教学设计8：1.2.1 充分条件与必要条件~1.2.2 充要条件

1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
教学目标
1.知识与技能
(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；
(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；
(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．2．过程与方法
(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；
(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；
(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．
3．情感、态度与价值观
(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；
(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；
(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．
教学重点难点
重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．
难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．
重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．
教学过程
一、充分条件、必要条件与充要条件
问题导思
观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.
1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？
【答案】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p⇒q，q p；
②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即p q，q⇒p；
③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p⇔q；
④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即p q，且q p.
2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？
【答案】p⇔q.
1．充分条件与必要条件
2.充要条件的概念
一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.
例1.(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是()
①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；
②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；
③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；
④Δ＝b 2－4ac ＜0是这个方程没有实根的充要条件． A ．③④ B ．②③ C ．①②③
D ．①②④
(2)若p ：(x －1)(x ＋2)≤0，q ：x ＜2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】(1)①对，Δ≥0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根； ②对，Δ＝0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根；
③错，Δ＞0⇒方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根，但ax 2＋bx ＋c ＝0有实根Δ＞0；
④对，Δ＜0⇔方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实根．故选D. (2)p ：－2≤x ≤1，q ：x ＜2，显然p ⇒q ，但q p ，即p 是q 的充分不必要条件．
【答案】(1)D (2)A 规律方法
判定方法常用以下几种：
(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．
(2)集合法：将命题p 、q 分别看做集合A ，B ，当A ⊆B 时，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A ＝B 时，p 、q 互为充要条件． 变式训练
已知如下三个命题中：
①若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件； ②对于实数a ，b ，c ，“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件；
③直线l 1：ax ＋y ＝3，l 2：x ＋by －c ＝0.则“ab ＝1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件； ④“m ＜－2或m ＞6”是“y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点”的充要条件． 正确的结论是________．
【解析】①中，当a ＝2时，有(a －1)(a －2)＝0；但当(a －1)(a －2)＝0时，a ＝1或a ＝2，不一定有a ＝2.∴“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的充分不必要条件，①正确． ②∵a >b
ac 2>bc 2(c ＝0)，但ac 2>bc 2⇒a >b .∴“a >b ”是“ac 2>bc 2”必要不充分条件，②错．
③中，ab ＝1且ac ＝3时，l 1与l 2重合，但l 1∥l 2⇒a 1＝1
b
，即ab ＝1，∴“ab ＝1”是“l 1∥l 2”的
必要不充分条件，③正确．
④中，y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0⇔m ＜－2或m ＞6.故是充要条件，④正确． 【答案】①③④
例2.设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)． (1)求集合B ；
(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解:(1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0， 解得x ＞－a 或x ＜2a .
故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．
(2)法一 若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则綈q ⇒綈p ，由此可得p ⇒q ， 则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2} 由p ⇒q ，可得A ⊆B ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1. 法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }， 由綈p 是綈q 的必要不充分条件， 可得綈q ⇒綈p ， 也即∁U B ⊆∁U A ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1. 规律方法
1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．
2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性． 变式训练
已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．
解：法一 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴綈p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}， 綈q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }． ∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴A B . ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，
解得0＜m ≤3. ∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}． 法二 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)， ∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}， q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． ∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A . ∴⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，
解得0＜m ≤3. ∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.
例3.求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.
证明：充分性(由条件推结论)： ∵0＜m ＜1
3
，
∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0， ∴方程有两个不等的实根．
设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3
m
＞0，故方程mx 2－2x ＋3
＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜1
3⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的
实根．
必要性(由结论推条件)：
若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，
则有⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0，
∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13.
综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜1
3.
规律方法
1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．
2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论． 变式训练
求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明：假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0. (1)证明p ⇒q ，即证明必要性． ∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0， 即a ＋b ＋c ＝0.
(2)证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0，
∴ax 2＋bx －a －b ＝0，即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．
故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 课堂小结
充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．
(2)集合法
从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．
①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．
②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．
③若A＝B，则p是q的充要条件．
④若A⊈B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
(3)等价转化法
当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．
(4)传递法
充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．
练习
1．“x＝3”是“x2＝9”的()
A．充分而不必要的条件
B．必要而不充分的条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．
4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？
【答案】
1．A
【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．2．B
【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q 的必要不充分条件．
3．x2＋(y－2)2＝0x(y－2)＝0
4．解：因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件.。