北京各区县二模试题分类几何综合解析版

2012年北京市中考数学二模分类汇编——几何综合
与中点有关的问题
1.(昌平24) 如图，D 是△ABC 中AB 边的中点，△BCE 和△ACF 都是等边三角形，M 、N 分
别是CE 、CF 的中点.
（1）求证：△DMN 是等边三角形；
（2）连接EF ，Q 是EF 中点，CP ⊥EF 于点P . 求证：DP ＝DQ .
同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面
两位同学的解题思路作为参考：
小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造 三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要
证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？她考虑将△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.
24. 证明：（1）取AC 的中点G ，连接NG 、DG .
∴DG ＝
2
1
BC ，DG ∥BC ；△NGC 是等边三角形. ∴NG =NC ，DG =CM .…………………2分 ∵∠1+ ∠2=180º， ∴∠NGD + ∠2= 240º. ∵∠2+ ∠3= 240º， ∴∠NGD =∠3.
∴△NGD ≌△NCM .……………………3分 ∴ND =NM ，∠GND =∠CNM . ∴∠DNM =∠GNC = 60º.
∴△DMN 是等边三角形.………………………………4分 （2）连接QN 、PM .
∴QN =
2
1
CE= PM . ……………………5分 Rt △CPE 中，PM =EM ，∴∠4=∠5. ∵MN ∥EF ，∴∠5=∠6，∠7=∠8. ∵NQ ∥CE ，∴∠7=∠4. ∴∠6=∠8.
∴∠QND =∠PMD .………………………6分 ∴△QND ≌△PMD .
∴DQ =DP .……………………7分
2.（丰台24）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，在三角形内部取一点P ，使得∠ABP =∠ACP ．过
点P 作PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥AB 于点F ．
（1）如图1，当AB =AC 时，判断的DE 与DF 的数量关系，直接写出你的结论； （2）如图2，当AB ≠AC ，其它条件不变时，（1）中的结论是否发生改变？请说明理由．
图1 图2
24．解：（1）DE =DF ．……1分 （2）DE =DF 不发生改变．……2分
理由如下：分别取BP 、CP 的中点M 、N ，联结EM 、DM 、FN 、DN ．
∵D 为BC 的中点，∴BP DN BP DN //,21
=．……3分
∵,AB PE ⊥∴BP BM EM 2
1
==．
∴21,∠=∠=EM DN ．∴12213∠=∠+∠=∠．…4分
同理,524,//DM FN MD PC =∠=∠．∴四边形MDNP 为平行四边形．……5分
∴67∠=∠∵,41∠=∠∴35∠=∠． ∴EMD DNF ∠=∠．……6分
∴△EMD ≌△DNF ．∴DE =DF ．……7分
3.(海淀25.)在矩形ABCD 中, 点F 在AD 延长线上，且DF = DC , M 为AB 边上一点, N 为MD 的中点, 点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）.
（1）如图1, 若AB =BC , 点M 、A 重合, E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系
及
BM
CE
的值, 并证明你的结论。

（2）如图2，且若AB =BC , 点M 、A 不重合, BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立, 若成立,加以证明。

若不成立, 请说明理由。

（3）如图3，若点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的结论两个是否成立, 请直接写出你的结论. 图1 图2 图3
A
E
F
P
B D C
E B
A
D F P 7
6
54
321
N
M
C
D B
P
F
E
A
F A ( M ) D N D A
A C E D N
M
B F
E
C B F N M E C B
25. 解：（1）BN与NE的位置关系是BN⊥NE；CE
BM
证明：如图，过点E作EG⊥AF于G, 则∠EGN=90°．∵矩形ABCD中,AB=BC，
∴矩形ABCD为正方形.
∴AB=AD =CD,∠A=∠ADC=∠DCB=90°．
∴EG//CD, ∠EGN =∠A, ∠CDF=90°．……………1分
∵E为CF的中点，EG//CD,
∴GF=DG =11
. 22
DF CD
=
∴
1
.
2 GE CD
=
∵N为MD(AD)的中点，
∴AN=ND=11
. 22 AD CD
=
∴GE=AN, NG=ND+DG=ND+AN=AD=AB.………2分∴△NGE≌△BAN．
∴∠1=∠2.
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°．
∴∠BNE=90°.
∴BN⊥NE．……………………………3分
∵∠CDF=90°, CD=DF,
可得∠F=∠FCD=45°
，CF
CD
=.
于是
1
2
CF
CE CE CE
BM BA CD CD
====…………4分
（2）在（1）中得到的两个结论均成立.
证明：如图，延长BN交CD的延长线于点G，连结BE、GE，过E作EH⊥CE，交CD于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CG．
∴∠MBN=∠DGN，∠BMN=∠GDN. ∵N为MD的中点，
∴MN=DN．
∴△BMN≌△GDN．
∴MB=DG，BN=GN.
∵BN=NE，
∴BN=NE=GN.
∴∠BEG=90°．……………5分
∵EH⊥CE，
∴∠CEH=90°．
∴∠BEG=∠CEH．
H
G
A
B C
D
E
M
N
F
3
2
1
G F
E
A(M)
C
D
N
B
∴∠BEC =∠GEH ． 由（1）得∠DCF =45°． ∴∠CHE =∠HCE =45°． ∴EC=EH ,∠EHG =135°．
∵∠ECB =∠DCB +∠HCE =135°， ∴∠ECB =∠EHG ． ∴△ECB ≌△EHG ． ∴EB =EG ，CB =HG ． ∵BN =NG ，
∴BN ⊥NE. ……………………6分
∵BM =DG= HG -HD= BC -HD=CD -CE ，
∴
CE BM
. ……………………7分
（3）BN ⊥NE ；
CE
BM
. ……………………8分
密云25．已知菱形ABCD 的边长为1，60ADC ∠=，等边△AEF 两边分别交
DC 、CB 于点E 、F ．
（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，求证：菱形ABCD 对角
线AC 、BD 的交点O 即为等边△AEF 的外心；
（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动，记等边△AEF 的外心为P ． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当E 、F 分别是边DC 、CB 的中点时，过点P 任作一直线，分别交DA 边于点M ，BC 边于点G ，DC 边的延长线于点N ，请你直接写出11
DM DN
+
的值．
25．（本小题满分8分）
证明：（1）如图1：分别连结OE 、OF ．
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD DC CB ==，AC BD ⊥，DO BO =，
且1
12302
ADC ∠=∠=∠=．
∴在Rt △AOD 中，有1
2
AO AD =
． 又 E 、F 分别是边DC 、CB 的中点，∴11
22
EO CB DC OF =
==． ∴AO EO FO ==．
∴点O 即为等边△AEF 的外心． ------------------------- 3分
（2）①猜想：△AEF 的外心P 落在对角线DB 所在的直线上． 证明：如图2：分别连结PE 、P A ，作PQ DC ⊥于Q ，PH AD ⊥于H ． 则90PQE PHD ∠=∠
=
∵60ADC ∠=，∴在四边形QDHP 中，120QPH ∠=． 又 ∵点P 是等边△AEF 的外心，60EFA ∠=，
∴PE PA =，2260120EPA EFA ∠=∠=⨯=． ∴αβ∠=∠． ∴△PQE ≌△PHA （AAS ）．∴PQ=PH ． ∴点P 在ADC ∠的角平分线上．
∵菱形ABCD 的对角线DB 平分A DC ∠， ∴点P 落在对角线DB 所在直线上--- 6分②
11
2DM DN
+=． ---------------------- 8分 旋转变换在几何证明应用
延庆24. （1）如图1：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=60°时，猜想AB 与BD+CD
数量关系，请直接写出结果；
（2）如图2：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=45°时，猜想AB 与BD+CD
数量关系并证明你的结论； （3）如图3：在△ABC 中，AB=AC ，当∠ABD =∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，
直接写出AB 与BD+CD 数量关系(用含β的式子表示)。

B
24.（1）AB=BD+CD…………………………………………1分
（2）猜想：
……………………2分
证明：如图，过A点作A E⊥AC交CD延长线于E点，
作A F⊥AB交BD延长线于F点，连接
容易证出：△ABC≌△AEF………………
∴∠ABC=∠AEF,BC=EF
容易证出：△DBC≌△DEF (5)
∴CD=DF
在等腰Rt△ABF
(3)
2
CD
BD
COS
AB
+
=
∙β（或变形）……………………7分
通州23．（1）已知：如图1，ABC
∆是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA PB PC
=+
（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，
求证：PA PC
=
（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请你写出P A，PB，PC三者之间的数量关系表达式．（不需要证明）
23.在AP上截取PM=BP,连结BM)
∵ABC
∆是⊙O的内接正三角形，
∴︒
=
∠
=
∠60
ACB
ABC,AB=BC
∴︒
=
∠
=
∠60
ACB
APB
∵PM=BP,
∴BPM
∆是正三角形
∴︒
=
∠60
MBP
∵CBP
ABM∠
=
∠
ABM
∆≌CBP
∆
∴AM=PC
∴AP=PB+PC……………………………………
(2)
∵过点B做PB
BN⊥,交P A于点N
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
B
2AB=BD+CD
图2 图3
图1
A
∴AB=BC,︒=∠=∠90BCD ABC ,︒=∠90AOB ∴︒=∠45APB ,PB=BN 根据勾股定理得：PB PN 2=…………………………………….(5分)
∵︒=
∠=∠90NBP ABC ∴CBP ABN ∠=∠ ∴ABN ∆≌CBP ∆ ∴PC AN =
∴PA PC =……….(6分) (3)结论：
PC PB PA +=3………….(7分)
平谷24．如图1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG =CE ，AG ⊥CE ． （1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图2的位置时，AG =CE 是否成立？若成立，请给出证
明，若不成立，请说明理由；
（2）当正方形GFED 绕D 旋转到B ，D ，G 在一条直线 （如图3）上时，连结CE ，设
CE
分别交AG 、AD 于P 、H ．
① 求证：AG ⊥CE ；
② 如果AD =4，DG ，求CE 的长．
24．证明：（1）AG CE =成立．
∵四边形ABCD 、四边形DEFG 是正方形， ∴,,GD DE AD DC ==…………………………1分
∠GDE =∠90ADC =︒.
∴∠GDA =90°－∠ADE =∠EDC .
∴△AGD ≌△CED .………....................………2分 ∴AG CE =.………………………………………3分 （2）①由（1）可知△AGD ≌△CED ， ∴∠1＝∠2 .
∵∠3＝∠4，∠4＋∠2＝90°， ∴∠3＋∠
1＝90° ∴∠APH ＝90︒.
A B C D E
F G 图2 A B C D E F G 图
1 A
图3
.AG CH ⊥……………………………………5分 ② 过G 作GM AD ⊥于M .
∵BD 是正方形ABCD 的对角线， ∴45ADB GDM ∠=
∠=︒. ∴∠DGM ＝45°.
∵DG ，
∴1MD MG =
=. .................6分 在
Rt △AMG 中
，由勾股定理，得
AG
===
∴CE =AG 7分
3.（东城24） 已知：等边ABC ∆中，点O 是边AC,BC 的垂直平分线的交点，M,N 分别在直线AC , BC 上，且60MON ∠=．
(1) 如图1，当CM=CN 时， M 、N 分别在边AC 、BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；
（2） 如图2，当CM ≠CN 时，M 、N 分别在边AC 、BC 上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；
(3) 如图3，当点M
在边AC 上，点N 在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系．
24. 解： (1) AM CN MN =+……2分 （2）AM CN MN =+……3分
证明：过点O 作,,OD AC OE BC ⊥⊥易得,120,OD OE DOE =∠= 在边AC 上截得DN’=NE ,连结ON ’, ∵ DN ’=NE , OD =OE ,
∠ODN ’=∠OEN
'.DON EON ∴∆≅∆……4分
∴ON’=OE. ∠DON ’=∠NOE .
120,DOE ∠=60,MON ∠=
∴∠MOD +∠NOE=600. ∴∠MOD +∠DON ’=600. 易证'MON MON ∆≅∆.……5分 ∴MN’=MN.
'.,,
()(),.
MN MD DN MD NE MD AM AD AM CE NE CE CN MN AM CE CE CN AM CN AM CN MN ∴=+=+=-=-=-∴=-+-=-∴=+
(3) .MN CN AM =+……7分
纯添辅助线（特殊情况可用旋转变换）
1．（石景山）在△ABC 中，AC AB =,D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点,且∠BAC CED BED ∠=∠=2．
(1) 如图1,若∠︒=90BAC ,猜想DB 与DC 的数量关系为；
(2) 如图2,若∠︒=60BAC ，猜想DB 与DC 的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠︒=αBAC ，请直接写出DB 与DC 的数量关系.
解： 24.解：（1）DC DB 2=
(2)DC DB 2=
证明：过点C 作CF ∥BE 交AD 的延长线于点F , 在 AD 上取点G 使得CF CG = ∴76∠=∠=∠F
∵︒=∠=∠=∠602BAC CED BED ∴︒=∠=∠606F ,︒=∠30CED ∴41205∠=︒=∠
A B C D E
A
E B C D
图1 图2 7
6
543
21A
E
G
∵︒=∠+∠=∠=∠+∠6021713 ∴23∠=∠ ∵AC AB = ∴△ABE ≌△CAG ∴AG BE AE CG ==, ∵︒=∠-∠=∠306CED GCE ∴EG CG =
∴BE AG CG CF 2
1
21=== 由△DBE ∽△DCF 得2==FC
BE
DC BD
∴DC DB 2=
(3)结论：DC DB 2=.
2.（顺义24）已知：如图，D 为线段AB 上一点（不与点A 、B 重合），CD ⊥AB ，且CD=AB ，
AE ⊥AB ，BF ⊥AB ，且AE=BD ，BF=AD ．
（1）如图1，当点D 恰是AB 的中点时，请你猜想并证明∠ACE 与∠BCF 的数量关系； （2）如图2，当点D 不是AB 的中点时，你在（1）中所得的结论是否发生变化，写出
你的猜想并证明；
（3）若∠ACB=α，直接写出∠ECF 的度数（用含α的式子表示）．
图1 图2 24．解：（1）猜想：∠ACE=∠BCF ．
证明：∵D 是AB 中点，
∴AD=BD ，
又∵AE=BD ，BF=AD ， ∴AE=BF ． ∵CD ⊥AB ，AD=BD ， ∴CA=CB ． ∴∠1 =∠2．
∵AE ⊥AB ，BF ⊥AB ， ∴∠3 =∠4=90°．
F
图(2)
F
E
D
C
B
A
F
E D
C
B A 43
21D
C
B
A
B
D
C
F
E
A
∴∠1+∠3 =∠2+∠4． 即∠CAE=∠CBF ． ∴△CAE ≌△CBF ．
∴∠ACE=∠BCF ．……………… 2分
（2）∠ACE=∠BCF 仍然成立．
证明：连结BE 、AF ．
∵CD ⊥AB ，AE ⊥AB ， ∴∠CDB=∠BAE=90°． 又∵BD =AE ，CD=AB ，
△CDB ≌△BAE ．……………… 3分
∴CB=BE ，∠BCD=∠EBA ．
在Rt △CDB 中，∵∠CDB =90°，
∴∠BCD+∠CBD =90°． ∴∠EBA+∠CBD =90°． 即∠CBE =90°．
∴△BCE 是等腰直角三角形．
∴∠BCE=45°．…………………… 4分 同理可证：△ACF 是等腰直角三角形． ∴∠ACF=45°．………………… 5分 ∴∠ACF=∠BCE ．
∴∠ACF -∠ECF =∠BCE -∠ECF ． 即∠ACE=∠BCF ．……………… 6分
（3）∠ECF 的度数为90°-α．……………………… 7分
平移变换
1.（大兴23）在△ABC 中，AB =AC ，点P 为△ABC 所在平面内一点，过点P 分别作PE ∥AC 交AB 于点E ，PF ∥AB 交BC 于点D ，交AC 于点F ．
(1)如图1，若点P 在BC 边上，此时PD =0，易证PD ，PE ，PF 与AB 满足的数量关系是PD +PE +PF =AB ；当点P 在△ABC 内时，先在图2中作出相应的图形，并写出PD ，PE ，PF 与AB 满足的数量关系，然后证明你的结论；
(2)如图3，当点P 在△ABC 外时，先在图3中作出相应的图形，然后写出PD ，PE ，PF 与AB 满足的数量关系．（不用说明理由）
23．解：（1）结论：PD PE PF AB ++=……………………2分 证明：过点P 作MN ∥BC
PF AB ∥
∴四边形BMPD 是平行四边形
BM PD ∴=……………………………………………3分 PE AC PF AB ∥，∥
∴四边形AEPF 是平行四边形
PF AE ∴=……………………………………………4分
AB AC =B C ∴=∠∠
又PE AC PF AB ∥，∥，MN ∥BC ∴=∠∠C ∠ANM =EPM B ∴=∠∠AMN AMN EPM ∴∠=∠ PE ME ∴=
AE ME MB AB ++=
PD PE PF AB ∴++=…………………………………………5分 （2）结论：PE PF PD AB +-=……………………………7分
相似
1.（昌平25）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，过点B 作BD ⊥AC 于D ，BE 平分∠DBC ，
交AC 于E ，过点A 作AF ⊥BE 于G ，交BC 于F ，交BD 于H ． （1）若∠BAC =45°，求证：①AF 平分∠BAC ；②FC =2HD ．
（2）若∠BAC =30°，请直接写出FC 与HD 的等量关系．
25．解：（1）①∵BD ⊥AC ，AF ⊥BE ， ∴∠ADH =∠HGB =90°． ∵∠BHG=∠AHD ， ∴∠HBG =∠HAD ． ∵∠ABC =∠FGB =90°， ∴∠BAF+∠AFB=90°， ∠GBF+∠AFB=90°． ∴∠GBF=∠BAF ．
∵BE 平分∠DBC ， ∴∠GBF=∠HBG ． ∴∠HAD=∠BAF ．
即AF 平分∠BAC ． …………………2分 ②∵在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠BAC=45°，
G A
B D
E H
C H G E
D C F B A K
G
A
B
D E F
H
C
∴∠C=∠BAC =45°， ∴AB=BC ． ∵BD ⊥AC ， ∴AD=DC=
2
1
AC ． 过点D 作KD ∥FC 交AF 于K ， ∴
2
1
==AC AD FC KD ． ∴FC=2KD ． ……………………………4分 ∵BE 平分∠DBC ，BE ⊥AF ，
∴∠DBE =∠EBF ，∠HGB =∠FGB =90°．
∴∠BFH =∠BHF ．∴∠BHF =∠DHK ．∴∠BFH =∠DHK ． ∵KD ∥BC ，∴∠DKH =∠BFH ．∴∠DKH =∠DHK ．∴KD =HD ． ∴FC =2HD ． …………………………6分
（2）FC=3
4
HD ． ……………………………8分 2.（房山24）探究问题：
已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD 、BE 交于点O . ⑴△ABC 为等边三角形，如图1，则AO ︰OD =；
⑵当小明做完⑴问后继续探究发现，若△ABC 为一般三角形（如图2），⑴中的结论仍成立，请你给予证明.
⑶运用上述探究的结果，解决下列问题： 如图3，在△ABC 中，点E 是边AC 的中点，AD 平分∠BAC , AD ⊥BE 于点F ，若AD =BE =4. 求：△ABC 的周长.
图1 图2 图3 24.解：⑴2：1 ---------------------------------------1分 ⑵证明：联结DE
∵D 、E 为AC 、BC 中点
∴DE ∥AB ，DE=
2
1AB ∴△DOE ∽△AOB ∴
1
2
==DE AB OD AO ------------------------------------------3分 O D
E A B
C C
O E
D B C A
⑶解：过点C 作CG ∥BE ，交AB 延长线于点G ，
并延长AD 交CG 于点H 。

∵E 是边AC 的中点 ∴B 是边AG 的中点
∴BE ∥CG
∵AD 平分∠BAC , AD ⊥BE 于点F
∴易证△ABE 为等腰三角形 ∵BE ∥CG ∴△AGC 是等腰三角形且AG =AC ∵AF ⊥BE ∴AH ⊥CG
∴H 为CG 中点
由上述结果可知：AD :DH =2:1，CD :DB =2:1--------------------------------------------5分 ∴DH =2
∵CG =2BE =8
∴CH =GH =4
∴AH =6 ∵BE 为中位线
∴AF =FH =3 ∵BE ∥CG
∴DF =1
在Rt △DHC 中，得CD =52
同理可得BD =5 ∴BC =53
解Rt
△AHC 可得AC =132 ∴AB =13-----------------------7分
∴△ABC 周长为53133 ---------------8分
代数中方程、函数与几何
1.（门头沟24） 有两张完全重合的矩形纸片，小亮将其中一张绕点A 顺时针旋转90°后得到矩形AMEF （如图1），连结BD 、MF ，此时他测得BD ＝8cm ，∠ADB ＝30°． （1）在图1中，请你判断直线FM 和BD 是否垂直？并证明你的结论；
（2）小红同学用剪刀将△BCD 与△MEF 剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD 绕点A 顺时针旋转得△AB 1D 1，AD 1交FM 于点K （如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；
（3）若将△AFM 沿AB 方向平移得到△A 2F 2M 2（如图3），F 2M 2与AD 交于点P ，A 2M 2与BD 交于点N ，当NP ∥AB 时，求平移的距离是多少.
C B
24.解：（1）垂直. …………………………1分
证明：延长FM 交BD 于N.
如图1，由题意得：△BAD ≌△MAF ．
∴∠ADB ＝∠AFM ．
又∵∠DMN ＝∠AMF ，
∴∠ADB ＋∠DMN ＝∠AFM ＋∠AMF ＝90°．
∴∠DNM ＝90°，∴BD ⊥MF ． ························································ 2分 （2）β的度数为60°或15°（答对一个得1分） ·········································· 4分 （3）如图2，由题意知四边形PNA 2A 为矩形，设A 2A ＝x ，则PN ＝x ．
在Rt △A 2M 2F 2中，∵M 2F 2＝MF ＝BD ＝8，∠A 2F 2M 2＝∠AFM ＝∠ADB ＝30°．
∴M 2A 2＝4，A 2F 2＝34. …………………………..5分 ∴AF 2＝34－x ．
在Rt △P AF 2中，∵∠PF 2A ＝30°． ∴AP ＝AF 2tan ·30°＝(34－x )·33＝4－3
3
x ． ∴PD ＝AD －AP ＝34－4＋
3
3
x ． ……………..6分 ∵NP ∥AB ，∴
AB PN ＝
DA
DP ．∴4x
＝3
433
434x ＋
－，
解得x ＝6－32．即平移的距离是(6－32)cm ………………..7分
2.（西城区24）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=6，BC =8．动点P 从点A 开始沿折线AC －CB －BA 运动，点P 在AC ，CB ，BA 边上运动的速度分别为每秒3，4，5 个单位．直线l 从与AC 重合的位置开始，以每秒
3
4
个单位的速度沿CB 方向平行移动，即移动过程中保持l ∥AC ，且分别与CB ，AB 边交于E ，F 两点，点P 与直线l 同时出发，设运动的时间为t 秒，当点P 第一次回到点A 时，点P 和直线l 同时停止运动
C D M
A
B F
E
图1 D M B
图3
N 2P 2M 2 D M
B
F
D 1
图2 B 1
K
D M B
F
图2
N F 2
P 2
M 2
(1)当t = 5秒时，点P 走过的路径长为；当t =秒时，点P 与点E 重合；
(2)当点P 在AC 边上运动时，将△PEF 绕点E 逆时针旋转，使得点P 的对应点M 落在EF
上，点F 的对应点记为点N ，当EN ⊥AB 时，求t 的值；
(3)当点P 在折线AC －CB －BA 上运动时，作点P 关于直线EF 的对称点，记为点Q ．在点P 与直线l 运动的过程中，若形成的四边形PEQF 为菱形，请直接写出t 的值．
24．解:(1) 当t =5秒时，点P 走过的路径长为 19 ；当t = 3 秒时，点P 与点E 重合．
﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分
(2) 如图9，由点P 的对应点M 落在EF 上，点F 的对应点为点N ，可知∠PEF =∠MEN ，都等于△PEF 绕点E 旋转的旋转角，记为α． 设AP =3t （0< t <2），则CP =63t -，4
3
CE t =．
∵EF ∥AC ，∠C =90°，∴∠BEF =90°，∠CPE =∠∵EN ⊥AB ，∴∠B=∠MEN=α． ∴CPE B ∠=∠．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分 ∵tan CE CPE CP ∠=
，3tan 4
AC B BC ==， ∴43CP CE =．∴446333t t -=⨯解得54
43t =．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分
(3) t 的值为65（秒）或30
7
（秒）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 7分
3.（朝阳23）正方形ABCD 的边长为4，点P 是BC 边上的动点，点E 在AB 边上，且∠EPB =60°，
沿PE 翻折△EBP 得到△P EB '. F 是CD 边上一点，沿PF 翻折△FCP 得到△P FC '，使点'C 落在射线'PB 上．
（1）如图，当BP =1时，四边形''FC EB 的面积为；
（2）若BP =m ，则四边形''FC EB 的面积为（要求：用含m 的代数式表示，并写出m 的取
值范围）．
A
备用图
23. 解：（1）32.……………………………2分
（2）''FC EB S 四边形3
3
83322+-
=m （20<<m ）………4分 ''FC EB S 四边形3383322-=
m （m <2≤3
3
4）……………6分 4.（怀柔24） 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点D 为AB 边上的一动点（D 不
与A 、B 重合）， 过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ．把△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A '处．连结BA '，
设AD ＝x ，△ADE 的边DE 上的高为y ．
（1）求出y 与x 的函数关系式；
（2）若以点A '、B 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求x 的值； （3）当x 取何值时，△A DB '是直角三角形．
24. 解：（1）过A 点作AM BC ⊥，垂足为M ，交DE 于N 点，则BM=1
2
BC=3， ∵DE ∥BC ，∴AN DE ⊥.
在Rt △ABM 中
,4AM ==，------------------------------1分 ∵DE BC ∥,
∴ADE △∽△ABC-,
∴
AM AN
AB AD =, ∴45y x =, ∴5
4x y =(05).x <<-------------------------------2分 （2）∵A DE '△由ADE △折叠得到，∴AD ＝A D ',AE ＝A E ',
∵由（1）可得ADE △是等腰三角形， ∴AD A D AE A E ''===,
∴四边形ADA E '是菱形，------------------------------3分 ∴AC ∥DA ', ∴BDA A '∠=∠. 又∵BDA ABC '∠≠∠，BDA C '∠≠∠ ∴只有当BD A D '=时，BDA '∆∽BAC ∆.
第24题图
A
B C
D
E
x
A '
A
B
C
第24题备用图
N
A '
x
∴当BD A D '=，即5-x x =时,
∴25=
x . ∴当2
5
=x 时，BDA '∆∽BAC ∆.--------------------------------4分 （3）第一种情况：当BDA '∠＝90°, ∵BDA A '∠=∠ ,而A ∠≠90°， ∴BDA '∠≠90°.-----------------------------------------------………………………5分 第二种情况：当BA D '∠=90°，
∵四边形ADA E '是菱形，∴点A '必在DE 垂直平分线上，即直线AM 上，
∵45x AN A N y '===，4AM =，∴8
45
A M x '=-，
在Rt △BA M '中2222
283(4)5
BA BM MA x ''=+=+-，
在Rt △BA D '中22222
(5)A B BD DA x x ''=-=--，
∴222
28(5)3(4)5
x x x --=+-，
解得32
35
=x ，x=0（舍去）.---------------------------------6分
第三种情况：当A BD '∠=90°， ∵ Rt △BA M '～ Rt △ABM ,
∴AM BM AB BA =', ∴4
15'
=BA 在Rt △DBA '中,2'2'2DA BA DB =+,
2216225
)5(x x =+-, 解得:12532
x =. ------…………………7分。