k x =-过定点
(1,0)，由图象可知，函数()g x 的图象与21()2,0
2
f x x x x =+<的图象相切时，函数(),()f x
g x 的图象恰有两个交点．
下面利用导数法求该切线的斜率． 设切点为00(,)P x y ，
由()2,0f 'x x x =+<，得00()2k f 'x x ==+=2
00
01221
x x x +-，
化简得20024=0x x --，解得015x =-或015x =+（舍去），
要使方程()()f x g x =恰有三个实数解，则函数(),()f x g x 的图象恰有三个交点， 结合图象可知035k <<-， 所以实数k 的取值范围为(0,35)-， 故选：D ．
【点睛】
本题考查了方程的解的个数与函数图像交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.
7．D
解析：D 【分析】
首先对函数()f x 求导，令2x =，得到关于()2f '的方程，即可求出()2f '，再利用二次函数的图象和性质，即可确定m 的取值范围． 【详解】
依题可得，()()222f x x f ''=+，令2x =，得()()2422f f ''=+，解得
()24f '=-，
所以()2
2()81244f x x x x =-+=--，因为()012f =，()44f =-，而由二次函数的对
称性可知，()812f =，故48m ≤≤． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查导数的四则运算法则和基本初等函数导数公式的应用，以及二次函数的图象
与性质的应用，属于中档题．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据切线方程计算1'(2)2f =，3
(2)2
f =，再计算()h x 的导数，将2代入得到答案. 【详解】
函数()f x 的图像在点()()
22f ,处的切线方程是210x y -+=
1'(2)2f ⇒=
3
(2)2
f = ()()2
'()()
'()f x f x x f x h x h x x x
-=
⇒= ()3
112248
h -
'==- 故答案选C 【点睛】
本题考查了切线方程，求函数的导数，意在考查学生的计算能力.
9．D
解析：D 【分析】
由()10f '=求出实数a 的值，然后利用导数能求出函数()y f x =在区间()1,3上的最小值. 【详解】
()323
212
f x ax x x =-++，()2332f x ax x '∴=-+，
由题意得()1310f a '=-=，解得13
a =
，()32
132132f x x x x ∴=-++，
()232f x x x '=-+，令()=0f x '，得1x =或2x =.
当12x <<时，()0f x '<；当23x <<时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在区间()1,3上的最小值为()2835
22221323
f =-⨯+⨯+=. 故选：D. 【点睛】
本题考查利用切线与直线平行求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查运算求解能力，属于中等题.
10．C
解析：C 【分析】
由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】
若()22x f x e =-，则由()'22x
f x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x
=上，则直线2y x =与曲线22x y e =-相切；
若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()1
3f x x x
=+
，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点
()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线1
3y x x
=+
不相切； 若()32f x x x =--，则由()2
'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()
1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线3
2y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.
11．B
解析：B 【分析】
设出直线l 与两个函数的切点,求得两个函数的导函数,并根据导数的意义求得切线的斜率.由点在曲线上的性质,可得方程组.化简后求得其中一个切点的坐标,即可求得切线的斜率. 【详解】
设直线l 与函数()x
f x e =的图象相切于点()11,A x y ,直线l 与函数()ln 2
g x x =+的图象相
切于点()22,B x y ,直线l 的斜率为k . 则1122l 2,n x
y e y x ==+
因为'()x
f x e =,()1'
g x x
=
则1
2
1x x k e ==
所以11122212122
ln 21
1x x y e y x e x y y x x x ⎧=⎪
=+⎪⎪⎪=
⎨⎪
⎪-=⎪-⎪⎩,则()12212ln 21x e x x x x -+=- 由1
2
1
x
e x =
,可得21ln x x =-,代入上式可得 ()222
22ln 2l 1n 1
x x x x x -+=
--,化简可得2222ln ln 10x x x x ---=
即()()221ln 10x x -+=,解得21,x =或21
x e
= 代入2
1k x =
可得1k =或k e = 故选:B 【点睛】
本题考查了直线与曲线的切线问题,导数的几何意义应用,计算量较为复杂,属于中档题.
12．A
解析：A 【分析】
先对函数()f x 求导，然后将1x =代入导函数中，可求出(1)2f '=-，从而得到()f x 的解析式. 【详解】
由题意，()22(1)f x x f ''=+，则(1)22(1)f f ''=+，解得(1)2f '=-，故
2()4f x x x =-.
故答案为A. 【点睛】
本题考查了函数解析式的求法，考查了函数的导数的求法，属于基础题.
二、填空题
13．【分析】求得函数的导数令求得得出函数的解析式再求得结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由题意函数可得令可得解得所以可得所以曲线在点处的切线方程是即故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求 解析：3310x y -+=
【分析】
求得函数的导数()()2
11f x f x x ''=-+，令1x =，求得()11f '=，得出函数的解析
式，再求得()4
13
f =，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】
由题意，函数()()32111
1322
f x f x x x '=
-++，可得()()211f x f x x ''=-+， 令1x =，可得()()2
1111f f =-'+'，解得()11f '=，
所以()32111322f x x x x =
-++，可得()413
f =， 所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是4
13
y x -=-，即3310x y -+=. 故答案为：3310x y -+=. 【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
14．【分析】设切点为求导得斜率然后利用点斜式得切线方程将点A 代入使得方程关于有两解即可【详解】设切点为则切线斜率为：切线方程为：将点代入切线方程得：又所以整理得有两个解所以解得或故答案为【点睛】本题主要 解析：()(),40,-∞-⋃+∞
【分析】
设切点为()00,x y ，求导得斜率，然后利用点斜式得切线方程，将点A 代入，使得方程关于0x 有两解即可. 【详解】
设切点为()00,x y ，则切线斜率为：()00k 1x
x e =+⋅.
切线方程为：()()0
000y 1x y x e
x x -=+⋅-，
将点(),0A a 代入切线方程得：()()0
0001x y x e a x -=+⋅-，又0
00x
y x e
=⋅.
所以()()00
0001x x x e a x x e +⋅-=-⋅，整理得2
000x ax a -+=有两个解.
所以
240a a =->，解得4a <-或0a >.
故答案为()(),40,-∞-⋃+∞. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义：求切线，求切线时要注意设过点作切线还是在点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点，属于易错题型.
15．【分析】由函数在处的切线方程为得出即可求解【详解】由题意函数则因为函数在处的切线方程为所以即解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方
解析：2
【分析】
由函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，得出()
(1)2
13f f '=⎧⎨=⎩，即可求解.
【详解】
由题意，函数()ln 2f x a x ax b =-+，则()2a
f x a x
'=-，
因为函数()f x 在()()
1,1f 处的切线方程为21y x =+，
所以()(1)212113f f =⎧⎨=⨯+='⎩
，即2223a a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2ab =.
故答案为：2. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方程的方法，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
16．【分析】依据类比推理观察式子的特点可得然后进行求导并对取特殊值可得结果【详解】两边对求导左边右边令故答案为：【点睛】本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合难点在于找到式子属中档题 解析：2(1)2n n n -+⋅
【分析】
依据类比推理观察式子的特点，可得1
12233
(1)23n n n
n n n n nx x C x C x C x nC x -+=++++
，
然后进行求导并对x 取特殊值，可得结果. 【详解】
112233
(1)23n n n
n n n n nx x C x C x C x nC x -+=+++
+， 两边对x 求导，左边1
2(1)
(1)(1)n n n x n x x --⎡⎤=++-+⎣⎦
右边2122232
21
123n n n n n n C C x C x n C x -=⋅+⋅+⋅+
+⋅
令1x =，
212223
22123(1)2n
n n n n n C C C n C n n -⋅+⋅+⋅+
+⋅=+⋅．
故答案为：2
(1)2n n n -+⋅
【点睛】
本题考查类比推理以及二项式定理与导数的结合，难点在于找到式子
112233
(1)23n n n
n n n n nx x C x C x C x nC x -+=++++
，属中档题.
17．【分析】根据导数的几何意义得到在点处的切线的斜率为在点处的切线的斜率为根据两直线垂直可得到参数值再求出在两点处的切线方程求出两直线的交点即可【详解】对函数求导得到在点处的切线的斜率为在点处的切线的斜
解析：11
(1,1)e e
+-
【分析】
根据导数的几何意义得到在点()()
1,1f 处的切线1l 的斜率为()1
11f a
'=-
，在点()(),e f e 处的切线2
l 的斜率为()1f e '=，根据两直线垂直可得到参数值，再求出在两点
处的切线方程，求出两直线的交点即可. 【详解】
对函数求导得到()21ln 1x f x ax -'=-
，在点()()1,1f 处的切线1
l 的斜率为()1
11f a
'=-，在点()()
,e f e 处的切线2l 的斜率为()1f e '=，因为两直线垂直，故得到a=
1
2,()22(1ln )1x f x x
'-=-, 切线1l 的切点为()()
1,1f ，即()1,1，切线2l 的切点为2,e e e ⎛
⎫
-
⎪⎝⎭
，根据点斜式写出直线方程得到：1l 为y=-x+2,2
l 为2y x e =-，联立两条直线得到交点坐标为1
11,1e
e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭.
故答案为111,1e
e ⎛
⎫+- ⎪⎝
⎭
. 【点睛】
点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.
18．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】
解析：8 【解析】
试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111
|1|2x x y x
===+
='，所以切线方程为；曲线2
(2)1y ax a x =+++的导函数的为
，因与该曲线
相切，可令
，当
时，曲线为直线，与直线
平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点
，代入切线方程即
可求得
.
考点：导函数的运用.
【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．
19．【分析】求得的导数由导数的几何意义可得切线的斜率再由点斜式方程可得所求切线的方程【详解】在点处的切线方程即故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及切线的方程的求法考查方程思想和运算能力属于基
解析：.330x y --= 【分析】
求得()4
ln 1f x x x =--的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由点斜式方程可
得所求切线的方程. 【详解】
()4ln 1f x x x =--,
31()4f x x x
'∴=-
, (1)3k f '∴==,
()4ln 1f x x x ∴=--在点()1,0P 处的切线方程03(1)y x -=-,
即330x y --=， 故答案为：330x y --= 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，以及切线的方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题.
20．【分析】求导得斜率利用点斜式求解直线方程【详解】由题意所以因此所以易知切线为故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义考查切线方程求法是基础题 解析：1y x =-+
【分析】
求导得斜率，利用点斜式求解直线方程 【详解】
由题意， 2()(0)x f x e f '+'=，所以0
(0)(0)(02)12f e f f +='+''=， 因此(0)1f '=-，所以()2x
f x e x =-，易知切线为1y x =-+
故答案为：1y x =-+ 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查切线方程求法，是基础题
三、解答题
21．（1）()f x '=112
ln ---++x x x x
ae be x be
ae x x x
；（2）1a =，2b =． 【分析】
（1）根据导数的运算法则求导；
（2）求出(1)f '，由(1)e f ，(1)2f =可求得,a b ．
【详解】
（1）由1
e ()e ln x x
b f x a x x
-=+，
得()1()ln x x
be f x ae x x -'⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭
' 11
2
ln x x x x
ae be x be ae x x x
---=++． （2）由题意得，切点既在曲线()y f x =上，又在切线(1)2y e x =-+上，
将1x =代入切线方程，得2y =， 将1x =代入函数()y f x =，得(1)f b =， 所以2b =．
将1x =代入导函数()'
f x 中 得(1)f ae e =='， 所以1a =． 【点睛】
关键点点睛：本题考查导数的运算法则，考查导数的几何意义．函数()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程是000()()()y f x f x x x '-=-，若求过点()00,x y 的切线方程，则切点坐标为11(,)x y ，写出切线方程111()()y y f x x x '---，代入00(,)x y 求出11,x y 即可得切线方程．
22．（1）2
()f x x x
=-；（2）证明见解析，定值为4. 【分析】
（1）由曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=，可得
3(2)42
(2)21
2b f a b f a ⎧=+=⎪⎪⎨
⎪=-=⎩
'
⎪，从而求出,a b 的值，进而可得()f x 的解析式； （2）设点()00,P x y 为曲线()y f x =上任意一点，则可得点P 的切线方程为
()00200221y x x x x x ⎛⎫⎛⎫
--=+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，从而可求出切线与直线0x =和直线y x =的交点坐
标，进而可求出所求面积
【详解】
（1）将点(2,(2))f 的坐标代入直线3240x y --=的方程得(2)1f =，
()b f x ax x =-
，则2()b f x a x '
=+，直线3240x y --=的斜率为32
， 于是3(2)42(2)21
2b f a b f a ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=-=⎩
'
⎪，解得12a b =⎧⎨=⎩，故2()f x x x =-；
（2）设点()00,P x y 为曲线()y f x =上任意一点，由（1）知2
()f x x x
=-
， 22()1f x x
'
∴=+，又()00
02f x x x =-， 所以，曲线()y f x =在点P 的切线方程为()00200221y x x x x x ⎛⎫⎛⎫
--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
即20024
1y x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，
令0x =，得04y x =-
，从而得出切线与y 轴的交点坐标为040,x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭， 联立200241y x
y x x x =⎧⎪
⎛⎫⎨=+- ⎪⎪⎝⎭⎩
，解得02y x x ==， 从而切线与直线y x =的交点坐标为()002,2x x .
所以，曲线()y f x =在点P 处的切线与直线0x =、y x =所围成的三角形的面积为
00
14
242S x x =⋅-⋅=
故曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =，y x =所围成的三角形的面积为定值且此定值为4. 【点睛】
此题考查导数的几何意义的应用，考查转化思想和计算能力，属于中档题. 23．（1）b =1（2）2a 1e e ≥+- 【分析】
（1）先求出函数的导函数，利用()'10f =，得到切点坐标，代入()f x 求b 的值； （2）由()1ln 1f x ax x x ax x ≤++≤得，211
ln a x x x
∴≥++ 设()211ln g x x x x =+
+（x ＞0），利用导函数求出g （x ）在x ∈[1
e
，e ]上的最大值即可求
实数a 的取值范围． 【详解】
（1）()2
1
'ln 10f x x x =+-
= ()0x ∈+∞，，()'f x 在()0+∞，上为增函数，且()'10f =
∴切点的坐标为()12，，将()12，代入()f x 得1+b =2，∴b =1
(2)由()1ln 1f x ax x x ax x ≤++≤得，211
ln a x x x
∴≥++ 令()()232211*********ln '111g x x g x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+
+=--=-+-=-+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ()()()()02'02'0x g x x g x ∴∈∈+∞，，，，，， 1x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
又
，， 12x e ⎡⎫
∴∈⎪⎢⎣⎭当，时，g(x)为减函数，(]2x e ∈，时，g(x)为增函数，
()2211111g e e g e e e e ⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭，，显然()1g g e e ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
,
21a e e ≥+-.
【点睛】
本题主要研究利用导数求切线方程以及函数恒成立问题．当a ≥g （x ）恒成立时，只需要求g （x ）的最大值；当a ≤h （x ）恒成立时，只需要求g （x ）的最小值，这种转化是解题的关键.
24．（1）y x =（2）4,π-⎫+∞⎪⎪⎣⎭
【分析】
（1）求得函数的导数cos sin ()x
x x
f x e
'
-=
，得到'(0)1f =，(0)0f =，利用直线的点斜式方程，即可求解其切线的方程；
（2）利用导数求得函数()sin x
f x e x -=在0,
4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
单调递增，在4ππ⎛⎤
⎥⎝⎦单调递减，求得函
数4max ()2
f x e π
=，进而由max ()k f x >，即可求解k 的取值范围．
【详解】
（1）由题意，函数sin ()x x f x e =
，则cos sin ()x
x x f x e '
-=，
可得'(0)1f =，又(0)0f =，
所以函数()f x 在点(0,(0))M f 处的切线方程为y x =． （2）因为[0,]x π∈，令cos sin ()0x
x x
f x e '
-=
=，解得4
x π=， 当x [0,
)4π
∈时，'()0f x >，当4x ππ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，'()0f x <， 所以函数()sin x
f x e
x -=在0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
单调递增，在4ππ⎛⎤
⎥⎝⎦单调递减，
所以4max ()42
f x f e ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭，
若()0f x k -≤，在[0,]x π∈恒成立，即max ()k f x >
恒成立，所以4k π-≥，
所以k
的取值范围是4
,2π-⎫+∞⎪⎪⎣⎭
． 【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，以及利用导数求解函数的恒成立问题，其中解答中熟记导数的几何意义，以及准确利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题． 25．（1）1a =-，0b =； （2）见解析 【分析】
（Ⅰ）根据题干得到()()222021f
f ⎧'=-=⎪⎨
=⎪⎩
，即()20211
24b ln a b a ⎧
+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪+⎩
，求解即可；（Ⅱ）
()ln g x x mx =-的两个不同的零点为1x ，2x ，即11ln x mx =，22ln x mx =，要证明
212x x e ⋅>，只需证明()122m x x +>即可，1212ln ln x x mx mx -=-，所以
1212
ln ln x x m x x -=
-，最终只需要证121212ln ln 2x x x x x x ->-+，通过变量集中，换元可得到结果.
【详解】
（Ⅰ）由曲线()y f x =在点()()
2,2f 处的切线方程为2y x =-，故
()()2220
21f f ⎧'=-=⎪⎨
=⎪⎩
， 又()()ln b f x x a x =+-
，()21b
f x x a x
=
++'，
所以()2021124
b ln a b a ⎧
+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪+⎩，解得1a =-，0b =；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()ln 1f x x =-，故()1ln f x x +=，所以
()()ln g x x mx m R =-∈，
()ln g x x mx =-的两个不同的零点为1x ，2x ，不妨设120x x >>，
因为()()120g x g x ==，所以11ln x mx =，22ln x mx =，
要证明2
12x x e ⋅>，即证明()2
12ln ln 2x x e >=，而()()1212ln x x m x x =+
故只需证明()122m x x +>即可， 又1212ln ln x x mx mx -=-，所以12
12
ln ln x x m x x -=
-，
故只需证明121212
ln ln 2
x x x x x x ->-+，
即需证()1212122ln ln x x x x x x +->+，即证12
112
221ln 1x x x x x x ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭>+， 即只需证12112
2
21ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭->+即可， 令1
2
x t x =
，由于120x x >>，故1t >， 设()()21ln 1
t F t t t -=-
+，(1)t >，
()()()()
2
22114
11t F t t t t t -=-=+'+，
(1)t >， 显然()0F t '>，故()()
21ln 1
t F t t t -=-+，(1)t >是增函数，
所以()()1F t F >，又()10F =，所以()0F t >恒成立， 即()21ln 1
t t t ->
+，(1)t >成立，因此2
12x x e ⋅>，得证.
【点睛】
在证明有关极值点或零点12,x x 的有关不等式时，由于函数中含有参数，极值点（或零点）
12,x x 也不可能求出，因此我们要首先利用极值点或零点的定义，建立起12,x x 与参数（如
本题中的a ）的关系，特别是把参数用12,x x 表示出来，这样待证不等式中的参数a 就可转化为12,x x ，因此不等式只是关于12,x x 的不等式，然后再变形，利用换元法，设
12,0t x x t =-<（或21,0t x x t =->），在0x >的情况下也可设1
2
,01x t t x =
<<（或2
1
,1x t
t x ），这样不等式就可转化为关于t 的不等式恒成立，这又可利用函数的知识进行证明求解． 26．（1）()235
222
f x x x =-+；（2）10x y -+= 【解析】
分析：（1）求出函数的导数，利用已知条件列出方程，求解即可；（2）求出切线的斜率，然后求解切线方程． 详解：
（1）()423f x ax a -
'= 依题意有()4
123
f a a b =-+=① ()4
1213f a a =-=' ②
由①②解有35
,22
a b ==
所以()f x 的解析式是()235
222
f x x x =
-+ （2）()f x 在()1,2处的切线的斜率()11k f ='= 所以有21y x -=-即10x y -+= 故所求切线的方程为10x y -+=.
点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.。