镇宁布依族苗族自治县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

镇宁布依族苗族自治县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为 1的半圆，则其侧视图的面积是（ ）
A ．
B ．
C ．1
D ．
2． 函数2
1()ln 2
f x x x ax =+
+存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞
【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力．
3． 设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则=（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ．
4． 若等边三角形ABC 的边长为2，N 为AB 的中点，且AB 上一点M 满足CM xCA yCB =+， 则当
14
x y
+取最小值时，CM CN ⋅=（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 5． 设函数()()21x
f x e
x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数，使得()0f t <，则的
取值范围是（ ） A ．3,12e ⎡⎫-
⎪⎢⎣⎭ B ．33,24e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,24e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
1111] 6． 设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，m ∥α，则l ∥α；
③若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，n ∥β，则l ∥m ．
其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
7． 已知函数f （x ）=Asin （ωx ﹣
）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2 的等边三角
形，为了得到g （x ）=Asin ωx 的图象，只需将f （x ）的图象（ ）
A ．向左平移个长度单位
B ．向右平移个长度单位
C ．向左平移
个长度单位 D ．向右平移
个长度单位
8． 四棱锥P ﹣ABCD 的底面是一个正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=2，E 是棱PA 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 设函数y=的定义域为M ，集合N={y|y=x 2
，x ∈R}，则M ∩N=（ ） A ．∅
B ．N
C ．[1，+∞）
D ．M
10．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是（ ） A ．21n a n n =-+ B ．(1)2n n n a -= C ．(1)
2
n n n a += D ．21n a n =+ 11．已知函数
，，若，则（ ）
A1 B2 C3 D-1
12．设a=0.5，b=0.8，c=log 20.5，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）
A ．c ＜b ＜a
B ．c ＜a ＜b
C ．a ＜b ＜c
D ．b ＜a ＜c
二、填空题
13．已知变量x ，y ，满足，则z=log 4（2x+y+4）的最大值为
．
14．设函数 则______；若，，则的大小
关系是______．
15．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数()2
f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）的导函数为()f x '，
对任意x R ∈，不等式()()f x f x ≥'恒成立，则222
b a c
+的最大值为__________． 16
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．
17．在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ=sin θ与ρcos θ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为 ．
18．过椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则
椭圆的离心率为 ．
三、解答题
19．由四个不同的数字1，2，4，x 组成无重复数字的三位数． （1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？ （2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？
（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？
（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x ．
20．对于任意的n ∈N *，记集合E n ={1，2，3，…，n}，P n
=
．若集合A 满足下
列条件：①A ⊆P n ；②∀x 1，x 2∈A ，且x 1≠x 2，不存在k ∈N *，使x 1+x 2=k 2，则称A 具有性质Ω． 如当n=2时，E 2={1，2}，P 2=．∀x 1，x 2∈P 2，且x 1≠x 2，不存在k ∈N *，使x 1+x 2=k 2，
所以P 2具有性质Ω．
（Ⅰ）写出集合P 3，P 5中的元素个数，并判断P 3是否具有性质Ω． （Ⅱ）证明：不存在A ，B 具有性质Ω，且A ∩B=∅，使E 15=A ∪B ． （Ⅲ）若存在A ，B 具有性质Ω，且A ∩B=∅，使P n =A ∪B ，求n 的最大值．
21．（本小题满分13分）
在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB DC ，2
ABD π
∠=
，AD =22AB DC ==，F
为PA 的中点．
（Ⅰ）在棱PB 上确定一点E ，使得//CE 平面PAD ；
（Ⅱ）若PA PB PD ===P BDF -的体积．
A
B
C
D
P
F
22．实数m 取什么数值时，复数z=m+1+（m ﹣1）i 分别是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
23．（本题满分12分）为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问 卷调查，得到了如下的22⨯
（1（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率.
（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量2
K ，判断心肺疾病与性别是否有关？
（参考公式：)
)()()(()(2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=）
24．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 为数列{}n a 的前项和，111a b ==，且3336b S =，
228b S =（*n N ∈）．
（1）求n a 和n b ； （2）若1n n a a +<，求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬⎩⎭
的前项和n T ．
镇宁布依族苗族自治县第一高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考
答案）
一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，
又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，
∴半圆锥的底面半径为1，高为
，
即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，
故侧视图的面积是，
故选：B ．
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
2． 【答案】D 【解析】因为1
()f x x a x
'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程13x a x ++=（0x >）有解，
因为1
2x x
+
?，所以1a £，故选D ． 3． 【答案】C
【解析】解：由于q=2，
∴
∴
；
故选：C ．
4． 【答案】D 【解析】
试题分析：由题知(1)CB BM CM CB xCA y =-=+-，BA CA CB =-；设B
M k B A =，则,1x k y k =-=-，
可得1x y +=，当
14x y +取最小值时，()141445x y
x y x y x y y x
⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，最小值在4y x x y =时取到，此时21,33y x ==，将()
1
,CN 2
CM xCA yCB CA CB =+=
+代入，则()22111233322233x y CM CN xCA yCB CA CB x y +⎛⎫
⋅=++⋅=+=+= ⎪⎝⎭
.故本题答案选D.
考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式． 5． 【答案】D 【解析】
考
点：函数导数与不等式．1 【思路点晴】本题主要考查导数的运用，涉及划归与转化的数学思想方法.首先令()0f x =将函数变为两个函
数()()()21,x
g x e x h x ax a =-=-，将题意中的“存在唯一整数，使得()g t 在直线()h x 的下方”，转化为
存在唯一的整数，使得()g t 在直线()h x ax a =-的下方.利用导数可求得函数的极值，由此可求得m 的取值
范围.
6． 【答案】 B
【解析】解：∵①若m ∥l ，m ⊥α，
则由直线与平面垂直的判定定理，得l ⊥α，故①正确； ②若m ∥l ，m ∥α，则l ∥α或l ⊂α，故②错误； ③如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中， 平面ABB 1A 1∩平面ABCD=AB ， 平面ABB 1A 1∩平面BCC 1B 1=BB 1， 平面ABCD ∩平面BCC 1B 1=BC ， 由AB 、BC 、BB 1两两相交，得：
若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，则l ∥m ∥n 不成立，故③是假命题； ④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，n ∥β，
则由α∩γ=n 知，n ⊂α且n ⊂γ，由n ⊂α及n ∥β，α∩β=m ， 得n ∥m ，同理n ∥l ，故m ∥l ，故命题④正确． 故选：B ．
【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
7．【答案】A
【解析】解：∵△EFG是边长为2的正三角形，
∴三角形的高为，即A=，
函数的周期T=2FG=4，即T==4，
解得ω==，
即f（x）=Asinωx=sin（x﹣），g（x）=sin x，
由于f（x）=sin（x﹣）=sin[（x﹣）]，
故为了得到g（x）=Asinωx的图象，只需将f（x）的图象向左平移个长度单位．
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用函数的图象确定函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．
8．【答案】B
【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0），
=（﹣2，0，1），=（2，2，0），
设异面直线BE与AC所成角为θ，
则cosθ===．
故选：B．
9． 【答案】B
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，解得x ≥﹣1， ∴函数的定义域M={x|x ≥﹣1}；
∵集合N 中的函数y=x 2
≥0，
∴集合N={y|y ≥0}， 则M ∩N={y|y ≥0}=N ． 故选B
10．【答案】C 【解析】
试题分析：可采用排除法，令1n =和2n =，验证选项，只有(1)
2
n n n a +=，使得121,3a a ==，故选C ． 考点：数列的通项公式． 11．【答案】A
【解析】g （1）=a ﹣1， 若f[g （1）]=1， 则f （a ﹣1）=1， 即5|a ﹣1|=1，则|a ﹣1|=0， 解得a=1 12．【答案】B
【解析】解：∵a=0.5
，b=0.8
，
∴0＜a＜b，
∵c=log20.5＜0，
∴c＜a＜b，
故选B．
【点评】本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题．二、填空题
13．【答案】
【解析】解：作的可行域如图：
易知可行域为一个三角形，
验证知在点A（1，2）时，
z1=2x+y+4取得最大值8，
∴z=log4（2x+y+4）最大是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
14．【答案】，
【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数
【试题解析】
，因为
，所以 又若
，结合图像知：
所以：。

故答案为：，
15．
【答案】2
【解析】试题分析：根据题意易得：()'2f x ax b =+，由()()'f x f x ≥得：()2
20ax b a x c b +-+-≥在R
上恒成立，等价于：0{ 0a >≤，可解得：()22444b ac a a c a ≤-=-，则：22
2222241441c b ac a a
a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
，
令1,(0)c t t a =->
，24422222t y t t t t
==≤=++++，故22
2b a c +
的最大值为2． 考点：1.函数与导数的运用;2.恒成立问题;3.基本不等式的运用
16．【答案】 8 升．
【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8． 故答案是：8．
17．【答案】 （1，2） ．
【解析】解：由2ρcos 2θ=sin θ，得：2ρ2cos 2
θ=ρsin θ，
即y=2x 2
．
由ρcos θ=1，得x=1．
联立
，解得：
．
∴曲线C 1与C 2交点的直角坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查了方程组的解法，是基础题．
18．【答案】
．
【解析】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），
∵∠F1PF2=60°，
∴=，
即2ac=b2
=（a2﹣c2）．
∴e2+2e﹣=0，
∴e=或e=﹣（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】
【专题】计算题；排列组合．
【分析】（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；
（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值．
【解答】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；
又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，
在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，
即能被5整除的三位数共有6个；
（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；
又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，
取出的三个数字为1、2、9时，有A33=6种情况，
取出的三个数字为2、4、9时，有A33=6种情况，
则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；
（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；
又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，
当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，
当末位是2或4时，有A21×A21×A21=8种情况，
此时三位偶数一共有6+8=14个，
（4）若x=0，可以组成C31×C31×C21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，
则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，
故x=0不成立；
当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，
则每个数字用了=18次，
则有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7．
【点评】本题考查排列知识，解题的关键是正确分类，合理运用排列知识求解，第（4）问注意分x为0与否两种情况讨论．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合E n={1，2，3，…，n}，P n=．
∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，
∵集合A满足下列条件：①A⊆P n；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，
∴P3不具有性质Ω．…..
证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}．
因为1∈E15，所以1∈A∪B，
不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．
同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾．
所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..
解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆P n，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使P n=A∪B．若n=14，当b=1时，，
取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，
则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1．
当b=4时，集合中除整数外，其余的数组成集合为
，
令，，
则A 2，B 2具有性质Ω，且A 2∩B 2=∅，使．
当b=9时，集
中除整数外，其余的数组成集合
，
令
，
．
则A 3，B 3具有性质Ω，且A 3∩B 3=∅，使
．
集合
中的数均为无理数，
它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A 1∪A 2∪A 3∪C ，B=B 1∪B 2∪B 3，则A ∩B=∅，且P 14=A ∪B ． 综上，所求n 的最大值为14．…..
【点评】本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．
21．【答案】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当E 为PB 的中点时，//CE 平面PAD ． （1分） 连结EF 、EC ，那么//EF AB ，1
2
EF AB =． ∵//DC AB ，1
2
DC AB =
，∴//EF DC ，EF DC =，∴//EC FD ． （3分） 又∵CE ⊄平面PAD ， FD ⊂平面PAD ，∴//CE 平面PAD ． （5分）
（Ⅱ）设O 为AD 的中点，连结OP 、OB ，∵PA PD =，∴OP AD ⊥， 在直角三角形ABD 中，1
2
OB AD OA =
=, 又∵PA PB =，∴PAO PBO ∆≅∆，∴POA POB ∠=∠,∴OP OB ⊥，
∴OP ⊥平面ABD ． （10分）
2222(6)(2)2PO PA AO =-=-=，222BD AD AB =-=
∴三棱锥P BDF -的体积1112
222233
P BDF P ABD V V --=
=⨯⨯⨯=． （13分）
22．【答案】 【解析】解：（1）当m ﹣1=0，即m=1时，复数z 是实数； （2）当m ﹣1≠0，即m ≠1时，复数z 是虚数；
（3）当m+1=0，且m ﹣1≠0时，即m=﹣1时，复数z 是纯虚数． 【点评】本题考查复数的概念，属于基础题．
23．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查统计中的相关分析、概率中的古典概型，突出了统计和概率知识的交汇，对归纳、分析推理的能力有一定要求，属于中等难度
.
24．【答案】（1）21n a n =-，12n n b -=或1(52)3n a n =
-，16n n b -=；（2）21
n n +. A
B
C
D
P
O
E F
【解析】
试题解析：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为，
由题意得2(33)36,(2)8,q d q d ⎧+=⎨+=⎩解得2,2,d q =⎧⎨=⎩或2,
36.d q ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
∴21n a n =-，12n n b -=或1
(52)3
n a n =-，16n n b -=．
（2）若+1n n a a <，由（1）知21n a n =-，
∴111111()(21)(21)22121
n n a a n n n n +==--+-+， ∴111111(1)2335212121
n n
T n n n =-+-++-=-++…．
考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用.。