精选最新2019年高中数学单元测试-指数函数和对数函数完整考试题库(含标准答案)

2019年高中数学单元测试试题 指数函数和对数函数
（含答案）
学校：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题 1．若函数()1
21
x
f x =
+，则该函数在(),-∞+∞上是（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值 (2005上海理)
2．为了得到函数x
y )3
1
(3⨯=的图象，可以把函数x
y )3
1(=的图象 （ ）
A ．向左平移3个单位长度
B ．向右平移3个单位长度
C ．向左平移1个单位长度
D ．向右平移1个单位长度（2004全国4文
5）
3．设232555
322555
a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a ＞c ＞b
B ．a ＞b ＞c
C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a （2010安徽
文7）
4．若函数)1,0( )(log )(3
≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2
1
(-
内单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．)1,4
1
[ B ． )1,4
3[
C ．),49(+∞
D ．)4
9,1(（2005天津
理）
5．设1a >，若对于任意的[]2x a a ∈，，都有2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，满足方程log log 3a a x y +=，
这时a 的取值的集合为（ ） A ．{}
12a a <≤ B ．{}
2a a ≥
C ．{}
23a a ≤≤
D ．{}23，（2008天津文10）
6．在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A. 1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭
B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. 13,24⎛⎫
⎪⎝⎭（2011全国文
10）
7．把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，盒子的容积最大时，切去的正方形边长是 （ ）
A ．
3
a
B ．
4
a
C ．
5
a D ．
6
a 8
．2
log 的值为【 D 】
A
．
C ．12-
D ． 1
2
（2009湖南卷文）
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
9．给出函数1() (4)
()2(1) (4)
x
x f x f x x ⎧⎪=⎨⎪+<⎩≥，则2(log 3)f =_______________-
10．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知
药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物
释放完毕后，y 与t 的函数关系式为
a
t y -⎪⎭⎫
⎝⎛=161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的
信息，回答下列问题：
(Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 .
(Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室. （07湖北）
⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫
⎝⎛≤≤=-1.0,1611.00101.0t t t y t ，
6.0
11．若函数213ln()1x
y x x
+=+-的最大值与最小值分别为M,m ，则M+m= 6
12． 已知函数log (1)a y x =+ (a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则a ＝________．2 1
13．已知函数()()x x f a
-=2log 1在其定义域上单调递减，则函数()()
2
1log x x g a -=的
单调减区间是 14．若
3
52x ≤<,则函数12
log (1)y x =-的值域为 ; 15．市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律：该商品的价格每上涨%(0)x x >，销售数量就减少%kx （其中k 为正常数）.目前，该商品定价为a 元，统计其销售数量为b 个，
⑴当1
2
k =
时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？ ⑵在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加的k 的取值范围. 13.⑴50%；⑵(0,1)
16．计算：2
2
3
3
3948(log log )(log log )+⨯+= . 17．已知112
23a a -+=，求下列 （1）1a a -+ （2） 22a a -+的值。

18．||)4
1(x y -=的值域是_________________ 19．求下列函数的定义域和值域： （1）14
2x y -= （2）2()
3
x
y -= （3）1
42
1x x y +=++
20．已知函数2
()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上的任意12x x ，，有如下条件：
①12x x >；
②22
12x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是
② ．（北京卷13） 21．若5
2
log a <1, 则a 的取值范围是
22．已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧∈-∈=]3,1(,2
329]1,0[,3)(x x x x f x ，当]1,0[∈t 时，]1,0[))((∈t f f ，则实数t 的取
值范围是 ▲ .
23．若{}
21,,x x ∈则x =
24．方程3log (123)21x
x -⋅=+的解x = ．
25．函数2()23x f x x -=+-的零点个数是 ▲ . 2 26．函数2
21
2+-=
x x y 的单调递减区间是____ ______。

27．计算：=÷--21
100)25lg 4
1
(lg _____________________．
28．已知全集R U =,集合2
{|20}A x x x =->,{|lg(1)}B x y x ==-,则
()
U B A =ð ．
答案{|12}x x <≤
29．蒸汽机飞轮的直径为1.2米，以320（转/分）的速度作逆时针旋转，则飞轮上一点1秒内所经
过的路程为 ▲ 米．
30．已知函数212
log (35)y x ax =-+在[1,)-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是
___▲___.
31．已知函数62ln )(-+=x x x f 的零点在区间(,1)()n n n Z +∈内，则n = . 32．函数()sin cos 1sin cos x x
f x x x
=
++的值域是
33．用二分法求函数()34x
f x x =--的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得()34x
f x x =--一个零点的近似值(精确到0．01)为
34．函数y ＝2
1log （x 2
－3x ＋2）的单调递减区间是
三、解答题
35．求值：0123456789
999999999922222C C C C C C C C C C -+-+-+-+-
36．设函数,223,2
)1(,)(2
b c a a
f c bx ax x f >>-
=++=且求证：
(1）4
330-<<
->a b a 且； (2）函数)(x f 在区间（0，2）内至少有一个零点；
(3）设21,x x 是函数)(x f 124
|x x |.-<
37．已知.|1|)(22kx x x x f ++-= （Ⅰ）若k = 2，求方程0)(=x f 的解；
（Ⅱ）若关于x 的方程0)(=x f 在（0，2）上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明
.4112
1<+x x 命题意图：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力。

满分15分。

（I ）
38．诺贝尔奖发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增。

假设基金平均年利率为 6.24%r =。

资料显示：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额约为19800万美元。

设()f x 表示为第x (*
x ∈N )年诺贝尔奖发奖后的基金总额(1999年记为(1)f )。

(Ⅰ）用(1)f 表示(2)f 与(3)f ，并根据所求结果归纳出函数()f x 的表达式。

(Ⅱ）试根据()f x 的表达式判断网上一则新闻 “2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由。

(参考数据：10
1.0624 1.83=，10
1.0312 1.36=）
39．指数函数)(x f y =的图象经过点（4,2-），求)(x f 的解析式和)3(-f 的值.
40．已知x x 2log )827lg(10
≥+⋅，求4
log log )(2
12
1x
x x f ⋅=的最小值及相应x 的值.
41．设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平行移动t 、s 单位长度后得曲线C 1.
(Ⅰ）写出曲线C 1的方程； (Ⅱ）证明曲线C 与C 1关于点A （
2
,2s
t ）对称； (Ⅲ）如果曲线C 与C 1有且仅有一个公共点，证明s =4
3
t －t 且t ≠0. （1998全国理，24）
42．求底数x ：3log 35x =-；7log 28
x =．
43． (本小题满分16分)
如图一个三角形的绿地ABC ，AB 边长8米，由C 点看AB 的张角为45，在AC 边上一点D 处看AB 得张角为60，且2AD DC =，试求这块绿地的面积。

解法1：设DC=x,在△BDC 中，由正弦定理得：
D
C
B
A
第18题图
BD=
)
4560sin(45sin ︒-︒︒
x =x 213-……………………………3分 BC=
x x 2
)13(6)4560sin()60180sin(+=︒-︒︒-︒…………………6分
在△ABC 中，由余弦定理得： 82=[]232
)
13(62
2-++）（x x [
]︒⋅⋅+45cos 32
)
13(6x x ……………9分
故x 2=
3
32
…………………………………10分 于是，ABC 的面积S ＝
222)13(632145sin 21⋅+⋅⋅=︒⋅⋅x x BC AC …………………………………13分 =+=
24)13(33x =⋅+=3
32
4)13(33)33(8+⋅=（平方米）………15分
答：这块绿地的面积为)33(8+⋅平方米…………………………16分
解法2：作BE ⊥AC.设DE ＝x （米）， 则BE ＝x x BDA x 360tan tan =
︒=∠………………………………3分
由于，︒=∠45C 故△BCE 为等腰直角三角形 CE=BE=x 3
DC=CE-DE=x 3-x …………………………………6分 AD = 2DC=2(x 3-x)
故AE=AD-DE =2x 3-3x …………………………………8分 在Rt △ABE 中,根据勾股定理得 BE 2+AE 2=AB 2
（x 3）²+（2x 3-3x ）²＝8² …………………………………10分
解得x ²＝
3
12-2464=
33216）
（+
…………………………………12分
AC=AD+DC=3 DC=3x 3-3x
ABC 的面积S ＝
2)33(2
3
3)333(2121x x x x BE AC ⋅-⋅=⋅-=⋅ 3
3216)33(23）
（+⋅-⋅=
)33(8+=（平方米） …………15分
答：这块绿地的面积为)33(8+平方米……………………………16分
44．学校围墙有如图所示的一个角落MCN ，学校要利用这个角落建造一间两面靠墙的露天器材室，已知2,,,3
MCN A MC B NC π
∠=∈∈现有可供建造第三面墙的材料l 米（两面墙的长均大于l 米）
（1）若,,AB l ABC θ=∠=试用θ来表示ABC 的面积(),ABC
S f θ=并问当θ为多少
时，()f
θ取最大值？
（2）若A,B 为定点，,AB l <在折线MABN 内取点D ，使,AD BD l +=求四边形露天器材室ACBD 的最大面积。

45．某公司有价值a 万元的一条生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入资金，相应就要提高生产产品的售价。

假设售价y 万元 技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与x a -和x 的乘积成正比； ②
时2
a
x =
2a y =； ③.)
(20t x a x
≤-≤
其中t 为常数，且]1,0[∈t 。

（1）设)(x f y =，试求出)(x f 的表达
式，并求出)(x f y 的定义域；（2）求出售价y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值.
46． 2014年青奥会水上运动项目将在J 地举行，截止2010年底，投资集团B 在J 地共投资100万元用于地产和水上运动项目的开发。

经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B 集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额（单位：百万元）的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额（单位：百万元）的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元。

（1）B 集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？
（2）假设2012年起，J 地政府每年都要向B 集团征收资源占用费，2012年征收2百万元后，以后每年征收的金额比上一年增加10%，若B 集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值（预期最大利润与最小利润的平均数）不低于投资额的18%，问B 集团投资是否成功？
47．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水量不超过4吨时，按每吨1.8元收费；当每户每月用水量超过4吨时，其中4吨按每吨为1.8元收费，超过4吨的部分按每吨3.00元收费。

设每户每月用水量为x 吨，应交水费y 元。

（Ⅰ）求y 关于x 的函数关系；
（Ⅱ）某用户1月份用水量为5吨，则1月份应交水费多少元？
（Ⅲ）若甲、乙两用户1月用水量之比为5:3，共交水费26.4元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费。

48．某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为8万元/辆，出厂价为10万元/辆，年销售量为12万辆.本年度为节能减排，对产品进行升级换代.若每辆车投入成本增加的比例为1(0)2
x x <≤，则出厂价相应提高的比例为0.75x , 同时预计年销售量增加的比例为
0.5x .
（1）写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x
（2）当投入成本增加的比例x 为何值时，本年度比上年度利润增加最多？最多为多少？ 49．
2．如图，开发商欲对边长为1km 的正方形ABCD 地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF （点E F 、分别在BC CD 、上），根据规划要求
ECF ∆的周长为2km ．
（1）设,BAE DAF αβ∠=∠=，试求βα+的大小； （2）欲使EAF ∆的面积最小，试确定点E F 、的位置．
2012年春学期期中考试
高一数学试题答案一、填空题
二、解答题
17. （1
）1
()2cos 2sin 262f x x x x πωωω⎛⎫=+=++ ⎪⎝
⎭ --------------------5分
R x ∈ ，∴)(x f 的值域为[1,1]- --------------7分
（2）∵)(x f 的最小正周期为2π，∴222
ππ
ω=，即2ω= ∴)64sin(2)(π+=x x f ∵]2,0[π∈x ，∴]6
13
,6[64πππ∈+x
∵)(x f 递减，∴]23,2[64πππ∈+x 由2
3642πππ≤
+≤x ，得到312π
π≤≤x ，∴)(x f 单调递减区间为]3
,12[π
π -------15分
⑶设11(,)M x y ，22(,)P x y ，则11(,)N x y -，22112x y +=，22222x y +=， 直线MP 与x 轴交点122121(,0)x y x y y y --，12
21
21
x y x y m y y -=-， 直线NP 与x 轴交点122121(
,0)x y x y y y ++，12
21
21
x y x y n y y +=+， …………………14分 22222222
12211221122112212222
21212121
(2)(2)2x y x y x y x y x y x y y y y y mn y y y y y y y y -+----====-+--， 故mn 为定值2． …………………16分
20. （1）设,BAE DAF αβ∠=∠=，,(01,01)CE x CF y x y ==<≤<≤，
则tan 1,tan 1x y αβ=-=-，由已知得：2x y ++=，
即2()2x y xy +-=
tan tan 112()2()
tan()1
1tan tan 1(1)(1)[22()]x y x y x y x y x y xy x y x y αβαβαβ+-+--+-++=====----+-++-+0,2
4
π
π
αβαβ<+<
∴+=
，即.4
EAF π
∠=
（
2
）
由
（
1
）
知
，
1111sin 2cos cos cos cos AEF S AE AF EAF AE AF αβαβ
∆=⋅∠=⋅=⋅=
2
11112cos (sin cos )sin 22cos sin 2cos 21
cos cos()4
πααααααααα===++++- =
1
)1
4
π
α++．
50．已知函数b
ax x
x f +=
2
)(（b a ,为常数）且方程012)(=+-x x f 有两个实根为,31=x 42=x .(1)求函数)(x f 的解析式；(2)设1>k ，解关于x 的不等式：
x
k
x k x f --+<
2)1()(.。