高中物理变力做功问题

高中物理变力做功问题
纲要：在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教课的难点。

本文举例说了然在高
中阶段求变力做功的常用方法，比方用动能定理、功率的表达式W Pt 、功能关系、均匀值、 F s 图像、微元积累法、变换参照系等来求变力做功。

重点词：功変力对于功的定义式
动能定理
Fscos W
＝
功率功能关系均匀值图像微元积累法
，此中的 F 是恒力，合用于求恒力做功，此中的
变换参照系
s 是力 F 的作用点发生的位
移，是力 F 与位移s 的夹角。

在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教课的难
点。

求变力做功的方法好多，比方用动能定理、功率的表达式W Pt 、功能关系、均匀值、 F s 图像、微
元积累法、变换参照系等来求变力做功。

一、运用功的公式求变力做功
求某个过程中的変力做功，能够经过等效法把求该変力做功变换成求与该変力做功相同的恒力的功，此时
可用功定义式 W＝Fs cos求恒力的功，进而可知该変力的功。

等效变换的重点是剖析清楚该変力做功究竟与
哪个恒力的功是相同的。

例 1：人在 A 点拉着绳经过必定滑轮吊起质量m=50Kg的物体，如图 1 所示，开始绳与水平方向夹角为60 ，当人匀速提起重物由 A 点沿水平方向运动s2m 而抵达B点，此时绳与
水平方向成 30 角，求人对绳的拉力做了多少功？
【分析】人对绳的拉力大小固然一直等于物体的重力，但方向却时辰在变，
而已知的位移 s 方向向来水平，所以没法利用W＝Fscos直接求拉力的
功 . 若变换一下研究对象则不难发现，人对绳的拉力的功与绳对物体的拉
G
6030
力的功是相同的，而绳对物体的拉力则是恒力，可利用 W＝Fscos求了！
设滑轮距地面的高度为h，则：h cot 30cot 60s A B
图 1
人由 A 走到 B 的过程中，重物上涨的高度h 等于滑轮右边绳索增添的长度，即：
h h
，人h
sin 60
sin 30
对绳索做的功为： W mg h mgs 3 11000 3 1 J732J
二、运用动能定理求变力做功
动能定理的表述：合外力对物体做功等于物体的动能的改变，或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改
变。

对于一个物体在某个过程中的初动能和末动能可求，该过程其余力做功可求，那么该过程中変力做功可
求。

运用动能定理求变力做功重点是认识哪些外力做功以及确立物体运动的初动能和末动
能。

例 2：如图 2 所示，本来质量为 m的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直地点. 用水平
拉力 F 将小球迟缓地拉到细线与竖直方向成θ角的地点的过程中，拉力 F 做功为（）
A.FL cos
B.FL sin
C.FL 1 cos
D.mgL 1cos
【分析】好多同学会错选B，原由是没有剖析运动过程，对Ｗ＝FLcosθ来求功的合用
图 2
范围搞错，恒力做功能够直接用这类方法求，但变力做功不可以直接用此法正确的剖析，小球的运动过程是
迟缓的，因此任一时辰都可看作是均衡状态，所以 F 的大小不停变大， F 做的功是变力功，小球上涨过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变成零，可用动能定理求解：
所以W F W G mgL 1 cos，故 D 正确。

三、运用 W Pt 求变力做功
波及到机车的启动、吊车吊物体等问题，假如在某个过程中保持功率P 恒定，跟着机车或物体速度的改变，牵引力也改变，要求该过程中牵引力的功，能够经过W Pt 求変力做功。

例3：质量为5000Kg的汽车，在平直公路上以60kW的恒定功率从静止开始启动，速度达到 24 m/s的最大速度后，立刻封闭发动机，汽车从启动到最后停下经过的总
位移为 1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变 . 求汽车运动的时间 .
【分析】牵引力是変力，该过程中保持功率P 恒定，牵引力的功能够经过W Pt 来求。

汽车加快运动的时间为t1，由动能定理得：Pt1- F f s 0
汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则P Fv m F f v m P
即 F f
v m
可求得汽车加快运动的时间为F f s s1200
t1s s
v m2450
P
封闭油门后，汽车在阻力作用下做匀减速直线运动至停止，由动量定理得：
可求得汽车匀减速运动的时间为t2mv m mv m25000 242ss F f P60 100048
则汽车运动的时间为：t ＝t 1＋t 2＝50s＋48s＝98s
四、运用功能关系求变力做功
做功是能量转变的原由，做功是能量转变的量度，我们能够依据能量转变的状况来判断做功的状况，则给求変力做功供给了一条简易的门路。

运用功能关系求変力做功，重点是分清研究过程中有多少种形式的能转变，即有什么能增添或减少，有多少个力做了功，列出这些量之间的关系。

例 4：一个圆柱形的竖直井里存有必定量的水，井的侧面和底部是密闭
的。

在井中固定地插着一根两头张口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未
..涉及井底。

在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。

如图 3 所
示，现用卷扬机经过绳索对活塞施加一个向上的力F，使活塞迟缓向上移
动。

已知圆管半径r= ，井的半径 R=2r ，水的密度ρ =× 10 3kg/m 3，大气压
F 5
P0=× 10 Pa ，求活塞上涨 H=的过程中拉力所做的功（井和管在水面上及水
面下的部分都足够长，不计活塞质量，不计摩擦，重力加快度
g=10m/s 2）。

【分析】大气压 P 能够支撑的水柱高度为p010m
g
从开始提高到活塞至管内外水面高度差为10m 的过程中，活塞一直与水面图 3
接触，设活塞上涨 h1，管外液面降落h2，则有： h0h1 h2
h2r 21因液体体积不变，有：
R2r 2
h13
得h13h07.5m H
4
此过程拉力为変力，依据功能关系，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量等于除重力之外其余力做功。

依
据题意，则拉力做功等于水的重力势能的增量，即：
活塞从 h1上涨到H的过程中，液面不变，拉力 F 是恒力，F r 2 P0，则做功为：
所求拉力所做的总功为：W W1 W2 1.65 104 J
五、运用 F-S 图像中的面积求变力做功
某些求変力做功的问题，假如能够画出変力 F 与位移 S 的图像，则 F-S 图像中与 S 轴所围的面积表示该过程中変力 F 做的功。

运用F-S 图像中的面积求变力做功的重点是先表示出変力 F 与位移 S 的函数关系，再在画出 F-S 图像。

例 5：用铁锤将一铁钉击入木块，设阻力与钉子进入木板的深度成正比，每次F 击钉时锤子对钉子做的功相同，已知第一次击后钉子进入木板1cm，则第二
次击钉子进入木板的深度为多少？kx2
【分析】铁锤每次做功都是用来战胜铁钉阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，kx1
其大小与深度成正比，F=kx，以 F 为纵坐标， F 方向上的位移x 为横坐标，作
S2
出 F－ x 图象，如图4，函数线与 x 轴所夹暗影部分面积的值等于 F 对铁钉做的S1
功 . 因为两次做功相等，故有：S1=S2 ( 面积 )即：O x1x2x
1
kx 12 = 1
k(x 2+x1 )(x 2－ x1)
图 4
22
得 x22cm
所以第二次击钉子进入木板的深度为：
六、运用均匀值求变力做功
求変力做功可经过W F s 求，但只有在変力 F 与位移S 成正比率、或一次函数关系时，即成线性关系
时，F F1F2
才建立。

用均匀值求变力做功的重点是先判断変力 F 与位移S 能否成线性关系，而后求出该2
过程初状态的力F1和末状态的力F2。

例 6：如图 5 所示，在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块立方体木块，木块
的边长为 h，其密度为水的密度ρ的一半，横截面积也为容器截面积的一半，水
面高为2h，现使劲迟缓地把木块压到容器底上，设水不会溢出，求压力所做的功。

【分析】木块降落同时水面上涨，因迟缓地把木块压到容器底上，所以压力总等
于增添的浮力，压力是変力，当木块完整淹没在水中的降落过程压力是恒力。

本
题的解法好多，功能关系、F-S 图像法、均匀值法等均可求変力做功，现用均匀
图 5值法求。

木块从开始到完整淹没在水中，设木块降落x1，水面上涨x2依据水的体积不变，则：
h 2 x 1 h 2
x 2 得 x 1 x 2 所以当木块降落
h
时，木块恰巧完整淹没在水中，
4
h F 1 F 2
h 0
gh 2 h
1
所以
W 1
2 h
gh 4
F
2
4
2
4 8
4
木块恰巧完整淹没在水中经
h
2h 3h
5
h 到容器底部，压力为恒力 Fgh 2
h
gh 2 h 5 h
5 4
4
2
所以
W 2
F h
gh 4
2 4 8
3 gh 4
故压力所做的功为：
W
W 1 W 2
4 七、运用微元法求变力做功
求変力做功还能够用微元积累法，把整个过程分红极短的好多段，在极短的每一段里，力能够当作是恒
力，则可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代数和。

由此可知，求摩擦力和阻力做功，我
们能够使劲乘以行程来计算。

用微元积累法的重点是怎样选择适合的微元，怎样对微元作适合的物理和数学处
理，微元积累法对数学知识的要求比较高。

例 7：如图 6 所示，质量为 m 的小车以恒定速率
v 沿半径为 R 的竖直圆轨道运动，已知小
车与竖直圆轨道间的摩擦因数为 ，试求小车从轨道最低点运动到最高点的过程中，克
服摩擦力做的功。

【分析】 小车沿竖直圆轨道从最低点匀速率运动到最高点的过程中，因为轨道支持力是変
力，故而摩擦力为一変力，本题能够用微元法来求。

如图 7，将小车运动的半个圆周均匀细分红
n （ n
）平分，在每段长
R
的圆弧
图 6
n
上运动时，可以为轨道对小车的支持力
N i 不变、因此小车所受的摩擦力f i
不变，摩擦力的功能够用
W F s 计算。

当小车运动到如下图的
A 处圆弧时，有
f iA
v 2 mg sin
)
则
( m
R
当小车运动到如下图的与 A 对于 x 轴对称的 B 处圆弧时，有
则
f
iB
(m v 2
mg sin
)
R
由此，小车对于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为：
于是可知，小车沿半圆周从轨道最低点运动到最高点的过程中，摩擦的总功为：
y
.B
N iB
mg
x
O
N iA
A
mg
图 7
力做
八、变换参照系求变力做功
在有些物理问题中，要用功能原理，此中求做功时要波及到变力做功，但若经过变换参照系，可
化求变力做功为恒力做功，而大大简化解题过程。

例 8：宇宙中某一惯性参照系中，有两个质点 A 和 B ，质量分别为 m 和 M ，相距 L ，开始时 A 静止， B
拥有 A 、 B 连线延长方向的初速度 v ，因为受外力 F 的作用， B 做匀速运动。

（ 1）试求 A 、B 间距离最大时的 F 值；
（ 2）试求从开始到 A 、 B 最远时力 F 做的功；
【分析】 本题中 A 在万有引力作用下做变加快运动，要用功能原理来解。

若用微元法求变力做功，
会因数学知识的限制而不易找出
F 作用的位移和 A 、 B 间的距离的对应关系而很难求解。

而本题可通
过变换参照系，在相同知足机械能守恒的条件下，避开求变力做功，进而简化认识题过程。

⑴将本来的惯性参照系记为 S ，相对 B 静止的参照系记为 S ’，在 S ’系中， B 没有位移，所以力 F 做功为零，计算得以简化。

在 S ’系中， A 开始以 v 背叛 B 运动，最后在万有引力的作用下减速到零， 此时 A 、 B 间的距离最大，记为 L m 。

在 S ’系中，据机械能守恒，有
2LGM 所以
L m
Lv 2
2GM
此时 A 、 B 的万有引力为
F
m( 2GM Lv 2 )2
4GML 2
⑵回到 S 系中，当 A 、 B 的间距达到 Lm 时， A 、B 都以 v 速度，依据功能原理，
F 力所做的功
由⑴中知
GMm (
1
1 ) 1 mv 2
L L m 2
所以
W
mv 2。