实验中学八年级上册1月月考质量测试试卷(带答案)模拟数学模拟试题

实验中学八年级上册1月月考质量测试试卷(带答案)模拟数学模拟试题
一、压轴题
1．探索发现： 111111111;;12223233434=-=-=-⨯⨯⨯…… 根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）145
⨯＝ ，1(1)n n ⨯+＝ ； （2）利用你发现的规律计算：
1111122334(1)n n ⋅++++⨯⨯⨯⨯+ （3）利用规律解方程：
1111121(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)
x x x x x x x x x x x x x -++++=++++++++++ 2．（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，
如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．如图1，在“手拉手”图形中，小明发现若∠BAC =∠DAE ，AB =AC ，AD =AE ，则△ABD ≌△ACE ．
（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现．
（深入探究）（2）如图2，△ABC 和△AED 是等边三角形，连接BD ，EC 交于点O ，连接AO ，下列结论：①BD =EC ；②∠BOC =60°；③∠AOE =60°；④EO =CO ，其中正确的有 ．(将所有正确的序号填在横线上)．
（延伸应用）（3）如图3，AB =BC ，∠ABC =∠BDC =60°，试探究∠A 与∠C 的数量关系．
3．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，DAE BAC ∠=∠． （初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则DB __________EC ．（填＞、＜或=）
（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．
（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．
（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点C 、D 、E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．
（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，
90BAC DAE ∠=∠=︒，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．
4．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x
⊥
轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．
（1）当点P 运动到点O 处，过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ，证明AP DP =，并求此时点D 的坐标；
（2）点Q 是直线l 上的动点，问是否存在点P ，使得以P C Q 、、为顶点的三角形和ABP ∆全等，若存在求点P 的坐标以及此时对应的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
5．阅读并填空：
如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，D 是边AC 延长线上的一点，E 在边AB 上且联接DE 交BC 于O ，如果OE OD ，那么CD BE =，为什么？
解：过点E 作EF AC 交BC 于F
所以ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等）
D OEF ∠=∠（________）
在OCD 与OFE △中
()________COD FOE OD OE
D OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩
所以OCD OFE △≌△，（________）
所以CD FE =（________）
因为AB AC =（已知）
所以ACB B =∠∠（________）
所以EFB B ∠=∠（等量代换）
所以BE FE =（________）
所以CD BE =
6．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，
25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．
（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；
（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13
，求DEF ∆的最小内角． （3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．
7．如图1，在平面直角坐标系中，点A 的坐为()2,0，点D 的坐标为()0,2-，在ABC ∆中45ABC ACB ∠=∠=，//BC x 轴交y 轴于点M ．
（1）求OAD ∠和ODA ∠的度数；
（2）如图2，在图1的基础上，以点B 为一锐角顶点作Rt BOE ∆，90BOE =∠，OE 交AC 于点P ，求证：OB OP =；
（3）在第（2）问的条件下，若点B 的标为()2,4--，求四边形BOPC 的面积． 8．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点P ，∠A ＝64°，则∠BPC ＝ ；
（2）如图2，△ABC 的内角∠ACB 的平分线与△ABC 的外角∠ABD 的平分线交于点E ．其中∠A ＝α，求∠BEC ．（用α表示∠BEC ）；
（3）如图3，∠CBM 、∠BCN 为△ABC 的外角，∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，请你写出∠BQC 与∠A 的数量关系，并说明理由；
（4）如图4，△ABC 外角∠CBM 、∠BCN 的平分线交于点Q ，∠A=64°，∠CBQ ，∠BCQ 的平分线交于点P ，则∠BPC= ゜，延长BC 至点E ，∠ECQ 的平分线与BP 的延长线相交于点R ，则∠R= ゜．
9．如图，ABC ∆在平面直角坐标系中，60BAC ∠=︒，()0,43A ，8AB =，点B 、C 在x 轴上且关于y 轴对称．
（1）求点C 的坐标；
（2）动点P 以每秒2个单位长度的速度从点B 出发沿x 轴正方向向终点C 运动，设运动时间为t 秒，点P 到直线AC 的距离PD 的长为d ，求d 与t 的关系式；
（3）在（2）的条件下，当点P 到AC 的距离PD 为33AP ，作ACB ∠的平分线分别交PD 、PA 于点M 、N ，求MN 的长．
10．已知，如图1，直线l 2⊥l 1，垂足为A ，点B 在A 点下方，点C 在射线AM 上，点B 、C 不与点A 重合，点D 在直线11上，点A 的右侧，过D 作l 3⊥l 1，点E 在直线l 3上，点D 的下方．
（1）l 2与l 3的位置关系是 ；
（2）如图1，若CE 平分∠BCD ，且∠BCD ＝70°，则∠CED ＝ °，∠ADC ＝ °； （3）如图2，若CD ⊥BD 于D ，作∠BCD 的角平分线，交BD 于F ，交AD 于G ．试说明：∠DGF ＝∠DFG ；
（4）如图3，若∠DBE ＝∠DEB ，点C 在射线AM 上运动，∠BDC 的角平分线交EB 的延长线于点N ，在点C 的运动过程中，探索∠N :∠BCD 的值是否变化，若变化，请说明理由；若不变化，请直接写出比值．
11．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：
（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度；
（2）当2t =时，请说明//PQ BC ；
（3）设BCQ ∆的面积为()
2S cm ，求S 与t 之间的关系式． 12．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 为ABC ∆内一点，且BD AD =．
（1）求证：CD AB ⊥；
（2）若15CAD ∠=︒，E 为AD 延长线上的一点，且CE CA =．
①求BDC ∠的度数．
②若点M 在DE 上，且DC DM =，请判断ME 、BD 的数量关系，并说明理由． ③若点N 为直线AE 上一点，且CEN ∆为等腰∆，直接写出CNE ∠的度数．
13．如图1，我们定义：在四边形ABCD 中，若AD=BC ，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD 叫做互补等对边四边形．
（1）如图2，在等腰ABE △中，AE=BE ，四边形ABCD 是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=12
∠AEB ． （2）如图3，在非等腰ABE △中，若四边形ABCD 仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=
12∠AEB 是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
14．小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题：“如图（1），在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与小颖讨论后，进行了如下解答：
（1）取特殊情况，探索讨论：当点E 为AB 的中点时，如图（2），确定线段AE 与DB 的大小关系，请你写出结论：AE _____DB （填“>”，“<”或“=”），并说明理由．
（2）特例启发，解答题目：
解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE _____DB （填“>”，“<”或
“=”）．理由如下：
如图（3），过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ．（请你将剩余的解答过程完成） （3）拓展结论，设计新题：在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =，若△ABC 的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你画出图形，并直接写出结果）．
15．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知：2114x x =+，求代数式x 2+21x
的值． 解：∵2114x x =+，∴21x x
+＝4 即21x x x
+＝4∴x +1x ＝4∴x 2+21x ＝（x +1x ）2﹣2＝16﹣2＝14
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k ”，将连等式变成几个值为k 的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．
例：若2x ＝3y ＝4z ，且xyz ≠0，求x y z +的值． 解：令2x ＝3y ＝4z ＝k （k ≠0） 则11k k k k x 622,,,117234y z 7
k k 3412
x y z ===∴===++ 根据材料回答问题：
（1）已知2114x x x =-+，求x +1x
的值． （2）已知523a b c ==，（abc ≠0），求342b c a
+的值． （3）若222
222yz zx xy x y z bz cy cx az ay bx a b c
++===+++++，x ≠0，y ≠0，z ≠0，且abc ＝7，求xyz 的值．
16．阅读材料并完成习题：
在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD ，若AC=2cm ，求四边形ABCD 的面积．
解：延长线段CB 到E ，使得BE=CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE ≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE=AC=2， ∠EAB=∠CAD ，则
∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°，得S 四边形
ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．
（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．
（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．
如图2，已知FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，求五边形FGHMN 的面积．
17．直线MN 与PQ 相互垂直，垂足为点O ，点A 在射线OQ 上运动，点B 在射线OM 上运动，点A 、点B 均不与点O 重合．
（1）如图1，AI 平分BAO ∠，BI 平分ABO ∠，若40BAO ∠=︒，求AIB ∠的度数； （2）如图2，AI 平分BAO ∠，BC 平分ABM ∠，BC 的反向延长线交AI 于点D ． ①若40BAO ∠=︒，则ADB =∠______度（直接写出结果，不需说理）；
②点A 、B 在运动的过程中，ADB ∠是否发生变化，若不变，试求ADB ∠的度数：若变化，请说明变化规律．
（3）如图3，已知点E 在BA 的延长线上，BAO ∠的角平分线AI 、OAE ∠的角平分线AF 与BOP ∠的角平分线所在的直线分别相交于的点D 、F ，在ADF 中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出ABO ∠的度数．
18．已知//,MN GH 在Rt ABC 中，90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，点A 在MN 上，边BC 在GH 上，在Rt DEF △中，90,DFE ∠=︒边DE 在直线AB 上，45EDF ∠=︒； （1）如图1，求BAN ∠的度数；
（2）如图2，将Rt DEF △沿射线BA 的方向平移，当点F 在M 上时，求AFE ∠度数； （3）将Rt DEF △在直线AB 上平移，当以A D F 、、为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出FAN ∠度数．
19．如图1，直角三角形DEF 与直角三角形ABC 的斜边在同一直线上，∠EDF ＝30°，∠ABC ＝40°，CD 平分∠ACB ，将△DEF 绕点D 按逆时针方向旋转，记∠ADF 为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中；
（1）如图2，当∠α＝ 时，//DE BC ，当∠α＝ 时，DE ⊥BC ；
（2）如图3，当顶点C 在△DEF 内部时，边DF 、DE 分别交BC 、AC 的延长线于点M 、N ， ①此时∠α的度数范围是 ；
②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由； ③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．
20．如图1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，直线DE经过点C，过点A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D和E，AD=8，BE=6．
（1）①求证：△ADC≌△CEB；②求DE的长；
（2）如图2，点M以3个单位长度/秒的速度从点C出发沿着边CA运动，到终点A，点N 以8个单位长度/秒的速度从点B出发沿着线BC—CA运动，到终点A．M，N两点同时出发，运动时间为t秒(t＞0)，当点N到达终点时，两点同时停止运动，过点M作PM⊥DE 于点P，过点N作QN⊥DE于点Q；
①当点N在线段CA上时，用含有t的代数式表示线段CN的长度；
②当t为何值时，点M与点N重合；
③当△PCM与△QCN全等时，则t=．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）1111
,
451
n n
--
+
；（2）
n
n1
+
；（3）见解析．
【解析】【分析】
（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到
1 45⨯
和
1
(1) n n
⨯+
（2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.
（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.
【详解】
解：（1）1114545
=-⨯， 111(1)1n n n n =-++ ； 故答案为1111,451
n n --+ （2）原式＝111111111+122334111n n n n n -
-+-++-=-=+++ ; （3）已知等式整理得： 1111112111245(5)
x x x x x x x x x --+-++-=++++++ 所以，原方程即： 11215(5)
x x x x x --=++ ， 方程的两边同乘x （x +5），得：x +5﹣x ＝2x ﹣1，
解得：x ＝3，
检验：把x ＝3代入x （x +5）＝24≠0，
∴原方程的解为：x ＝3．
【点睛】 本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.
2．（1）证明见解析；（2）①②③；（3）∠A +∠C =180°．
【解析】
【分析】
（1）利用等式的性质得出∠BAD=∠CAE ，即可得出结论；
（2）同（1）的方法判断出△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，再利用对顶角和三角形的内角和定理判断出∠BOC=60°，再判断出△BCF ≌△ACO ，得出∠AOC=120°，进而得出∠AOE=60°，再判断出BF ＜CF ，进而判断出∠OBC ＞30°，即可得出结论；
（3）先判断出△BDP 是等边三角形，得出BD=BP ，∠DBP=60°，进而判断出△ABD ≌△CBP （SAS ），即可得出结论．
【详解】
（1）证明：∵∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD ，
∴∠BAD=∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ；
（2）如图2，
∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，
∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE ，
∴BD=CE ，①正确，∠ADB=∠AEC ，
记AD 与CE 的交点为G ，
∵∠AGE=∠DGO ，
∴180°-∠ADB-∠DGO=180°-∠AEC-∠AGE ，
∴∠DOE=∠DAE=60°，
∴∠BOC=60°，②正确，
在OB 上取一点F ，使OF=OC ，
∴△OCF 是等边三角形，
∴CF=OC ，∠OFC=∠OCF=60°=∠ACB ，
∴∠BCF=∠ACO ，
∵AB=AC ，
∴△BCF ≌△ACO （SAS ），
∴∠AOC=∠BFC=180°-∠OFC=120°，
∴∠AOE=180°-∠AOC=60°，③正确，
连接AF ，要使OC=OE ，则有OC=
12CE ， ∵BD=CE ，
∴CF=OF=12
BD ， ∴OF=BF+OD ，
∴BF ＜CF ，
∴∠OBC ＞∠BCF ，
∵∠OBC+∠BCF=∠OFC=60°，
∴∠OBC＞30°，而没办法判断∠OBC大于30度，
所以，④不一定正确，
即：正确的有①②③，
故答案为①②③；
（3）如图3，
延长DC至P，使DP=DB，
∵∠BDC=60°，
∴△BDP是等边三角形，
∴BD=BP，∠DBP=60°，
∵∠BAC=60°=∠DBP，
∴∠ABD=∠CBP，
∵AB=CB，
∴△ABD≌△CBP（SAS），
∴∠BCP=∠A，
∵∠BCD+∠BCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°．
【点睛】
此题考查三角形综合题，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造等边三角形是解题的关键．
3．（1）=；（2）证明见解析；（3）60°，BD=CE；（4）90°，AM+BD=CM；（5）7
【解析】
【分析】
（1）由DE∥BC，得到DB EC
AB AC
，结合AB=AC，得到DB=EC；
（2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE；
（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质求出结论；
（4）根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（5）根据旋转的过程中△ADE的面积始终保持不变，而在旋转的过程中，△ADC的AC始终保持不变，即可．
【详解】
[初步感知]（1）∵DE ∥BC ， ∴DB EC AB AC
=， ∵AB=AC ，
∴DB=EC ，
故答案为：=，
（2）成立．
理由：由旋转性质可知∠DAB=∠EAC ，
在△DAB 和△EAC 中
AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ），
∴DB=CE ；
[深入探究]（3）如图③，设AB ，CD 交于O ，
∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，
∴AD=AE ，AB=AC ，∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠DAB=∠EAC ，
在△DAB 和△EAC 中
AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝， ∴△DAB ≌△EAC （SAS ），
∴DB=CE ，∠ABD=∠ACE ，
∵∠BOD=∠AOC ，
∴∠BDC=∠BAC=60°；
（4）∵△DAE 是等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
∴∠AEC=135°，
在△DAB 和△EAC 中
AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩
∠⎧⎨＝＝＝，
∴△DAB ≌△EAC （SAS ），
∴∠ADB=∠AEC=135°，BD=CE ，
∵∠ADE=45°，
∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°，
∵△ADE 都是等腰直角三角形，AM 为△ADE 中DE 边上的高，
∴AM=EM=MD ，
∴AM+BD=CM ；
故答案为：90°，AM+BD=CM ；
【拓展提升】
（5）如图，
由旋转可知，在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变，
△ADE 与△ADC 面积的和达到最大，
∴△ADC 面积最大，
∵在旋转的过程中，AC 始终保持不变，
∴要△ADC 面积最大，
∴点D 到AC 的距离最大，
∴DA ⊥AC ，
∴△ADE 与△ADC 面积的和达到的最大为2+
12
×AC×AD=5+2=7， 故答案为7．
【点睛】
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．
4．（1）证明见解析；(2,3)D ；（2）存在，(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q -．
【解析】
（1）通过全等三角形的判定定理ASA 证得△ABP ≌△PCD ，由全等三角形的对应边相等证得AP ＝DP ，DC ＝PB ＝3，易得点D 的坐标；
（2）设P （a ，0），Q （2，b ）．需要分类讨论：①AB ＝PC ，BP ＝CQ ；②AB ＝CQ ，BP ＝PC ．结合两点间的距离公式列出方程组，通过解方程组求得a 、b 的值，得解．
【详解】
（1）AP PD ⊥
90APB DPC ∴∠+∠=
AB x ⊥轴
90A APB ∴∠+∠=
A DPC ∴∠=∠
在ABP ∆和PCD ∆中
A DPC A
B PC
ABP PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABP PCD ASA ∴∆≅∆
AP DP ∴=，3DC PB ==
(2,3)D ∴
（2）设(,0)P a ，(2,)Q b
①AB PC =，BP CQ =
223a a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
，解得03a b =⎧⎨=±⎩或47a b =⎧⎨=±⎩ (0,0)P ∴，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q - ②AB CQ =，BP PC =，
322a a b +=-⎧⎨=⎩，解得122
a b ⎧=⎪⎨⎪=±⎩ 1(,0)2P ∴-，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q - 综上：(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q - 【点睛】
考查了三角形综合题．涉及到了全等三角形的判定与性质，两点间的距离公式，一元一次绝对值方程组的解法等知识点．解答（2）题时，由于没有指明全等三角形的对应边（角），所以需要分类讨论，以防漏解．
5．见解析
【分析】
先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明OCD OFE △≌△，写出证明过程和依据即可．
【详解】
解：过点E 作//EF AC 交BC 于F ，
∴ACB EFB ∠=∠（两直线平行，同位角相等），
∴D OEF ∠=∠（两直线平行，内错角相等），
在OCD 与OFE △中
()()()COD FOE OD OE
D OEF ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩
对顶角相等已知已证， ∴OCD OFE △≌△，（ASA ）
∴CD FE =（全等三角形对应边相等）
∵AB AC =（已知）
∴ACB B =∠∠（等边对等角）
∴EFB B ∠=∠（等量代换）
∴BE FE =（等角对等边）
∴CD BE =；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质正确找到证明三角形全等的条件，从而进行证明.
6．（1）4；（2）DEF ∆的最小内角为15°或9°或180(
)11
︒；（3）30°＜x ＜45°． 【解析】
【分析】
(1)根据三角形内角和定理求出∠C 的度数，再根据n 倍角三角形的定义判断即可得到答案；
(2) 根据△DEF 是3倍角三角形，必定有一个内角是另一个内角的3倍，然后根据这两个角之间的关系，分情况进行解答即可得到答案；
(3) 可设未知数表示2倍角三角形的各个内角，然后列不等式组确定最小内角的取值范围．
【详解】
解：(1)∵在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，
∴∠C=180°-55°-25°=100°，
∴∠C=4∠B，
故ABC ∆为4倍角三角形；
(2) 设其中一个内角为x °，3倍角为3x °，则另外一个内角为：1804x ︒-
①当小的内角的度数是3倍内角的余角的度数的
13时， 即：x=13
（90°-3x ）， 解得：x=15°， ②3倍内角的度数是小内角的余角的度数的
13时， 即：3x=13
（90°-x ），解得：x=9°， ③当()11804903x x ︒-=
︒-时， 解得：45011x ⎛⎫=︒ ⎪⎝⎭
， 此时：4501804180411x ⎛⎫︒-=︒-⨯︒ ⎪⎝⎭=180()11︒，因此为最小内角， 因此，△DEF 的最小内角是9°或15°或180(
)11︒． (3) 设最小内角为x ，则2倍内角为2x ，第三个内角为（180°-3x ），由题意得： 2x ＜90°且180°-3x ＜90°，
∴30°＜x ＜45°，
答：△MNP 的最小内角的取值范围是30°＜x ＜45°．
7．（1）∠OAD=∠ODA=45°；（2）证明见解析；（3）18．
【解析】
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可求解；
（2）通过“ASA ”可证得△ODB ≌△OAP ，进而可得BO=OP ；
（3）过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，延长FP 交BC 于N ，过点A 作AQ ⊥BC 于Q ，由“AAS ”可证△OBM ≌△OPF ，可得PF=BM=2，OF=OM=4，由面积和差关系可求四边形BOPC 的面积．
【详解】
（1）∵点A 的坐为（2，0），点D 的坐标为（0，-2），
∴OA=OD ，
∵∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠ODA=45°；
（2）∵∠BOE=∠AOD=90°，
∴∠BOD=∠AOP ，
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠BAC=90°，AB=AC ，
∵∠OAD=∠ODA=45°，
∴∠ODB=135°=∠OAP ，
在△ODB 和△OAP 中，
BOD AOP OD OA
ODB OAP ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝， ∴△ODB ≌△OAP （ASA ），
∴BO=OP ；
（3）如图，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，延长FP 交BC 于N ，过点A 作AQ ⊥BC 于Q ，
∵BC ∥x 轴，AQ ⊥BC ，PF ⊥x 轴，
∴AQ ⊥x 轴，PN ⊥BC ，∠AOM=∠BMO=90°，
∴点Q 横坐标为2，
∵∠BAC=90°，AB=AC ，AQ ⊥BC ，
∴BQ=QC ，
∵点B 的标为（-2，-4），
∴BM=2，OM=4，BQ=4=QC ，
∵PF ⊥x 轴，
∴∠OFP=∠OMB=90°，
在△OBM 和△OPF 中，
BOM POF BMO OFP BO PO ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△OBM ≌△OPF （AAS ），
∴PF=BM=2，OF=OM=4，
∵BC ∥x 轴，AQ ⊥x 轴，NF ⊥x 轴，
∴OM=AQ=FN=4，
∴PN=2，
∵∠PNC=90°，∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠CPN=45°，
∴CN=PN=2，
∵四边形BOPC 的面积=S △OBM +S 梯形OMNP +S △PNC ，
∴四边形BOPC 的面积=
12×2×4+12×4×（2+4）+12×2×2=18． 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式等知识，难度较大，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解本题的关键．
8．（1） 122°；（2）12BEC α∠=
；（3）01902BQC A ；（4）119，29 ； 【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用A ∠与1∠表示出2∠，再利用E ∠与1∠表示出2∠，于是得到结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出EBC ∠与ECB ∠，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（4）根据（1），（3）的结论可以得出∠BPC 的度数；根据（2）的结论可以得到∠R 的度数．
【详解】
解：（1）BP 、CP 分别平分ABC ∠和ACB ∠，
12PBC ABC ∴∠=∠，12
PCB ACB ∠=∠， 180()BPC PBC PCB ∴∠=︒-∠+∠
11180()22
ABC ACB =︒-∠+∠， 1180()2
ABC ACB =︒-∠+∠， 1(180180)2
A =︒-︒-∠， 1180902
A =-︒+︒∠， 9032122，
故答案为：122︒；
（2）如图2示，
CE 和BE 分别是ACB ∠和ABD ∠的角平分线，
112ACB ∴∠=∠，122
ABD ∠=∠， 又ABD ∠是ABC ∆的一外角，
ABD A ACB ∴∠=∠+∠，
112()122
A ABC A ∴∠=∠+∠=∠+∠， 2∠是BEC ∆的一外角，
112111222
BEC A A α∴∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠=； （3）1()2QBC A ACB ∠=∠+∠，1()2
QCB A ABC ∠=∠+∠， 180BQC QBC QCB ∠=︒-∠-∠，
11180()()22
A AC
B A AB
C =︒-∠+∠-∠+∠， 11180()22
A A ABC AC
B =︒-∠-∠+∠+∠， 结论1902
BQC A ∠=︒-∠． （4）由（3）可知，119090645822BQC
A ， 再根据（1），可得180()BPC
PBC PCB 1118022QBC QCB 1180
902Q 118090582
119； 由（2）可得：11582922R Q ;
故答案为：119，29．
【点睛】
本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
9．（1）C （4，0）；（2）433d t =；（3）1037MN =
【解析】
【分析】
（1）根据对称的性质知ABC ∆为等边三角形，利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案；
（2）利用面积法可求得AC PD PC OA ⋅=⋅，再利用坐标系中点的特征即可求得答案； （3）利用(2)的结论求得2BP =，利用角平分线的性质证得ABO CBQ ∆∆≌，求得43CQ AO ==43QN =
，再利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案．
【详解】
（1）∵点B 、C 关于y 轴对称， ∴12
OB OC BC ==， ∴AB AC =，
∵60BAC ∠=︒，
∴ABC ∆为等边三角形，
∴8AB BC AC ===， ∴142
OC BC ==， ∴点C 的坐标为：()4,0C ；
（2）连接AP ，
∵1122APC S AC PD PC OA ∆=⋅=⋅， ∴AC PD PC OA ⋅=⋅，
∵()0,43A ，
∴43OA =，
∵2BP t =，
∴82PC t =-，
∵8AC =，
∴433PC OA PD t AC
⋅==-， 即：433d t =-；
（3）∵点P 到AC 的距离为33，
∴43333d t =-=，
∴1t =，
∴2BP =，
延长CN 交AB 于点Q ，过点N 作NE x ⊥轴于点E ，连接PQ 、BN ，
∵CQ 为ACB ∠的角平分线，ABC ∆为等边三角形，
∴1302
BCQ ACB ∠=∠=︒，CQ AB ⊥， ∵1302BAO BAC ∠=
∠=︒，AB BC =， ∴ABO CBQ ∆∆≌，
∴CQ AO ==
设2QN a =，
在Rt CNE ∆中，30QCB ∠=︒，
∴112)22
NE CN a a ===， ∵ABP ABN BPN S S S ∆∆∆=+， ∴111222
BP OA AB QN BP NE ⋅=⋅+⋅，
∴1112822)222
a a ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，
∴7a =
，
∴QN =， ∵60ACB ∠=︒，90PDC ∠=︒，
∴30DPC ∠=︒，
∵30BCQ ∠=︒，
∴PM CM =，
在Rt CDM ∆中，90MDC ∠=︒，30MCD ∠=︒， ∴12
MD MC =，
∴12MD PM =，PD =
∴PM CM ==
∴77
MN CQ QN CM =--=-=．
【点睛】
本题是三角形综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握性质及定理、灵活运用面积法求线段的长是解本题的关键．
10．（1）互相平行；（2）35，20；（3）见解析；（4）不变，1 2
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；
（4）根据角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质即可得到结论．【详解】
解：（1）直线l2⊥l1，l3⊥l1，
∴l2∥l3，
即l2与l3的位置关系是互相平行，
故答案为：互相平行；
（2）∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE＝1
2
BCD，
∵∠BCD＝70°，
∴∠DCE＝35°，
∵l2∥l3，
∴∠CED＝∠DCE＝35°，∵l2⊥l1，
∴∠CAD＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣70°＝20°；故答案为：35，20；（3）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF，
∵l2⊥l1，
∴∠CAD＝90°，
∴∠BCF+∠AGC＝90°，
∵CD⊥BD，
∴∠DCF+∠CFD＝90°，
∴∠AGC＝∠CFD，
∵∠AGC＝∠DGF，
∴∠DGF＝∠DFG；
（4）∠N:∠BCD的值不会变化，等于1
2
；理由如下：
∵l2∥l3，
∴∠BED＝∠EBH，
∵∠DBE＝∠DEB，
∴∠DBE＝∠EBH，
∴∠DBH＝2∠DBE，
∵∠BCD+∠BDC＝∠DBH，
∴∠BCD+∠BDC＝2∠DBE，
∵∠N+∠BDN＝∠DBE，
∴∠BCD+∠BDC＝2∠N+2∠BDN，∵DN平分∠BDC，
∴∠BDC＝2∠BDN，
∴∠BCD＝2∠N，
∴∠N:∠BCD＝1
2
．
【点睛】
本题考查了三角形的综合题，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形进行推理是解题的关键．
11．（1）CP=3t，BQ=8-t；（2）见解析；（3）S=16-2t．
【解析】
【分析】
（1）直接根据距离=速度⨯时间即可；
（2）通过证明PCQ BQC
≅，得到∠PQC=∠BCQ，即可求证；
（3）过点C作CM⊥AB，垂足为M，根据等腰直角三角形的性质得到CM=AM=4，即可求解．【详解】
解：（1）CP=3t，BQ=8-t；
（2）当t=2时，CP=3t=6，BQ=8-t=6
∴CP=BQ
∵CD∥AB
∴∠PCQ=∠BQC
又∵CQ=QC
∴PCQ BQC
≅
∴∠PQC=∠BCQ
∴PQ∥BC
（3）过点C 作CM⊥AB，垂足为M
∵AC=BC，CM ⊥AB ∴AM=118422
AB =⨯=（cm ） ∵AC=BC，∠ACB=90︒
∴∠A=∠B=45︒
∵CM⊥AB
∴∠AMC=90︒
∴∠ACM=45︒
∴∠A=∠ACM
∴CM=AM=4（cm ） ∴118t 416222
BCQ S BQ CM t ==⨯-⨯=- 因此，S 与t 之间的关系式为S=16-2t ．
【点睛】
此题主要考查列代数式、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握逻辑推理是解题关键．
12．（1）证明见解析；（2）①120BDC ∠=︒；②ME BD =，理由见解析；③ 7.5°或15°或82.5°或150°
【解析】
【分析】
（1）利用线段的垂直平分线的性质即可证明；
（2）①利用SSS 证得△ADC ≌△BDC ，可求得∠ACD=∠BCD=45°，∠CAD=∠CBD=15°，即可解题；
②连接MC ，易证△MCD 为等边三角形，即可证明△BDC ≌△EMC 即可解题；
③分EN=EC 、EN=CN 、CE=CN 三种情形讨论，画出图形，利用等腰三角形的性质即可求解．
【详解】
（1）∵CB=CA ，DB=DA ，
∴CD 垂直平分线段AB ，
∴CD ⊥AB ；
（2）①在△ADC 和△BDC 中，
BC AC CD CD BD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ADC ≌△BDC （SSS ），
∴∠ACD=∠BCD=12
∠BCA=45°，∠CAD=∠CBD=15°， ∴∠BDC=180︒-45°-15°=120°；
②结论：ME=BD ，
理由：连接MC ，
∵AC BC =，90ACB ∠=︒，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠DBA=∠DAB=30°，
∴∠BDE=30°+30°=60°，
由①得∠BDC=120°，
∴∠CDE=60°，
∵DC=DM ，∠CDE=60°，
∴△MCD 为等边三角形，
∴CM=CD ，
∵EC=CA=CB ，∠DMC=60°，
∴∠E=∠CAD=∠CBD=15°，∠EMC=120°，
在△BDC 和△EMC 中，
15120CBD E BDC EMC CD CM ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴△BDC ≌△EMC （AAS ），
∴ME=BD ；
③当EN=EC 时，∠1152EN C ︒==7.5°或∠2EN C =180152
︒-︒=82.5°； 当EN=CN 时，∠3EN C =180215︒-⨯︒=150°；
当CE=CN 时，点N 与点A 重合，∠CNE=15°，
所以∠CNE的度数为7.5°或15°或82.5°或150°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
13．（1）见解析；（2）仍然成立，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和互补等对边四边形的定义可利用SAS证明△ABD≌△BAC，可得∠ADB=∠BCA，从而可推出∠ADB=∠BCA=90°，然后在△ABE中，根据三角形的内角和
定理和直角三角形的性质可得∠ABD=1
2
∠AEB，进一步可得结论；
（2）如图3所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G，F，根据互补等对边四边形的定义可利用AAS证明△AGD≌△BFC，可得AG=BF，进一步即可根据HL证明Rt△ABG≌Rt△BAF，可得∠ABD=∠BAC，由互补等对边四边形的定义、平角的定义和四边形的内角和可得∠AEB+∠DHC=180°，进而可得∠AEB=∠BHC，再根据三角形的外角性质即可推出结论．
【详解】
（1）证明：∵ AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，
∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD=BC，
在△ABD和△BAC中，
AD=BC，∠DAB=∠CBA，AB=BA，
∴△ABD≌△BAC(SAS)，
∴∠ADB=∠BCA，
又∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA=1
2
（180°−∠AEB）=90°−
1
2
∠AEB，
∴∠ABD=90°−∠EAB=90°−(90°−1
2
∠AEB)=
1
2
∠AEB，
同理：∠BAC=12∠AEB ， ∴∠ABD=∠BAC=
12∠AEB ；
（2）∠ABD=∠BAC=12
∠AEB 仍然成立；理由如下： 如图3所示：过点A 、B 分别作BD 的延长线与AC 的垂线，垂足分别为G ，F ， ∵四边形ABCD 是互补等对边四边形，
∴AD=BC ，∠ADB+∠BCA=180°，
又∠ADB+∠ADG=180°，
∴∠BCA=∠ADG ，
又∵AG ⊥BD ，BF ⊥AC ，
∴∠AGD=∠BFC=90°，
在△AGD 和△BFC 中，
∠AGD=∠BFC ，∠ADG=∠BCA ，AD=BC
∴△AGD ≌△BFC （AAS ），
∴AG=BF ，
在Rt △ABG 和Rt △BAF 中，
AB BA AG BF =⎧⎨=⎩
∴Rt △ABG ≌Rt △BAF （HL ），
∴∠ABD=∠BAC ，
∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠EDB+∠ECA=180°，
∴∠AEB+∠DHC=180°，
∵∠DHC+∠BHC=180°，
∴∠AEB=∠BHC ．
∵∠BHC=∠BAC+∠ABD ，∠ABD=∠BAC ，
∴∠ABD=∠BAC=12
∠AEB ． 【点睛】 本题以新定义互补等对边四边形为载体，主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与三角形的外角性质以及四边形的内角和等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
14．（1）AE DB =，理由详见解析；（2）AE DB =，理由详见解析；（3）3或1
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质、三线合一的性质证明即可；
（2）根据等边三角形的性质，证明△EFC ≌△DBE 即可；
（3）注意区分当点E 在AB 的延长线上时和当点E 在BA 的延长线上时两种情况，不要遗漏．
【详解】
解：（1）AE DB =，理由如下：
ED EC =，
EDC ECD ∴∠=∠
∵△ABC 是等边三角形，60ACB ABC ∠=∠=︒∴，
点E 为AB 的中点，
1302
ECD ACB ∴︒∠=∠=，30EDC ∠=︒∴，30D DEB ∠=∠=︒∴， DB BE ∴=，
AE BE =，
AE DB ∴=；
故答案为：=；
（2）AE DB =，理由如下：
如图3：
∵△ABC 为等边三角形，且EF ∥BC ，
60AEF ABC ∠=∠=︒∴，60AFE ACB ∠=∠=︒，FEC ECB ∠=∠；
120EFC DBE ∠=∠=︒∴；
ED EC =，D ECB ∴∠=∠，D FEC ∠=∠，
在△EFC 与△DBE 中，
FEC D EFC DBE EC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△EFC ≌△DBE （AAS ），
EF DB ∴=
60AEF AFE ∠=∠=︒，
∴△AEF 为等边三角形，
AE EF ∴=，
AE BD ∴=．
（3）①如图4，当点E 在AB 的延长线上时，过点E 作EF ∥BC ，交AC 的延长线于点F ：
则DCE CEF ∠=∠，DBE AEF ∠=∠；
ABC AEF ∠=∠，ACB AFE ∠=∠；
∵△ACB 为等边三角形，
60ABC ACB ∴∠=∠=︒，60AEF AFE ∴∠=∠=︒，60DBE ABC ∠=∠=︒， DBE EFC ∴∠=∠；而ED EC =，
D DC
E ∴∠=∠，D CE
F ∠=∠；
在△FEC 和△BDE 中，
FEC D EFC DBE EC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△FEC ≌△BDE （AAS ），EF BD ∴=；
∵△AEF 为等边三角形，2AE EF ∴==，2BD EF ==，
123CD ∴=+=；
②如图5，当点E 在BA 的延长线上时，过点E 作EF ∥BC ，交CA 的延长线于点F ：
类似上述解法，同理可证：2DB EF ==，1BC =，
211CD =-=∴．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质．熟练掌握等边三角形的性质，构造合适的全等三角形是解题的关键．
15．（1）5；
（2）
95； （3）78
【解析】
【分析】
（1）仿照材料一，取倒数，再约分，利用等式的性质求解即可；
（2）仿照材料二，设
5a ＝2b ＝3c ＝k （k ≠0），则a ＝5k ，b ＝2k ，c ＝3k ，代入所求式子即可；
（3）本题介绍两种解法：
解法一：（3）解法一：设yz bz cy +＝zx cx az +＝xy ay bx +＝1k
（k ≠0），化简得：b c k y z +=①，c a k z x +=②，a b k x y +=③，相加变形可得x 、y 、z 的代入222222
x y z a b c ++++＝1k
中，可得k 的值，从而得结论； 解法二：取倒数得：
bz cy yz +＝cx az zx +＝ay bx xy +，拆项得b c c a a b y z z x x y +=+=+，从而得x ＝ay b ，z ＝cy b
，代入已知可得结论． 【详解】
解：（1）∵21x x x -+＝14
， ∴21x x x
-+＝4， ∴x ﹣1+
1x ＝4， ∴x +1x
＝5； （2）∵设
5a ＝2b ＝3c ＝k （k ≠0），则a ＝5k ，b ＝2k ，c ＝3k ， ∴342b c a +＝61210k k k +＝1810＝95
；
（3）解法一：设yz bz cy +＝zx cx az +＝xy ay bx +＝1k
（k ≠0）， ∴b c k y z +=①，c a k z x
+=②，a b k x y +=③， ①+②+③得：2（
b c a y z x ++）＝3k ， b c a y z x ++＝32
k ④， ④﹣①得：
a x ＝12k ， ④﹣②得：
12b k y =， ④﹣③得：12
c z =k ， ∴x ＝2a k ，y ＝2b k ，z ＝2c k 代入222
222x y z a b c
++++＝1k 中，得： ()
2222222
4a b c k a b c ++++＝1k ， 241k k =， k ＝4，
∴x ＝24a ，y ＝24b ，z ＝24
c ， ∴xyz ＝864abc ＝8764⨯＝78
； 解法二：∵yz zx xy bz cy cx az ay bx
==+++， ∴bz cy cx az ay bx yz zx xy
+++==， ∴b c c a a b y z z x x y
+=+=+， ∴,b a c b y x z y
==， ∴,ay cy x z b b
==，
将其代入222222zx x y z cx az a b c ++=+++中得： cy ay b b acy acy b b
⋅+＝2222
222222
a y c y y
b b a b
c ++++ 2y b ＝2
2y b ，y ＝2
b ， ∴x ＝22
ab a b =，z ＝cy 2y ＝2c ， ∴xyz ＝
222a b c ⋅⋅＝78． 【点睛】
本题考查了以新运算的方式求一个式子的值，题目中涉及了求一个数的倒数，约分，等式的基本性质，求代数式的值，解决本题的关键是正确理解新运算的内涵，确定一个数的倒数并能够根据等式的基本性质将原式变为能够进一步运算的式子.
16．（1）2；（2）4
【解析】
【分析】
（1）根据题意可直接求等腰直角三角形EAC 的面积即可；
（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，由（1）易证FGH FNK ≌，则有FK=FH ，因为HM=GH+MN 易证FMK FMH ≌，故可求解．
【详解】
（1）由题意知21=22
ABC ADC ABC ABE AEC ABCD AC S S
S S S S =+=+==四边形， 故答案为2；
（2）延长MN 到K ，使NK=GH ，连接FK 、FH 、FM ，如图所示：
FG=FN=HM=GH+MN=2cm ，∠G=∠N=90°，
∴∠FNK=∠FGH=90°，∴FGH FNK ≌，
∴FH=FK ，
又FM=FM ，HM=KM=MN+GH=MN+NK ，
∴FMK FMH ≌，
∴MK=FN=2cm ，。