河南偃师高中12级高三第一次月考数学月考试卷(理)

偃师高中12级高三第一次月考
数学试卷（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每题5分、，共60分，在每小题绘出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的．
1．已知集合2{|},{|1,},A x y x Z B y y x x A A B ==∈==+∈⋂则为
A ．∅
B ．{1}
C ．[0,)+∞
D ．{（0，1）}
2．已知△ABC 内角A 、B 、C 所对的边长分别为c b a 、、，若3=a ，2=b ， 60=∠A 则=B cos
A.
33 B.33± C.36 D.3
6± 3．已知四棱锥的俯视图是边长为2的正方形及其对角线（如下图），主视图与左视图都是边
长为2的正三角形，则其全面积是
A ．34
B ．344+
C ．8
D ．12
4. 已知D 是△ABC 所在平面上任意一点，若0)()(=-⋅-，则△ABC 一定是
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形
D.等边三角形
5. “lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2
y xz =”成立的
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6. 一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，
在直角坐标系xOy 中，以(),x y 为坐标的点落在直线28x y +=上的概率为
A ．
16
B ．
112
C ．
536
D ．
19
7. 已知πθ<<0，71
)4tan(=
+
π
θ，那么=+θθcos sin
A.5
1
-
B.51
C.5
7- D.
5
7
8. 已知曲线22
1:20C x y x +-=和曲线2:cos sin (C y x θθθ=-为锐角），则C 1与C 2的
位置关系为
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．以上情况均有可能
9. 设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比
数列，则210b b b a a a =+++
A ．1033
B ．1034
C ．2057
D ．2058
10.已知实数x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，若使得目标函数y ax +取最大值时有唯一
最优解)3,1(，则实数a 的取值范围是 A.)1,2[-- B.]2,(--∞ C.)1,(--∞ D.),1()1,(+∞--∞
11. 规定记号“⊗”表示一种运算，即2
a b ab a b ⊗=++ (,)a b 为正实数，若31=⊗k ，
则k =
A ．2-
B ．1
C ．2- 或1
D ．2
12. 已知抛物线)0(22
>=p px y 的焦点F 为双曲线122
22=-b
y a x 的一个焦点，经过两曲
线交点的直线恰过点F ，则该双曲线的离心率为
A.
2 B. 21+ C.
3 D. 31+
第Ⅱ卷（非选择题 共90分钟）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.复平面内，复数
11
3-i
（i 是虚数单位）对应的点在第 象限； 14. 阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为 ；
15.在△ABC 中，若)3,2(A ，)0,2(-B ，)0,2(C ，则BAC ∠的角平分线所在直线l 的方程
是 ；
16. 一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中*
,x y N ∈)，则样本在区间 [10，50 ) 上的频率 ．
三、解答题：每小题12分，共60分，解答应写文字说明，证明过程或演算步骤。

17.设三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 4,a c ==sin 4sin A B =．
（1）求b 边的长； （2）求角C 的大小；
（3）求三角形ABC 的面积S 。

18. 如图，四边形ABCD 为矩形，且2,1AD AB ==，PA ABCD ⊥平面，E 为BC 上的动点.
(1) 当E 为BC 的中点时，求证：PE DE ⊥；
(2) 设1PA =，在线段BC 上存在这样的点E ，使得二面角
P ED A --的平面角大小为
4
π
. 试确定点
E 的位置.
19. 一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.
（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望。

20. 已知向量2
(3,1),(,)a x b x y =-=-，（其中实数x 和y 不同时为零），当||2x <时，有
a b ⊥，当||2x ≥时，//a b ．
（1）求函数式()y f x =；
（2）求函数()f x 的单调递减区间； （3）若对[)(,2]
2,x ∀∈-∞-+∞，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．
第18题图
D
P
21. 已知点C （1，0），点A 、B 是⊙O ：22
9x y +=上任意两个不同的点，且满足0AC BC ⋅=，
设P 为弦AB 的中点．
（1）求点P 的轨迹T 的方程；
（2）试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线
1x =-的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出
这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
四、选做题.(本小题满分10分.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．)
22．在ABC ∆中，已知CM 是ACB ∠的角平分线，AMC ∆的外接圆交BC 于点N ，
AB AC 2
1
=
. 求证：AM BN 2=. 23．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐
标方程为)3
cos(π
θρ-
=1，N M ,分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点.
（1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求出N M ,的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程. 24．已知),0(,,+∞∈c b a ，且
23
21=++c
b a ，求
c b a 32++的最小值及取得最小值时c b a ,,的值
偃师高中12级高三第一次月考
数学答案（理科）
1.B
2.C
3.D
4.C
5.A
6.B
7.A
8.A
9.A 10.C 11.B 12.B 13. 二 14.
2
3
15. 2x-y-1=0 16. 0.7 17. （本小题满分12分） 解：（1）依正弦定理
sin sin a b
A B
=
有sin sin b A a B =…………………………2分 又4,a =sin 4sin A B =，∴1b = …………………………4分
（2）依余弦定理有222161131
cos 22412
a b c C ab +-+-=
==⨯⨯………………………6分 又0︒
＜C ＜180︒
，∴60C ︒
= …………………………8分 （3）三角形ABC
的面积11
sin 41sin 6022
S ab C ︒==⨯⨯⨯=分 18．（本小题满分12分）
方法一：(1) 证明：当E 为BC 的中点时，1EC CD ==，从而△DCE 为等腰直角三角形， 则45DEC ∠=，同理可得45AEB ∠=，∴90AED ∠=，于是DE AE ⊥，…2分 又PA ABCD ⊥平面，且DE ABCD ⊂平面，∴PA DE ⊥，
AE PA A =…………………4分
∴DE PAE ⊥平面，又PE PAE ⊂平面，∴DE PE ⊥. …………………………6分 （也可以利用三垂线定理证明，但必需指明三垂线定理）
（还可以分别算出PE ，PD ，DE 三条边的长度，再利用勾股定理的逆定理得证，也给满分） (2) 如图过A 作AQ DE ⊥于Q ，连,AE PQ ，则PQ DE ⊥， ∴PQA ∠为二面角P ED A --的平面角. ……………8分
设BE x =，则2CE x =-.
,, 1.4
Rt PAQ PQA AQ PA π
∆∠=
∴==在中…………9分
,,,Rt ABE AE Rt AQE EQ x ∆=∴∆=在中在中
Rt AQD DQ ∆=在中
于是DE x = ……………………………10分
Rt DCE ∆在中
，有22((2)1x x +=-+解之得2x =-
点E 在线段BC 上距B 点的32-处. ………………………………12分 方法二、向量方法.以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，如图. …………………………1分 （1）不妨设AP a =，则(0,0,),(1,1,0),(0,2,0)P a E D ， 从而(1,1,),(1,1,0)PE a DE =-=-，………………………5分于是·=(1，1，-a )·(1,-1,0)=0，
所以,PE DE ⊥所以PE DE ⊥ ………………………6分 （2）设BE x =，则(0,0,1),(1,,0),(0,2,0)P E x D ，
则(1,,1),(1,2,0)PE x DE x =-=- .……………………………………8分 易知向量(0,0,1)AP =为平面AED 的一个法向量.设平面PDE 的法向量为
(,,)n a b c =，
则应有0,0,
n PE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0(2)0a bx c a b x +-=⎧⎨+-=⎩解之得2c b =，令1,b =则2c =，2a x =-，
从而(2,1,2)n x =-，…………………………………………………………10分 依题意2cos
4
2n AP n
AP
π
=
=
=
，
解之得12x =，22x =所以点E 在线段BC 上距B 点的32-处 .………………………………12分 19. （本小题满分12分）
解： （1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，两球恰好颜色不同，也就是说从5个球中摸出一球，若第一次摸到白球，则第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，则第二次摸到白球.
因此它的概率P 是：1111
33221111555512
25
C C C C P C C C C =⋅+⋅= ……………………4分
（2）设摸得白球的个数为ξ，则ξ=0，1，2。

2112
3232222
555331
(0);(1);(2);10510
C C C C P P P C C C ξξξ⋅========= …………7分 ξ的分布列为：
5
10251100=⨯+⨯+⨯
=ξE ……………………………………………………12分 20．（本小题满分14分）
解：（1）当||2x <时，由a b ⊥ 得2
(3)0a b x x y ⋅=--=，
33y x x =-；（||2x <且0x ≠）----------------------------------------------------2分
当||2x ≥时，由//a b . 得2
3
x
y x =-
- --------------------------------------------------------------4分 ∴ 32
3,(220)().(22)3x x x x y f x x x x x
⎧--<<≠⎪
==⎨≥≤-⎪-⎩且或-----------------------------------5分
（2）当||2x <且0x ≠时，
由2
'33y x =-<0,解得(1,0)
(0,1)x ∈-，-------------------------------------------6分
当||2x ≥时，22
2222
(3)(2)3'0(3)(3)
x x x x y x x ---+==>-- ----------------------------8分 ∴函数()f x 的单调减区间为（－1，０）和（０，1） ------------------------------9分 （3）对(,2]
x ∀∈-∞-[2,)+∞，
都有2
30mx x m +-≥ 即2
(3)m x x -≥-，
也就是2
3x
m x
≥
- 对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞恒成立，----------------------------------------------------11分 由（2）知当||2x ≥时，
22
2222
(3)(2)3'()0(3)(3)
x x x x f x x x ---+==>-- ∴ 函数()f x 在(,2]-∞-和[2,+)∞都单调递增-------------------------------12分
……9分
又2(2)234f --=
=-，2
(2)234
f ==-- 当2x ≤-时 2
()03x
f x x
=>-， ∴当(,2]x ∈-∞-时， 0()2f x <≤同理可得，当2x ≥时， 有2()0f x -≤<， 综上所述得，对(,2]x ∈-∞-[2,)+∞，
()f x 取得最大值2；∴ 实数m 的取值范围为2m ≥. ----------------14分
21．（本小题满分14分）
解：（1）连结CP ，由0AC BC ⋅=，知AC ⊥BC
∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝1||2
AB ，由垂径定理知22
||||OP AP +=即2
2
||||9OP CP += --------------------------4分 设点P （x ，y ），有2
2
2
2
()[(1)]9x y x y ++-+= 化简，得到2
24x x y -+= ----------------------8分
（2）根据抛物线的定义，到直线1x =-的距离等于到点C （1，0）的距离的点都在抛物线
22y px =上，其中
12
p
=，∴2p =，故抛物线方程为24y x = ----------------10分 由方程组222
44
y x x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得2
340x x +-=，解得121,4x x ==- ----------------12分 由于0x ≥，故取1x =，此时2y =±
故满足条件的点存在的，其坐标为(1,2)-和(1,2) ---------------------14分
22．因为CM 是ACB ∠的平分线，所以
BM AM BC AC =，又已知AB AC 2
1
=，所以BM
AM
BC AB 2=。

设AMC ∆的外接圆为圆D,则MA 与NC 是圆D 过同一点B 的两条弦，所以由割线长定理知BC BN BA BM ⋅=⋅，即
BM
BN
BC BA =，所以AM BN 2= 23．（1）C 的直角坐标方程为23=+y x ，)2
,332(
),0,2(π
N M
（2）由（1）知P 的直角坐标为)3
3,
1(，则点P 的极坐标为)6,332(
π
，所以直线OP 的极坐标方程为R ∈=
ρπ
θ,6
24．])3()2()][()3()2()1[()32)(321(
2222
22c b a c
b a
c b a c b a ++++=++++ 36)33
22
1
(
2=++≥c c
b b
a a
（5分） 又
23
21=++c
b a ，1832≥++∴
c b a ，当且仅当3===c b a 时等号成立 当3===c b a 时，c b a 32++取得最小值18 （10分）。