(完整版)“化折为直”的数学思想解题方法汇总(包含“将军饮马”,“费马点”,“胡不归题”,“阿氏圆”

“化折为直”的数学思想解题方法汇总
古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归题”，“阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？今天我们就根据问题的不同特点来研究一下相应的应对策略。

知识和方法
知识：
1.两点之间线段最短；
2.三角形的两边之和大于第三边；
3.点到直线之间的距离垂线段最短；两条平行线之间垂线段最短。

方法：
1.通过轴对称变换转化；
2.通过旋转变换转化；
3.通过平移转换转化；
4.通过构造全等三角形转化
分类探索:
、不做任何变换
1_二在四边形ABCD
中,ABnCD r AB=AD=BC=2,zC=zD=60\点P为四边形PB^PC+PD的最小值为
B
C 方法策略：
像第1题这样的题目，不用做任何几何变换，可直接用两边之和大于第三边，三点共线时，两条线段和等于第三条线段。

二、先做轴对称变换
1•如网』若点儿日圧直妊皿同傭,在直匪祖上求律一点从使AP5的
信最小，保雷作圏痕迹.平写作法；
■0
2°如SL疋方^AECD^边长为1T」凶是AS±—侖BE=5,卩星对
角经』&上一团点'则PLflPE
的最小值足/TH.
：1如图「在Z1A2JC中.AC=2VC=2a ZAC^=90\
D是毗愆的中点「E是占R上的一动点「MFC
的聂护直是・
方法策略：
以上这些题目，都是常见的将军饮马类问题，采用的解题策略是先做轴对称变换，再用两点之间线段最短，或者是点到直线之间的距离垂线段最短，或者用两边之和大于等于第三边（共线时取等号），此类问题可以总结为：化折为直，化直为垂。

三、先做旋转变换
L,回KAB3中,A3=4,BC=6r点卩是矩形
內部-动点.PE丄AA分别谨f£PB和PC・求PE#PB+PC的最小值口
AE
2.如匿・已知在-AB匚中=zAca=90°■AC-1.
BC=v.i点。

是三角形ABC内一点.连接0久08.OC f SzAOB=^0OC=^AO匚二
12F f10
OA+OB+OC的值°
C
方法策略：
这两道题目，采用的解题策略和费马点类问题类似，都是先做旋转变换，我们把有公共端点的三条线段称为星型摆放的线段，通过旋转60°产生等边三角形，从而将星型摆放的线段转化成首尾相连的线段，然后再利用两点之间线段最短，此类问题可以总结为：化星为折，化折为直。

如果有动点出现，后面再加上化直为垂。

四、先做平移变换 D
D
C
1如图.已知中，AB^9.ADN *E 、FJgB 上的两伞动
点"且FF 金,点归在点F 的左侧,则四边形AEF B 周
怅的最dMl 是*
丄•如I®「矩形ABCD 中，AB=4,BC=2.动点巳F
片刖?SA 比5上」BEFxA 匚.连侵EC,FA ,S
EOFAffi 最小匾
方法策略:
这两道题目，采用的解题策略先做平移变换，把两条分离的线段首尾相接起来，然后再利用两点之间线段最短，此类问题被称为沿河饮马问题。

五、先通过动点的直线轨迹作轴对称变换
1.如囲,JSJ&ABCD中「AA5.BC二3,动点卩
满足'二可‘西迪形朋匸7>£l|PA+FB的最小<1为
0C
B A 2-如国+在IE 方形ABCD 中,AB=5r 点E.G 分别边A0B
C 的中点*连接A 占,作EF 丄AG 于点O r 交朋于点F ・如果点P 是正方形内一点,且贝MPAE 阖长晨小值为* 方法策略 这三道题目，采用的解题策略是先找出动点的轨迹，这种题目的轨迹是一条直线，然后再做轴对称变换，将这条直线同侧的两条线段转化到两侧去，最后再利用两点之间线段最短解决问题，此类问题被称为隐形将军饮马问题。

1如罔「在矩形ABCD 中「AB^15’AD=20.E.吩别BACftCB 上的两个动点,且AWCF ,这里题目比较少见，是先通过构造全等三角形，将两条线段重新拼接，再利用相似找出新图形之间的线段关系，利用两点之间线段最短解决问题。

解题思想方法;
1•常见的将军饮马类问题，采用的解题策略是先做轴对称变换，再用两点之间线段最短，或者是点到直线之间的距离垂线段最短，或者用两边之和大于等于第三边（共线时取等号），此类问题可以总结为：化折为直，化直为垂。

2•对于星型分布的三条线段，都是先做旋转变换，我们把有公共端点的三条线段称为星型摆放的线段，通过旋转60°产生等边三角形，从而将星型摆放的线段转化成首尾相连的线段，然后再利用两点之间线段最短，此类问题可以总结为：化星为折，化折为直。

如果有动点出现，后面再加上化直为垂。

3•有些题目需要先做平移变换，把两条分离的线段首尾相接起来，然后再利用两点之间线段最短，此类问题被称为沿河饮马问题。

4•有些题目是先找出动点的轨迹，这种题目的轨迹是一条直线，然后再做轴对
六、先构造全等
B
D
C
求DE +DF 的最小
値。

方法策略:
称变换，将这条直线同侧的两条线段转化到两侧去，最后再利用两点之间线段最短解决问题，此类问题被称为隐形将军饮马问题。

5•有些题目是先通过构造全等三角形，将两条线段重新拼接，再利用相似找出新图形之间的线段关系，利用两点之间线段最短解决问题。