2022-2023学年安徽省当涂县数学九年级第一学期期末调研试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分） 1．方程 x 2＝4的解是（ ） A ．x 1＝x 2＝2
B ．x 1＝x 2＝－2
C ．x 1＝2，x 2＝－2
D ．x 1＝4，x 2＝－4
2．如图，在边长为1的小正方形网格中，点, , , A B C D 都在这些小正方形的顶点上，,AB CD 相交于点O ，则
cos BOD ∠=( )
A ．
12
B ．
55
C ．
25
5
D ．2
3．如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，、BP CP 的延长线分别交AD 于点E F 、，连结,BD DP BD 、与CF 相交于点H ．给出下列结论，
①△ABE ≌△DCF ；②△DPH 是等腰三角形；③2333
PF AB
-=；④ABCD 314PBD S S -=四边形， 其中正确结论的个数是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
4．如图，四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，顶点P 在弧MN 上，且不与M ，N 重合，当P 点在弧MN 上移动
时，矩形PAOB 的形状、大小随之变化，则AB 的长度（ ）
A ．变大
B ．变小
C ．不变
D ．不能确定
5．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确．．．
的是( )
A ．1
2
DE BC =
B ．
AD AE
AB AC
= C ．△ADE ∽△ABC D ．:1:2ADE
ABC
S
S
=
6．如果△ABC ∽△DEF ，且对应边的AB 与DE 的长分别为2、3，则△ABC 与△DEF 的面积之比为（ ） A ．4:9
B ．2:3
C ．3:2
D ．9:4
7．若一元二次方程x 2+2x +m=0中的b 2﹣4ac=0，则这个方程的两根为（ ） A ．x 1=1，x 2=﹣1
B ．x 1=x 2=1
C ．x 1=x 2=﹣1
D ．不确定
8．在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 2的图象向左平移3个单位、再向下平移2个单位所得的抛物线的函数表达式为（ ） A ．y =(x －3)2－2
B ．y =(x －3)2＋2
C ．y =(x ＋3)2－2
D ．y =(x ＋3)2＋2
9．若:3:4a b =，且6a =，则2a b -的值是 （ ） A ．4
B ．2
C ．20
D ．14
10．如图，在△ABC 中，∠B=80°，∠C=40°，直线l 平行于BC ．现将直线l 绕点A 逆时针旋转，所得直线分别交边AB 和AC 于点M 、N ，若△AMN 与△ABC 相似，则旋转角为（ ）
A ．20°
B ．40°
C ．60°
D ．80°
11．如图，是用棋子摆成的“上”字：如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：第30个“上”字需用多少枚棋子（ ）
A．122 B．120 C．118 D．116
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A的度数为（）
A．40°B．50°C．80°D．100°
二、填空题（每题4分，共24分）
13．若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为_____．14．用正五边形钢板制作一个边框总长为40cm的五角星（如图），则正五边形的边长为cm（保留根号）__________．
15．某游乐园的摩天轮(如图1)有均匀分布在圆形转轮边缘的若干个座舱，人们坐在座舱中可以俯瞰美景，图2是摩天轮的示意图．摩天轮以固定的速度绕中心O顺时针方向转动，转一圈为18分钟．从小刚由登舱点P进入摩天轮开始计时，到第12分钟时，他乘坐的座舱到达图2中的点_________处(填A，B，C或D)，此点距地面的高度为_______m．
16．如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC与点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，若CE＝1 cm，则BF＝__________cm.
17．有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20m ，拱顶距水面4m ，在如图的直角坐标系中，该抛物线的解析式为___________．
18．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果. 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率
0. 92
0. 88
0. 91
0. 89
0. 90
0. 90
根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为________. 三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，在直角坐标系xoy 中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 轴和y 轴正半轴上，点B 的坐标是(52)，
，点P 是CB 边上一动点（不与点C 、点B 重合），连结OP 、AP ，过点O 作射线OE 交AP 的延长线于点E ，交CB 边于点M ，且AOP COM ∠=∠，令CP x =，MP y =.
（1）当x 为何值时，
？
（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）在点P 的运动过程中，是否存在x ，使的面积与的面积之和等于
的面积.若存在，请求x 的
值；若不存在，请说明理由.
20．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
2
21y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H ．
（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；
（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；
（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值．
21．（8分）化简：（1）2
4()(2)y y x x y ---； （2）
11
()122
a a a a -÷++--． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中()()0,86,,()00,,3A B C ，点D 从点A 运动到点B 停止，连接CD ，以CD 长为直径作
P .
（1）若ACD AOB ，求P 的半径；
（2）当
P 与AB 相切时，求POB 的面积；
（3）连接AP BP 、，在整个运动过程中，PAB △的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由.
23．（10分）如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边 AB 、CD 上的一点，且DF ＝BE . 求证：AF=CE .
24．（10分）随着冬季的来临，为了方便冰雪爱好者雪上娱乐，某体育用品商店购进一批简易滑雪板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件，由于商品库存较多，商家决定降价促销，根据市场调查，每件降价1元，每星期可多卖出4件．
（1）设商家每件滑雪板降价x元，每星期的销售量为y件，写出y与x之间的函数关系式：
（2）降价后，商家要使每星期的利润最大，应将售价定为每件多少元？最大销售利润多少？
25．（12分）如图，在由12个小正方形构造成的网格图（每个小正方形的边长均为1）中，点A，B，C．
（1）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）若点D，E也是网格中的格点，画出△BDE，使得△BDE与△ABC相似（不包括全等），并求相似比．
26．如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(- 4，0)和点B，交y轴于点C(0，4)．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，当△ADC面积有最大值时，在抛物线对称轴上找一点M，使DM+AM的值最小，求出此时M的坐标；
(3)点Q在直线AC上的运动过程中，是否存在点Q，使△BQC为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分） 1、C
【解析】两边开方得到x=±1． 【详解】解：∵x 1=4， ∴x=±
1， ∴x 1=1，x 1=-1． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如ax 1+c=0（a≠0）的方程可变形为2
=c
x a
-，当a 、c 异号时，可利用直接开平方法求解． 2、B
【分析】通过添加辅助线构造出Rt CDE △后，将问题转化为求cos DCE ∠的值，再利用勾股定理 、锐角三角函数解
Rt CDE △即可．
【详解】解：连接CE 、DE ，如图：
∵由图可知：123445ABE ∠=∠=∠=∠=∠=︒ ∴2390CED ∠=∠+∠=︒，//AB CE ∴BOD DCE ∠=∠ ∵小正方形的边长为1
∴在Rt CDE △中，22112CE =+=， 221310CD +=∴25
cos 10
CE DCE CD ∠=
==
∴cos cos BOD DCE ∠=∠=． 故选：B 【点睛】
本题考查了正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理以及锐角三角函数．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 3、A
【分析】①利用等边三角形的性质以及正方形的性质得出∠ABE=∠DCF=30°，再直接利用全等三角形的判定方法得出答案；
②利用等边三角形的性质结合正方形的性质得出∠DHP=∠BHC=75°，进而得出答案； ③利用相似三角形的判定与性质结合锐角三角函数关系得出答案；
④根据三角形面积计算公式，结合图形得到△BPD 的面积=△BCP 的面积+△CDP 面积-△BCD 的面积，得出答案． 【详解】∵△BPC 是等边三角形，
∴BP=PC=BC ，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°， 在正方形ABCD 中，
∵AB=BC=CD ，∠A=∠ADC=∠BCD=90° ∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE 与△CDF 中，A ADC
ABE DC AB CD ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△DCF ，故①正确； ∵PC=BC=DC ，∠PCD=30°， ∴∠CPD=75°，
∵∠DBC=45°，∠BCF=60°，
∴∠DHP=∠BHC=1804560︒-︒-︒=75°， ∴PD=DH ，
∴△DPH 是等腰三角形，故②正确； 设PF=x ，PC=y ，则DC=AB=PC=y ， ∵∠FCD=30°， ∴cos30CD y CF x y ︒=
=+，
即)y x y =+，
整理得：33122y x ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
解得：
233
3
x y -=
， 则233
3
PF AB -=
，故③正确； 如图，过P 作PM ⊥CD ，PN ⊥BC ，
设正方形ABCD 的边长是4， ∵△BPC 为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4， ∴∠PCD=30°，
∴3
60423PN PB sin =︒== 1
30422
PM PC sin =︒=⨯
=， S △BPD =S 四边形PBCD -S △BCD =S △PBC +S △PDC -S △BCD
111
222BC PN CD PM BC CD =
+- 111
4234244222
=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯ 4348=-
434=，
∴
ABCD
31
4
PBD
S
S =
四边形，故④正确； 故正确的有4个， 故选：A ． 【点睛】
本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定等知识，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义表
示出出FE 及PC 的长是解题关键． 4、C
【分析】四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形，根据矩形的性质AB=OP=半径，所以AB 长度不变． 【详解】解：∵四边形PAOB 是扇形OMN 的内接矩形， ∴AB=OP=半径，
当P 点在弧MN 上移动时，半径一定，所以AB 长度不变， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了圆的认识，矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对角线相等；圆的半径相等． 5、D
【解析】∵在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ，DE=
1
2
BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，
AD AE
AB AC
=， ∴21(
)4
ADE ABC
S DE S
BC ==. 由此可知：A 、B 、C 三个选项中的结论正确，D 选项中结论错误. 故选D. 6、A
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算． 【详解】∵△ABC ∽△DEF ， ∴△ABC 与△DEF 的面积之比等于（AB DE
）2＝（23）2＝4
9．
故选：A ． 【点睛】
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
【分析】根据求出m 的值，再把求得的m 的值代回原方程，然后解一元二次方程即可求出方程的两个根.
【详解】解：∵△=b 2﹣4ac =0，
∴4﹣4m =0，
解得：m =1，
∴原方程可化为：x 2+2x +1=0，
∴（x +1）2=0，
∴x 1=x 2=﹣1．
故选C ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
8、C
【解析】先确定抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移3个单位、再向下平移2个单位所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出新抛物线解析式即可．
【详解】抛物线y =x 2的顶点坐标为(0,0),把点(0,0) 向左平移3个单位、再向下平移2个单位所得对应点的坐标为
,所以平移后的抛物线解析式为y =(x ＋3)2－2.
故选:C.
【点睛】
考查二次函数的平移，掌握二次函数平移的规律是解题的关键.
9、A
【分析】根据:3:4a b =，且6a =，得到8b =，即可求解．
【详解】解：∵:3:4a b =，
∴43a b =，
∵6a =，
∴8b =，
∴22684a b -=⨯-=，
故选：A ．
【点睛】
本题考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．
【解析】因为旋转后得到△AMN与△ABC相似,则∠AMN=∠C=40°,因为旋转前∠AMN=80°,所以旋转角度为40°,故选
B.
11、A
【分析】可以将上字看做有四个端点每次每个端点增加一个，还有两个点在里面不发生变化．找到其规律即可解答. 【详解】第1个“上”字中的棋子个数是6；第2个“上”字中的棋子个数是10；第3个“上”字中的棋子个数是14；进一步发现规律：第n个“上”字中的棋子个数是（4n+2）．
所以第30个“上”字需要4×30+2=122枚棋子．
故选：A．
【点睛】
此题考查规律型：图形的变化，解题关键是通过归纳与总结，得到其中的规律.
12、B
【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，得∠BOC＝2∠A，进而可得答案．
【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，
∴∠A＝1
2
∠BOC＝50°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】先根据点A，C的坐标，建立方程求出x1+x2=-2，代入二次函数解析式即可得出结论．
【详解】∵A（x1，4）、C（x2，4）在二次函数y=2（x+1）2+3的图象上，
∴2（x+1）2+3=4，
∴2x2+4x+1=0，
根据根与系数的关系得，x1+x2=-2，
∵B（x1+x2，n）在二次函数y=2（x+1）2+3的图象上，
∴n=2（-2+1）2+3=1，
故答案为：1．
此题主要考查了二次函数图象上点的特点，根与系数的关系，求出x 1+x 2=-2是解本题的关键．
14、2
【分析】根据正五边形的概念可证得
~AFG EAF ，利用对应边成比例列方程即可求得答案. 【详解】如图，
由边框总长为40cm 的五角星，知：4044
AF AG GE cm ===
=， ABCDE 为圆内接正五边形，
∴AB BC CD DE EA ====， ()521801085
BAE -⨯︒∠==︒， ∴121108363BAC ABE DAE ∠=∠=∠=∠=∠=
⨯︒=︒， ∴363672AFG BAC ABE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，
同理：72AGF FAE ∠=∠=︒，
∴AFG AGF FAE ∠=∠=∠，
∴AE FE =，
设AE x =，则4FG EF GE x =-=-，
∵2136∠=∠=︒，72AFG AGF FAE ∠=∠=∠=︒，
∴~AFG EAF ，
AF FG AE AF
=， 即：444
x x -=， 化简得：24150x x --=，
配方得：()2
220x -=，
解得：x =2(负值已舍) ，
故答案为：2
【点睛】
本题考查了圆内接正五边形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程的解法，判定
~AFG EAF 是正确解答本题的关键.
15、C 78
【分析】根据转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了23圈，即可确定出座舱到达了哪个位置；再利用垂径定理和特殊角的锐角三角函数求点离地面的高度即可.
【详解】∵转一圈需要18分钟，到第12分钟时转了
23
圈 ∴乘坐的座舱到达图2中的点C 处
如图，连接BC,OC,OB,作OQ ⊥BC 于点E
由图2可知圆的半径为44m ，120BOC ∠=︒
即44OB OC OQ ===
∵OQ ⊥BC
∴111206022
EOC BOC ∠=∠=⨯︒=︒ ∴1cos6044222OE OC =︒=⨯
= ∴442222QE OQ OE =-=-=
-= m
∴点C距地面的高度为1002278
故答案为C,78
【点睛】
本题主要考查解直角三角形，掌握垂径定理及特殊角的锐角三角函数是解题的关键.
16、2+2
【详解】过点E作EM⊥BD于点M,如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=45°，∠BCD=90°，
∴△DEM为等腰直角三角形．
∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，
∴EM=EC=1cm，
∴DE2EM2cm.
由旋转的性质可知：CF=CE=1cm，
∴BF=BC+CF=CE+DE+CF22.
故答案为2.
17、y=－0.04（x－10）2+4
【分析】根据题意设所求抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k，由已知条件易知h和k的值，再把点C的坐标代入求出a的值即可；
【详解】解：设所求抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k，
并假设拱桥顶为C，如图所示：
∵由AB=20，AB 到拱桥顶C 的距离为4m ，
则C （10，4），A （0，0），B （20，0）
把A ，B ，C 的坐标分别代入得a=-0.04，h=10，k=4
抛物线的解析式为y=-0.04（x-10）2+4.
故答案为y=－0.04（x －10）2+4.
【点睛】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握并利用待定系数法求抛物线的解析式是解决问题的关键．
18、0.1
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.1左右，从而得到结论．
【详解】由表格可得，当实验次数越来越多时，发芽种子频率稳定在0. 1，符合用频率佔计概率，
∴种子发芽概率为0. 1．
故答案为：0.1．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题（共78分）
19、（1）当4x =时，OP AP ⊥；（2）4y x x =-（25x <<）；（3）存在，5894
x +=. 【分析】（1）由题意可知，当OP ⊥AP 时，OPC ∆∽PAB ∆，∴
CP OC AB PB =，即225x x =-，于是解得x 值；（2）根据已知条件利用两角对应相等两个三角形相似，证明三角形OCM 和三角形PCO 相似,得出对应边成比例即可得出结论；（3）假设存在x 符合题意. 过E 作ED OA ⊥于点D ，交MP 于点F ，由OCM ∆与ABP ∆面积之和等于EMP
∆的面积，∴12552
EOA OABC S S ED ∆==⨯=
⨯矩.然后求出ED ，EF 的长，再根据三角形相似：EMP ∆∽EOA ∆，求出MP 的长，进而由上题的关系式4y x x =-求出符合条件的x. 【详解】解：（1）证明三角形OPC 和三角形PAB 相似是解决问题的关键，由题意知，
5,2,90OA BC AB OC B OCM ︒====∠=∠=，BC ∥OA,
∵OP AP ⊥，
∴90OPC APB APB PAB ︒∠+∠=∠+∠=.
∴OPC PAB ∠=∠.
∴OPC ∆∽PAB ∆, ∴CP OC AB PB =，即225x x
=-，解得124,1x x ==（不合题意,舍去）. ∴当4x =时，OP AP ⊥；
(2)由题意可知，BC ∥OA ，
∴CPO AOP ∠=∠.
∵AOP COM ∠=∠（已知），
∴COM CPO ∠=∠.
∵OCM PCO ∠=∠，
∴OCM ∆∽PCO ∆， ∴对应边成比例：
CM CO CO CP =，即22x y x -=. ∴4y x x
=-，因为点P 是CB 边上一动点（不与点C 、点B 重合），且满足OCM ∆∽PCO ∆， 所以x 的取值范围是25x <<.
（3）假设存在x 符合题意. 如图3所示，过E 作ED OA ⊥于点D ，交MP 于点F ， 则2DF AB ==.
∵OCM ∆与ABP ∆面积之和等于EMP ∆的面积， ∴12552
EOA OABC S S ED ∆==⨯=
⨯矩. ∴4,2ED EF ==.
∵PM ∥OA ，
∴EMP ∆∽EOA ∆. ∴
EF MP ED OA =. 即245y =，解得52
y =. 由（2）得4y x x =-，所以452x x -=.
解得12x x ==.
∴在点P 的运动过程中存在x,，使OCM ∆与ABP ∆面积之和等于EMP ∆的面积，此时x =
.
【点睛】
1.相似三角形的判定与性质；
2.矩形性质.
20、（1）顶点D （m ，1-m ）；（1）向左平移了1个单位，向上平移了1个单位；（3）m=－1或m=－1．
【解析】试题分析：()1把抛物线的方程配成顶点式，即可求得顶点坐标.
()2把点()1,2-代入求出抛物线方程，根据平移规律，即可求解.
()3分两种情况进行讨论.
试题解析：（1）∵()2
22211y x mx m m x m m =-+--+=---+，
∴顶点D （m ，1-m ）．
（1）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-1），
∴22121m m m -=-+--+．
即220m m --=，
∴2m =或1m =-（舍去），
∴抛物线的顶点是（1，-1）．
∵抛物线22y x x =-+的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了1个单位．
（3）∵顶点D 在第二象限，∴0m <．
情况1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）．作AG DH ⊥于点G ，
∵A （0，21m m --+），D （m ，-m+1），
∴H （,0m ），G （2,1m m m --+），
tan ?tan ADH AHO ADH AHO ∠=∠∴∠=∠，，
∴AG AO DG HO =．∴()22111m m m m m m m ---+=-----+． 整理得：20m m +=．∴1m =-或0m =（舍）．
情况1，点A 在y 轴的负半轴上，如图（1）．作AG DH ⊥于点G ，
∵A （0，21m m --+），D （m ，-m+1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+），
tan ?tan ADH AHO ADH AHO ∠=∠∴∠=∠，，
∴AG AO DG HO =．∴()
22111m m m m m m m -+-=-----+． 整理得：220m m +-=．∴2m =-或1m =（舍），
1m ∴=－或2m =－．
21、（1）2x -；（2）1
a a - 【分析】（1）由整式乘法进行化简，然后合并同类项，即可得到答案；
（2）先通分，然后计算分式乘法，再合并同类项，即可得到答案．
【详解】解：（1）24()(2)y y x x y ---
=2224444y xy x xy y --+-
=2x -；
（2）11()122
a a a a -÷++-- =2121122
a a a a a --+÷+--
=21212(1)
a a a a --⨯+-- =
111
a +- =1a a -； 【点睛】
本题考查了分式的化简求值，分式的混合运算，整式的化简求值，整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
22、（1）158
；（2）11710；（3）是，152 【分析】（1）若ACD AOB ，则AC CD AO OB = ,代入数值即可求得CD,从而求得P 的半径. （2）当P 与AB 相切时，则CD ⊥AB ，利用△ACD ∽△ABO ，得出比例式求得CD ，AD 的长，过P 点作PE ⊥AO 于E 点，再利用△CPE ∽△CAD ，得出比例式求得P 点的坐标，即可求得△POB 的面积.
（3）①若P 与AB 有一个交点，则P 与AB 相切，由（2）可得PD ⊥AB ，PD=1322CD = ,则△15=2
PAB S ②若P 与AB 有两个交点，设另一个交点为F ，连接CF,则∠CFD=90°，由（2）可得CF=3，过P 点作PG ⊥AB 于G 点，则DG=12DF ，PG 为△DCF 的中位线，PG=1322CF = , 则△15=2
PAB S ,综上所述，△PAB 的面积是定值，为152 . 【详解】（1）根据题意得：OA=8，OB=6，OC=3
∴AC=5
∵ACD AOB ∴AC CD AO OB
= 即5=86
CD ∴CD=
154 ∴P 的半径为158
（2）在直角三角形AOB中，OA=8，OB=6，∴2210
OA OB
+=，
当P与AB相切时，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO
∴△ACD∽△ABO
∴AC AD CD
AB AO OB
==，即
5
=
1068
CD AD
=
∴CD=3，AD=4
∵CD为圆P的直径
∴CP=13 22 CD=
过P点作PE⊥AO于E点，
则∠PEC=∠ADC=90°，∠PCE=∠ACD ∴△CPE∽△CAD
∴CP CE AC CD
=
即3
2= 53
CE
∴CE=
9 10
∴OE=39 10
故P点的纵坐标为39 10
∴△POB的面积=139117 6= 21010⨯⨯
（3）①若P与AB有一个交点，则P与AB相切，
由（2）可得PD⊥AB，PD=13
22
CD=,则
△
1315
=10=
222
PAB
S⨯⨯
②若P与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF,则∠CFD=90°，由（2）可得CF=3，
过P点作PG⊥AB于G点，则DG=1
2
DF，PG为△DCF的中位线，PG=
13
22
CF=,
则
△
1315 =10= 222
PAB
S⨯⨯.
综上所述，△PAB的面积是定值，为15 2
.
【点睛】
本题考查的是圆及相似三角形的综合应用，熟练的掌握直线与圆的位置关系，相似三角形的判定是关键.
23、证明见解析
【解析】由SAS证明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．
【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，
在△ADF和△CBE中，
AD BC
D B DF B
E ⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24、（1）y＝80+4x；（2）每件简易滑雪板销售价是125元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是2500元．
【分析】（1）根据售价每降价1元，平均每星期的期就多售出4件进而得出答案；
（2）利用总利润＝（实际售价﹣进价）×销售量，即可得函数解析式，再配方即可得最值情况．
【详解】解：（1）依题意有：y＝80+4x；
（2）设利润为w，
则w＝（80+4x）（30﹣x）
＝﹣4（x﹣5）2+2500；
∵a＝﹣4＜0，
∴当x＝5时w取最大值，最大值是2500，即降价5元时利润最大，
∴每件简易滑雪板销售价是125元时，商店每天销售这种小商品的利润最大，最大利润是2500元．
【点睛】
本题考查了列代数式和二次函数的应用，掌握二次函数求最值的方法是解答本题的关键.
25、（1）如图1所示：△A1B1C1，即为所求；见解析；（1）如图1所示：△BDE
：
1．
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案; （1）直接利用相似图形的性质得出符合题意的答案．
【详解】（1）如图1所示:△A 1B 1C 1,即为所求;
（1）如图1所示:△BDE ,即为所求,
相似比为2 :1．
【点睛】
本题主要考查了相似变换以及旋转变换,正确得出对应点位置是解题关键．
26、 (1)2y 34x x =--+；(2)点M 的坐标为M(32-
，5)；(3)存在，34，344+或(34，34)或(-3，1)或(177-66
，). 【分析】（1）将A(- 4，0)、C(0，4)代入y=﹣x 2+bx+c 中即可得；
（2）直线AC 的解析式为：4AC y x =+，表达出DQ 的长度，及△ADC 的面积，根据二次函数的性质得出△ADC 面积的最大值，从而得出D 点坐标，作点D 关于对称轴对称的点，确定点M ，使DM+AM 的值最小；
（3）△BQC 为等腰三角形，则表达出三边，并对三边进行分类讨论，计算得出Q 点的坐标即可.
【详解】解：(1)将A(- 4，0)、C(0，4)代入y=﹣x 2+bx+c 中得
16404
b c c --+=⎧⎨=⎩ ，解得3,4b c =-= ， ∴2
y 34x x =--+，
(2)直线AC 的解析式为：4AC y x =+
设Q(m ，m+4) ，则 D(m ，234m m --+)
DQ=(234m m --+)- (m+4)= 24m m -- 2214-m 42(2)82
ADC S m m ∆=⨯-=-++（） 当m=-2时，面积有最大值
此时点D 的坐标为D(-2，6)，D 点关于对称轴32
x =-
对称的点D 1(-1，6) 直线AD 1的解析式为：128AD y x =+
当32x =-时，32()852
M y =⨯-+= 所以，点M 的坐标为M(32-，5) (3)∵4AC y x =+，
∴设Q(t,t+4)，
由2340x x --+=得14x =-，21x =，
∴B(1,0)，
∴BC =
QC ==
BQ ==△BQC 为等腰三角形
①当BC=QC =1t =，2t =
∴4+或(，)；
②当BQ=QC =176t =-
， ∴Q(17766
-，)；
③当BQ=BC =t=-3,
∴Q(-3，1)；
综上所述，若△BQC 为等腰三角形，则
4+或(，或(-3，1)或(177-66，). 【点睛】
本题考查二次函数与最短路径，面积最大值，动点存在性等几何的综合应用，难度较大，解题的关键是能够灵活运用二次函数的性质及几何知识．。