旋转中的等腰直角三角形

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专题01 旋转中的三种全等模型(手拉手、半角、对角互补模型)(解析版)

专题01 旋转中的三种全等模型（手拉手、半角、对角互补模型）本专题重点分析旋转中的三类全等模型（手拉手、半角、对角互补模型），结合各类模型展示旋转中的变与不变，并结合经典例题和专项训练深度分析基本图形和归纳主要步骤，同时规范了解题步骤，提高数学的综合解题能力。

模型1.手拉手模型【模型解读】将两个三角形（或多边形）绕着公共顶点旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等。

其中：公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。

手拉模型解题思路：SAS型全等（核心在于导角，即等角加（减）公共角）。

1）双等边三角形型条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。

2）双等腰直角三角形型条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。

结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。

3）双等腰三角形型条件：△ABC 和△DCE 均为等腰三角形，C 为公共点；连接BE ，AD 交于点F 。

结论：①△ACD ≌△BCE ；②BE =AD ；③∠ACM =∠BFM ；④CF 平分∠AFD 。

4）双正方形形型条件：△ABCFD 和△CEFG 都是正方形，C 为公共点；连接BG ，ED 交于点N 。

结论：①△△BCG ≌△DCE ；②BG =DE ；③∠BCM =∠DNM=90°；④CN 平分∠BNE 。

例1．（2022·黑龙江·中考真题）ABC V 和ADE V 都是等边三角形．(1)将ADE V 绕点A 旋转到图①的位置时，连接BD ，CE 并延长相交于点P （点P 与点A 重合），有PA PB PC +=（或PA PC PB +=）成立；请证明．(2)将ADE V 绕点A 旋转到图②的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE V 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：PB PA PC =+，证明见解析 (3)图③结论：PA PB PC+=【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE V V ≌（SAS ），得ABD ACE Ð=Ð，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF Ð=Ð，AF AP =，然后证明AFP V 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE V V ≌（SAS ），得ABD ACE Ð=Ð，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP Ð=Ð，AP AF =，然后证明AFP V 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，∴PA PB PC +=或PA PC PB +=；(2)解：图②结论：PB PA PC=+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，∵ABC V 和ADE V 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE Ð=Ð=°∴BAC CAD DAE CAD Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，∴BAD CAE V V ≌（SAS ），∴ABD ACE Ð=Ð，∵AC =AB ，CP =BF ， ∴CAP BAF ≌△△（SAS ），∴CAP BAF Ð=Ð，AF AP =，∴CAP CAF BAF CAF Ð+Ð=Ð+Ð，∴60FAP BAC Ð=Ð=°，∴AFP V 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PC PF BF PB +=+=；(3)解：图③结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，∵ABC V 和ADE V 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE Ð=Ð=°∴BAC BAE DAE BAE Ð+Ð=Ð+Ð，∴BAD CAE Ð=Ð，∴BAD CAE V V ≌（SAS ），∴ABD ACE Ð=Ð，∵AB =AC ，BP =CF ，∴BAP CAF ≌△△（SAS ），∴CAF BAP Ð=Ð，AP AF =，∴BAF BAP BAF CAF Ð+Ð=Ð+Ð，∴60FAP BAC Ð=Ð=°，∴AFP V 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PB PF CF PC +=+=，即PA PB PC +=．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键．例2．（2023·湖南·长沙市八年级阶段练习）如图1，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4，点D ，E 分别为边AB ，BC 上的中点，且BD ＝BE ．(1)如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转任意角度α，连接AD ，EC ，则线段EC 与AD 的关系是；(2)如图3，DE ∥BC ，连接AE ，判断△EAC 的形状，并求出EC 的长；(3)继续旋转△BDE ，当∠AEC ＝90°时，请直接写出EC 的长．例3．（2023·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB ＝90°，F 为AB 边的中点，且DF =EF ，∠DFE ＝90°，D 是BC 上一个动点．如图1，当D 与C 重合时，易证：CD 2＋DB 2＝2DF 2；（1）当D 不与C 、B 重合时，如图2，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（2）当D 在BC 的延长线上时，如图3，CD 、DB 、DF 有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．【答案】（1）CD 2+DB 2=2DF 2 ；（2）CD 2+DB 2=2DF 2，证明见解析【分析】（1）由已知得222DE DF =，连接CF ，BE ，证明CDF BEF D @D 得CD =BE ，再证明BDE D 为直角三角形，由勾股定理可得结论；（2）连接CF ，BE ，证明CDF BEF D @D 得CD =BE ，再证明BDE D 为直角三角形，由勾股定理可得结论．【详解】解：（1）CD 2+DB 2=2DF 2证明：∵DF =EF ，∠DFE ＝90°，∴222DF EF DE += ∴222DE DF = 连接CF ，BE ，如图∵△ABC 是等腰直角三角形，F 为斜边AB 的中点∴CF BF =，CF AB ^，即90CFB Ð=° ∴45FCB FBC Ð=Ð=°，90CFD DFB Ð+Ð=°又90DFB EFB Ð+Ð=° ∴CFD EFB Ð=Ð在CFD D 和BFE D 中CF BF CFD BFE DF EF =ìïÐ=Ðíï=î∴CFD D @BFED ∴CD BE =，45EBF FCB Ð=Ð=° ∴454590DBF EBF Ð+Ð=°+°=° ∴222DB BE DE +=∵CD BE =，222DE DF =∴CD 2+DB 2=2DF 2 ；（2）CD 2+DB 2=2DF 2 证明：连接CF 、BE∵CF =BF ，DF =EF 又∵∠DFC +∠CFE =∠EFB +∠CFB=90°∴∠DFC =∠EFB ∴△DFC ≌△EFB ∴CD =BE ，∠DCF =∠EBF =135°∵∠EBD =∠EBF －∠FBD =135°－45°=90° 在Rt △DBE 中，BE 2+DB 2=DE 2∵ DE 2=2DF 2 ∴ CD 2+DB 2=2DF 2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、证明三角形全等是解决问题的关键，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．例4．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.(1)问题发现：如图1，若ABC V 和ADE V 是顶角相等的等腰三角形，BC ，DE 分别是底边.求证：BD CE =；(2)解决问题：如图2，若ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，点A ，D ，E 在同一条直线上，CM 为DCE V 中DE 边上的高，连接BE ，请判断∠AEB 的度数及线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系并说明理由.图1 图2【答案】(1)见解析 (2)90DCE Ð=°；2AE AD DE BE CM=+=+【分析】（1）先判断出∠BAD =∠CAE ，进而利用SAS 判断出△BAD ≌△CAE ，即可得出结论；（2）同（1）的方法判断出△BAD ≌△CAE ，得出AD =BE ，∠ADC =∠BEC ，最后用角的差，即可得出结论．【解析】(1)证明：∵ABC V 和ADE V 是顶角相等的等腰三角形，∴AB AC =，AD AE =，BAC DAE Ð=Ð，∴BAC CAD DAE CAD Ð-Ð=Ð-Ð，∴BAD CAE Ð=Ð．在BAD V 和CAE V 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BAD CAE SAS ≌△△，∴BD CE =．(2)解：90AEB =°∠，2AE BE CM =+，理由如下：由（1）的方法得，≌ACD BCE V V ，∴AD BE =，ADC BEC ÐÐ=，∵CDE △是等腰直角三角形，∴45CDE CED Ð=Ð=°，∴180135ADC CDE Ð=°-Ð=°，∴135BEC ADC Ð=Ð=°，∴1354590AEB BEC CED Ð=Ð-Ð=°-°=°．∵CD CE =，CM DE ^，∴DM ME =．∵90DCE Ð=°，∴DM ME CM ==，∴2DE CM =．∴2AE AD DE BE CM =+=+．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形的性质，判断出△ACD ≌△BCE 是解本题的关键．3）15°模型2.半角模型【模型解读】半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④D AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。

等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题(精华)

3、△DAC,△EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N,求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3)△CMN为等边三角形（4）MN∥BC
4、已知：如图1，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都Байду номын сангаас等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．(1)求证：AN=BM；(2)求证：△CEF为等边三角形；
（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．
（3）此小题图形不惟一，如图第（1）中的结论仍成立．（4）根据以上证明、说理、画图，归纳如下：如图A，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE．
2、如图，和都是等边三角形，，试说明：（综合全等和勾股定理）
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90 O，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）．
5、如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形。下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=600,⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD。其中正确的有（）
（1）当直线MN绕点C旋转到图1位置时，求证：① ；② ；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2位置时，试问：DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
（3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时，试问：DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
2．（1）如图1，若点P为正方形ABCD边上一点，以PA为一边作正方形AEFP，连BE、DP，并延长DP交BE于点H．求证：．
A 3个B 4个C 5个D 6个

等腰直角三角形的旋转

（图1）（图2）（图3）等腰直角三角形的旋转1.如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，以BC 为边作等腰Rt △BCD ，连接AD ，把△ACD 绕D 点，逆时针方向旋转900，得到△EBD 。

（1）画出△EBD ；（2）当BC=4时，连接AE ，求△ABE 的面积；（3）当BC 的长度发生变化时，请直接写出AD 长的取值范围。

(备用图）2.(1)如图1， △ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，求证：△ACD ≌△BCE.(2) 如图2，将图1中△DCE 绕点C 逆时针旋转n °(0＜n ＜45)，使∠BED=90°，又作△DCE 中DE 边上的高CM ，请完成图2，并判断线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，在正方形ABCD 中，CD=5，若点P 满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A 到BP 的距离．3.如图(1)，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =AB =4， D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE 绕点A 逆时针旋转，得到等腰Rt△AD 1E 1，如图(2)，设旋转角为α（0<α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）求证：BD 1= CE 1；（2）当∠=1CPD 2∠1CAD 时，求1CE 的长；（3）连接PA,PAB ∆面积的最大值为．（直接填写结果）4.在等腰Rt △ABC 和等腰Rt △A 1B 1C 1中,斜边B 1C 1中点O 也是BC 的中点。

(1)如图1，则AA 1与CC 1的数量关系是；位置关系是。

(2)如图2，将△A 1B 1C 1绕点O 顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。

(3)如图3，在（2）的基础上，直线AA 1、CC 1交于点P ，设AB=4，则PB 长的最小值是。

中考数学常见的几种旋转模型

旋转常见模型一、遇60°旋转60°，构造等边三角形1、点P 是等边△ABC 内一点，且PC =3，PB =4，PA =5。

求∠BPC 的度数。

2、如图6-2，P 是等边ABC ∆外一点，若345PA PB PC ===,,，求APB ∠的度数。

图6-23、（2018年广州市节选）如图，在四边形 ABCD 中,∠B = 60︒ ,∠D = 30︒ ,AB = BC .（1）∠A +∠C = ° （2）连接 BD ，探究 AD ， BD ， CD 三者之间的数量关系，并说明理由．二、遇90°旋转90°，构造等腰直角三角形1、如图，在正方形ABCD内部有一点P，PA=5，PB=2，PC=1，求∠BPC的度数。

2、在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,P是△ABC内一点,PA＝2,PB＝1,PC＝3,求∠APB的度数.三、遇等腰旋转顶角，构造旋转全等FED CBA GABCDEABCDEF1、在ABC △中，AB AC =，BAC α∠=（060α︒<<︒），将线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ．（1）如图1，直接写出ABD ∠的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，15060BCE ABE ∠=︒∠=︒，，判断ABE △的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE ，若45DEC ∠=︒，求α的值．四、半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

秘籍：角含半角要旋转：构造两次全等FED CBAG FED CBA1、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠EAF=45°连接EF ．求证：EF=BE+DF ．（2016·徐州）如图，正方形的边长为2，点，分别在边，上，若EBF ∠=︒，则∆的周长等于．A BC D E F2、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠EAF=45°连接AD ，与AE 、AF 分别交于M 、N ，求证：MN 2=BM 2+DM 23、如图，在正方形ABCD 的边长为2，点E ，点F 分别在边AD,CD 上，若∠EBF=45°,则△EDF 的周长等于。

旋转第二篇：两个等腰直角三角形

旋转试题篇：抓基本图形，看变化接着上一篇旋转，这篇选取其中一个特例---等腰直角三角形进行讲解。

如图，△ABC和三角形ADE为等腰直角三角形，△ABC固定不动，△ADE绕顶点A顺时针旋转。

不难想象，△ADE的顶点旋转轨迹如图乙所示：D、E始终在在以点A为圆心、AD长为半径的圆上，且长度不变。

图甲图乙在旋转的过程中，我们发现，△ADE的位置可以大致分为三种情况：情况①：一边在△ABC内一边在△ABC外，如图1所示：情况②：一边在△ABC上，如图2所示：情况③：两边都在△ABC外，如图3所示：图1图2图3这三种情况，几何题中，是很常见的，且贯穿整个初中。

请看题：一、对接情况①的常考题。

【题1】⑴问题发现：如图⑴，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直线上，连接BE。

填空，∠AEB的度数为；线段AD,BE之间的数量关系为；⑵拓展探究如图⑵，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。

请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由。

【题2】如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．（1）求证：△APE是等腰直角三角形；（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．二、对接情况②的常考题。

【题3】在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上的一点，点E在BC上，且AE=CF；⑴求证：Rt△ABE≌Rt△CBF;⑵若∠CAE=30°，求∠ACF的度数。

【题4】如图所示，H是△ABC的高AD,BE的交点，且DH=DC，则下列结论：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中，正确的有。

三、对接情况③的常考题。

【题5】如图①，已知△ABC，以△ABC的边AB、AC为边，分别向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接CD、BE、DE。

基础训练(二)等腰直角三角形的旋转

基础训练（二）等腰直角三角形的旋转[直角对直角]1、如图1，在等腰Rt△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE//BC，若将△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置。

（1）点M、P、N分别是DE、DC、BC的中点，连接MN、PM、PN，判断△PMN的形状；（2）将△ADE绕A点在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，说明S△PMN的最大面积。

2、在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，AC=4，D、E分别为AB、AC的中点。

若Rt△ADE绕A 点逆时针旋转，得到△ADE，如图1，设旋转角为α（0<α<180°），记BD与CE交于P。

（1）探求BD、CE的数量关系和位置关系；（2）如图2，CE=2时，求α；[锐角对锐角]1、已知等腰直角三角形△ABC与△DEC中，CE=DE，AB=AC，∠CED=∠CAB=90°。

（1）将△DCE绕C点旋转至如图1位置，N是BD中点，试探求EN与AN的关系并证明；（2）如图2，M是CD的中点，BE交AM于F，求AM与BE的数量关系。

2、等腰直角三角形△ABC与△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，连接EC、BF，点D为BF中点，连接CD。

（1）如图1，当点E落在AB边上时，探求线段EC与CD的数量关系，并证明；（2）将△AEF绕点A顺时针旋转至图2位置，探求线段EC与CD的数量关系，并证明。

如图1，△ABC与△DCE均为等腰Rt△，∠BAC=∠DCE=90°，点O为DE中点，连AD，以AB、AD为邻边作平行四边形ABFD，连AF。

（1）当D在线段AC上时，如图1，判断线段AF与AO的数量关系和位置关系；（2）若AB=4，CE=2，在图1的基础上，将△CED绕C点继续逆时针旋转到某一位置如图2，此时平行四边形ABFD 为菱形，求AF的长度。

如图，AB垂直平分CD于O，AB=BC，E是BC延长线上一点，F为DB延长线上一点，连接AE、AF，∠EAF=∠EBF。

旋转中的最值问题方法

旋转中的最值问题方法一、三角形旋转中的最值问题。

题目1：在等腰直角三角形ABC中，∠ ACB = 90^∘，AC = BC=√(2)，将ABC绕点C逆时针旋转角α(0^∘<α<90^∘)得到A'B'C，连接A'B。

求A'B的最小值。

解析：1. 因为ABC绕点C旋转得到A'B'C，所以CA = CA'=√(2)。

2. 在A'CB中，根据余弦定理：A'B^2=A'C^2+BC^2- 2A'C· BC·cos(∠ A'CB)。

3. 由于∠ A'CB=∠ ACB+α = 90^∘+α，A'C = AC=√(2)，BC=√(2)。

4. 则A'B^2=2 + 2-2×√(2)×√(2)cos(90^∘+α)=4 + 4sinα。

5. 因为0^∘<α<90^∘，当sinα = 0（即α = 0^∘）时，A'B^2取得最小值4，所以A'B的最小值为2。

题目2：已知等边三角形ABC的边长为2，点D是边BC的中点，将ABD绕点A逆时针旋转得到ACE。

求线段DE的最大值。

解析：1. 因为ABD绕点A逆时针旋转得到ACE，所以AD = AE，∠ DAE=∠ BAC = 60^∘，所以ADE是等边三角形。

2. 点D是边BC的中点，在等边三角形ABC中，AD⊥ BC，根据勾股定理可得AD=√(3)。

3. 因为ADE是等边三角形，所以DE = AD=√(3)，DE的最大值就是√(3)。

题目3：在ABC中，AB = 3，AC = 4，∠ BAC = 60^∘，将ABC绕点A旋转，得到AB'C'。

求BC'的最大值。

解析：1. 由余弦定理可得BC=√(AB^2)+AC^{2-2AB· AC·cos∠ BAC}- 把AB = 3，AC = 4，∠ BAC = 60^∘代入可得：BC=√(9 + 16-2×3×4×frac{1){2}}=√(13)。

初中数学经典几何模型05-手拉手模型构造全等三角形(含答案)

初中数学经典几何模型专题05 手拉手模型构造全等三角形【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

【知识总结】【基本模型】一、等边三角形手拉手-出全等图1 图2图3 图4二、等腰直角三角形手拉手-出全等两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；图1图2图3图41、如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形，求证：△DAB≌△DCE;DA∥EC.2、已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连结AE,BD交于点O,AE与DC交于点0，AE与DC交于点M,BD与AC交于点N.3、已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？4、如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB=√2，AG=1，则EB=________________.5、已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点，点G、E分别在线段AD、AB上，若将正方形AEFG 绕点A按顺时针方向旋转，连接DG,在旋转的过程中，你能否找到一条线段的长与线段DG的长度始终相等？并说明理由。

6、已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC,AD=AE,点C、D、E三点在同一直线上，连接BD,BE.以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠BDC=45°；④BE2=2(AD2+AB2)其中结论正确的个数是_______【基础训练】1、已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）.以AD为边作等边三角形ADE,连接CE.如图1，当点D在边BC上时，求证：△ABD≌△ACE;直接判断结论BC=DC+CE是否成立（不需要证明）；如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC、DC、CE之间存在的数量关系，并写出证明过程.2、如图，△ACB与△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D为AB边上的一点.若DE=13，BD=12，求线段AB的长.3、如图，点A、B、C在一条直线上，△ABD,△BCE均为等边三角形，连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q，连接PQ,BM.下面结论：△ABE≌△DBC;∠DMA=60°；△BPQ为等边三角形；MB平分∠AMC.其中正确的有____________4、如图1，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M,连接CM.求证：BE=AD;用含α的式子表示∠AMB的度数；当α=90°时，取AD、BE的中点分别为点P、Q，连接CP,CQ,PQ,如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明.【巩固提升】1、已知△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BED＝90°，AB＝2BD，连接CE．（1）如图1，若点D在AB边上，点F是CE的中点，连接BF．当AC＝4时，求BF的长；（2）如图2，将图1中的△BDE绕点B按顺时针方向旋转，使点D在△ABC的内部，连接AD，取AD 的中点M，连接EM并延长至点N，使MN＝EM，连接CN．求证：CN⊥CE．2、如图，△ABC中AB＝AC＝5，tan∠ACB＝，点D为边BC上的一动点（不与点B、C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转得AE，使∠DAE＝∠BAC，DE与AB交于点F，连接BE．（1）求BC的长；（2）求证∠ABE＝∠ABC；（3）当FB＝FE时，求CD的长．3、如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．（1）求证：△BCD≌△ACE；（2）如图2，连接ED，若CD＝2，AE＝1，求AB的长；（3）如图3，若点F为AD的中点，分别连接EB和CF，求证：CF⊥EB．4、如图，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，连接AD、BE，点F为线段AD的中点，连接CF．（1）如图1，当D点在BC上时，试判断线段BE、CF的关系，并证明你的结论；（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变时，请探究BE、CF的关系并直接写出结论．5、如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：①当旋转角α的度数为时，则DB'∥AE；②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为．6、如图，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，∠MCN＝60°，CM与射线OA相交于M点，CN与直线BO相交于N点．把∠MCN绕着点C旋转．（1）如图1，当点N在射线OB上时，求证：OC＝OM+ON；（2）如图2，当点N在射线OB的反向延长线上时，OC与OM，ON之间的数量关系是（直接写出结论，不必证明）专题05 手拉手模型构造全等三角形答案【专题说明】两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。

初中数学专题一旋转中的几何模型(手拉手模型、对角互补模型)(解析版)

专题一旋转中的几何模型模型一　“手拉手”模型模型特征：两个等边三角形或等腰直角三角形或正方形共顶点．模型说明：如图1，△ABE，△ACF都是等边三角形，可证△AEC≌△ABF.如图2，△ABD，△ACE都是等腰直角三角形，可证△ADC≌△ABE.如图3，四边形ABEF，四边形ACHD都是正方形，可证△ABD≌△AFC.图1 图2 图3等腰图形有旋转，辩清共点旋转边，关注三边旋转角，全等思考边角边。

1【问题提出】(1)如图①，△ABC,△ADE均为等边三角形，点D,E分别在边AB，AC上．将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连结BD,CE．在图②中证明△ADB≅△AEC．[学以致用](2)在(1)的条件下，当点D,E,C在同一条直线上时，∠EDB的大小为度．[拓展延伸](3)在(1)的条件下，连结CD．若BC=6,AD=4直接写出△DBC的面积S的取值范围．【思路点拨】(1)根据“手拉手”模型，证明△ADB≅△AEC即可；(2)分“当点E在线段CD上”和“当点E在线段CD的延长线上”两种情况，再根据“手拉手”模型中的结论即可求得∠EDB的大小；(3)分别求出△DBC的面积最大值和最小值即可得到结论【详解】(1)∵ABC,ADE均为等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，即∠BAD=∠CAE在△ADB和△AEC中，AD=AE∠BAD=∠CAE AB=AC∴ABD ≅ACE (SAS )；(2)当D ,E ,C 在同一条直线上时，分两种情况：①当点E 在线段CD 上时，如图，∵△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°，∴∠AEC =180°-∠AED =120°，由(1)可知，△ADB ≅△AEC ，∴∠ADB =∠AEC =120°，∴∠EDB =∠ADB -∠ADE =120°-60°=60°②当点E 在线段CD 的延长线上时，如图，∵△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°∴∠ADC =180°-∠ADE =120°，由(1)可知，△ADB ≅△AEC∴∠ADB =∠AEC =60°，∴∠EDB =∠ADB +∠ADE =60°+60°=120°综上所述，∠EDB 的大小为60°或120°(3)过点A 作AF ⊥BC 于点F ，当点D 在线段AF 上时，点D 到BC 的距离最短，此时，点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图：∵ΔABC 是等边三角形，AF ⊥BC ，BC =6∴AB =BC =6，BF =12BC =3∴AF =AB 2-BF 2=62-32=33∴DF =33-4此时S .DBC =12BC ⋅DF =12×6×(33-4)=93-12；当D 在线段FA 的延长线上时，点D 到BC 的距离最大，此时点D 到BC 的距离为线段DF 的长，如图，∵ΔABC 是等边三角形，AF ⊥BC ，BC =6∴AB =BC =6，BF =12BC =3，∴AF =AB 2-BF 2=62-32=33∵AD =4∴DF =AF +AD =33+4此时，S .DBC =12BC ⋅DF =12×6×(33+4)=93+12；综上所述，△DBC 的面积S 取值是93-12≤5≤93+12【点评】利用“手拉手”模型，构造对应边“拉手线”组成的两个三角形全等是解题关键2已知正方形ABCD 和等腰直角三角形BEF ，BE =EF ，∠BEF =90°，按图1放置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，连接EG ，CG ．(1)探索EG，CG的数量关系和位置关系并证明；(2)将图(1)中△BEF绕点B顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G(见图2)，(1)中的结论是否仍然成立？证明你的结论；(3)将图(1)中△BEF绕点B顺时针转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)，再连接DF，取DF中点G(见图3)，(1)中的结论是否仍然成立？证明你的结论．【思路点拨】(1)首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=DG= GF=CG，得到∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG，从而证得∠EGC=90°；(2)首先证明△FEG≌△DHG，然后证明△ECH为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG且EG⊥CG；(3)首先证明：△BEC≌△FEH，即可证得：△ECH为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG且EG⊥CG．【解题过程】解：(1)EG=CG且EG⊥CG．证明如下：如图①，连接BD．∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，∴∠EBF=∠DBC=45°．∴B、E、D三点共线．∵∠DEF=90°，G为DF的中点，∠DCB=90°，∴EG=DG=GF=CG．∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．(2)仍然成立，证明如下：如图②，延长EG交CD于点H．∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠4，FG=DG，∴△FEG≌△DHG，∴EF=DH，EG=GH．∵△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF，∴BE=DH．∵CD=BC，∴CE=CH．∴△ECH为等腰直角三角形．又∵EG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG(3)仍然成立．证明如下：如图③，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC．∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG，∴△HFG≌△CDG，∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，∴HF∥CD．∵正方形ABCD，∴HF=BC，HF⊥BC．∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，∴△BEC≌△FEH，∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，∴∠BEF=∠HEC=90°，∴△ECH为等腰直角三角形．又∵CG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG．针对训练11已知ΔABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF，连接EF，CF，AF．(1)问题发现：如图1，当点E在线段AD上时，且∠AFC=35°，则∠FAC的度数是；(2)结论证明：如图2，当点E 在线段AD 的延长线上时，请判断∠AFC 和∠FAC 的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展延伸：若点E 在直线AD 上运动，若存在一个位置，使得ΔACF 是等腰直角三角形，请直接写出此时∠EBC 的度数．【答案】(1)55°；(2)∠AFC +∠FAC =90°，见解析；(3)15°或75°【解析】(1)55°，理由：∵ΔABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠ABC =∠BAC =∠ACB =60°，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =30°，∵将BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到BF ，∴BE =BF ，∠EBF =60°，∴∠EBF =∠ABC ，在△ADC 和△BDA 中，AB =BC∠ABE =∠FBC BE =BF，∴ΔABE ≌ΔCBF SAS ，∴∠BAE =∠BCF =30°，∴∠ACF =90°，∴∠AFC +∠FAC =90°；∵∠AFC =35°，∴∠FAC =55°；(2)结论：∠AFC +∠FAC =90°，理由如下：∵ΔABC 是等边三角形，∴AB =AC =BC ，∠ABC =∠BAC =∠ACB =60°，∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =30°，∵将BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到BF ，∴BE =BF ，∠EBF =60°，∴∠EBF =∠ABC ，在△ADC 和△BDA 中，AB =BC∠ABE =∠FBC BE =BF，∴ΔABE ≌ΔCBF SAS ，∴∠BAE =∠BCF =30°，∴∠ACF =90°，∴∠AFC +∠FAC =90°；(3)∠EBC =15°或75°分两种情况：①点E 在点A 的下方时，如图：∵ΔACF 是等腰直角三角形，∴AC =CF ，由(2)得ΔABE ≌ΔCBF ，∴CF =AE ，∴AC =AE =AB ，∴∠ABE =180°-30°2=75°，∴∠EBC =∠ABE -∠ABC =75°-60°=15°；②点E 在和点A 的上方时，如图：同理可得∠EBC =∠ABE +∠ABC =75°．2已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α(0°<α<90°)，得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．(1)如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；(2)当旋转角α的大小发生变化时，∠BEF 的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出∠BEF 的度数；(3)联结AF ，求证：DE =2AF ．【答案】(1)30°；(2)不变；45°；(3)见解析【解析】(1)证明：在正方形ABCD 中, BC =CD .由旋转知，CE=CD,又∵BE =CE ,∴BE =CE =BC ,∴△BEC 是等边三角形，∴∠BCE=60°.又∵∠BCD=90°,∴α=∠DCE=30°.(2)∠BEF的度数不发生变化.在△CED中，CE=CD,∴∠CED=∠CDE=180°-α2=90°-α2，在△CEB中,CE=CB,∠BCE=90°-α,∴∠CEB=∠CBE=180°-∠BCE2=45°+α2,∴∠BEF=180°-∠CED-∠CEB=45°.(3)过点A作AG∥DF与BF的延长线交于点G，过点A作AH∥GF与DF交于点H，过点C作CI⊥DF于点I易知四边形AGFH是平行四边形，又∵BF⊥DF，∴平行四边形AGFH是矩形.∵∠BAD=∠BGF=90°，∠BPF=∠APD，∴∠ABG=∠ADH.又∵∠AGB=∠AHD=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADH.∴AG=AH，∴矩形AGFH是正方形.∴∠AFH=∠FAH=45°，∴AH=AF∵∠DAH+∠ADH=∠CDI+∠ADH=90°∴∠DAH=∠CDI又∵∠AHD=∠DIC=90°，AD=DC，∴△AHD≌△DIC∴AH=DI，∵DE=2DI，∴DE=2AH=2AF模型二　对角互补模型对角互补模型的特征：外观呈现四边形，且对角和为180°。

专题6 类比探究—图形旋转中三角形全等题型(学生版)

专题6类比探究—图形旋转中三角形全等题型知识归纳几何类比探究题是近几年中招考试的必考题型，目前位于解答题的最后一题，分值为11分或12分．主要考查方式有求线段长，求角度，判断图形形状，判断两条线段的数量关系和位置关系并证明，考查知识点主要涉及特殊三角形，勾股定理，四边形的判定与性质，全等、相似三角形的判定及性质，二次函数等，综合性较强。

本专题主要对类比探究—图形旋转中三角形全等题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。

解题思路总结图形的类比探究常以三角形、四边形为背景，与翻折、旋转相结合，考查三角形全等或相似的性质与判定，难度较大．此类题目第一问相对简单，后面的问题需要结合第一问的方法进行类比解答．根据其特征大致可分为：几何变换类比探究问题、旋转综合问题、翻折类问题等。

解决此类问题要善于将复杂图象分解为几个基本图形，通过添加副主席补全或构造基本图形，借助转化、方程、数形结合、分类讨论等数学思想解决几何证明问题，计算则把几何与代数知识综合起来，渗透数形结合思想，考查学生分析问题的能力、逻辑思维和推理能力.常考题型专练一、解答题1.如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD 的长．2.在△ABC中，∠BAC＝90°，点O是斜边BC上的一点，连接AO，点D是AO上一点，过点D分别作DE AB∥，DF AC∥，交BC于点E、F．（1）如图1，若点O为斜边BC的中点，求证：点O是线段EF的中点．（2）如图2，在（1）的条件下，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD，CF，请写出线段AD和线段CF的数量关系，并说明理由．（3）如图3，若点O是斜边BC的三等分点，且靠近点B，当∠ABC＝30°时，将△DEF绕点O顺时针旋转任意一个角度，连接AD、BE、CF，请求出BEAD的值．3.在等腰直角三角形ABC中,∠ACB＝90°,AC＝BC,D是AB边上的中点，Rt△EFG的直角顶点E在AB边上移动.(1)如图1，若点D与点E重合且EG⊥AC、DF⊥BC，分别交AC、BC于点M、N，易证EM＝EN；如图2，若点D与点E重合，将△EFG绕点D旋转，则线段EM与EN的长度还相等吗?若相等请给出证明，不相等请说明理由；(2)将图1中的Rt△EGF绕点O顺时针旋转角度α(0∘＜α＜45∘).如图2，在旋转过程中,当∠MDC＝15∘时，连接MN，若AC＝BC＝2，请求出写出线段MN的长；(3)图3,旋转后,若Rt△EGF的顶点E在线段AB上移动(不与点D、B重合)，当AB＝3AE时，线段EM与EN 的数量关系是________；当AB＝m·AE时，线段EM与EN的数量关系是__________.4.(1)问题发现：如图1，在等边ABC ∆中，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，将AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到DF ，连接CF ．则AE 与FC 的数量关系是_____，ACF ∠的度数为______．(2)拓展探究：如图2，在 Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，60ACB ∠=︒，点D 为BC 边上一动点，//DE AB 交AC 于点E ，当∠ADF=∠ACF=90°时，求AE FC 的值．(3)解决问题：如图3，在ABC ∆中，:BC AB m =，点D 为BC 的延长线上一点，过点D 作//DE AB 交AC 的延长线于点E ，直接写出当ADF ACF ABC ∠=∠=∠时AE FC 的值．5.在等边△ABC 中，点D 是BC 边上一点，点E 是直线AB 上一动点，连接DE，将射线DE 绕点D 顺时针旋转120°，与直线AC 相交于点F ．（1）若点D 为BC 边中点．①如图1，当点E 在AB 边上，且DE AB ⊥时，请直接写出线段DE 与DF 的数量关系________；②如图2，当点E 落在AB 边上，点F 落在AC 边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；（2）如图3，点D 为BC 边上靠近点C 的三等分点．当:3:2AE BE =时，直接写出CF AF 的值．6.在ABCD 中，BAD ∠=α，以点D 为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交边AD 、CD 于点M 、N ，再分别以M 、N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点K ，作射线DK ，交对角线AC 于点G ，交射线AB 于点E ，将线段EB 绕点E 顺时针旋转α得线段EP ．（1）如图1，当120α=︒时，连接AP ，线段AP 和线段AC 的数量关系为；（2）如图2，当90α=︒时，过点B 作BF EP ⊥于点F ，连接AF ，请求出∠FAC 的度数，以及AF ，AB ，AD 之间的数量关系，并说明理由；（3）当120α=︒时，连接AP ，若13BE AB =，请直接写出线段AP 与线段DG 的比值．7.在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且AE=1，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（1）所示．则CF的长为．（直接写出结果，不说明理由）（2）△ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图（2）所示．在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长．思路梳理并填空：当点E不与点A重合时，如图，连结CF，∵△ABC、△BEF都是等边三角形∴BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°∴①∠ABE+=∠CBF+；∴∠ABE=∠CBF∴△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠BCF=60°又∠ABC=60°∴∠BCF=∠ABC∴②______∥______；当点E在点A处时，点F与点C重合．当点E在点C处时，CF=CA．∴③点F所经过的路径长为．（3）△ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图（3）所示．在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长．（4）正方形ABCD的边长为3，E是边CB上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形BFGH，其中点F，G都在直线AE上，如图（4）．当点E到达点B时，点F，G，H与点B重合．则点H所经过的路径长为．（直接写出结果，不说明理由）8．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．。

中考重点等腰直角三角形中的定角及定线旋转问题

中考重点等腰直角三角形中的定角及定线旋转问题中心思想正方形的一组邻边和一条对角线形成了一个等腰直角三角形，正方形对角线相交形成四个全等的等腰直角三角形，这些等腰直角三角形绕着公共点旋转时，就出现了典型的定角（直角）旋转问题，旋转过程中会涉及全等或相似，另外某条定线（射线或直线）绕端点旋转45°也可转化成等腰直角三角形的旋转和翻折问题，下面的分析的重点是：强化共角共边的相似模型以及两定点形成的线段旋转45°的模型的运用，归纳解题方法。

原题再现沈阳市和平区2019-2020学年度上学期期末24题追根溯源【试题来源】北师大版九上数学习题1.8联系拓广第 4 题：4.如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，正方形ABCD 的边长相等，在正方形′′′绕点 O 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 ABCD 的面积有什么关系？请证明你的结论.【课程标准】（1）理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；（2）探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形具有矩形和菱形的一切性质破解前提破解策略原题延伸总结一道题带给我的思考就是无论用什么方法，只要解决了就是好方法，如果你非得找寻简单做法，那就要知道自己擅长什么解法，你掌握了几种方法模型，我们都说方法贵精不贵多，如果你全身心对待一道题，就会有你意想不到的好处，另外作为试题的分析者，深深体会到命题者的精心设计，让我受益匪浅，我虽然很认真去分析，但也只是提出了一些局限性的见解，不足之处，请大家批评指正！。

旋转三角形数学小故事

旋转三角形数学小故事
一个等腰直角三角形正在学习跳舞，老师让它回家多练习原地转圈，于是这个三角形就叫来正方形来监督它练习。

它最先尝试的是以一条直角边为轴旋转，直到头晕目眩才停止。

细心的正方形发现，在这过程中，三角形变成了一个圆锥。

第二天三角形尝试用一条斜边为轴旋转，正方形发现这次三角形并没有变成一个圆锥，而变成了一个由两个完全相同的圆锥拼在一起的立体图形。

第三天它以斜边上的高为轴进行旋转，练习了整整一天，正方形发现它又变成了一个圆锥；
第四天它以自己45度的那个角为起点旋转，这时，三角形变成了一个不规则图
形既不是圆锥，也不像圆柱，而是一个比圆柱少了一个与它等底等高的圆锥的立体图形。

专题21 双等腰旋转问题(教师版)-2021年中考数学模型技巧讲义(二轮)

专题21 双等腰旋转问题【规律总结】“双等腰旋转”是旋转型全等的重要组成部分，也是初中阶段常考的重要题型.与平移、对称类似，利用全等将线段或角的位置转移，把分散的条件集中在一起，在选择题、填空题、解答题经常出现.解答这类问题的关键是掌握基本模型的结构.【基本模型】1.已知条件当中若存在两个等腰三角形其顶角顶点重合，则本身就存在双等腰旋转全等：共顶点双等腰直共顶点双等腰2.已知条件当中若只存在一个等腰三角形，可以利用“已知等腰、构造等腰”的思路构造双等腰旋转：【典例分析】例1．（2021·上海九年级专题练习）如图，在△ABC中，△ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．当AD＝BF时，△BEF的度数是（）A．45°B．60°C．62.5°D．67.5°【答案】D【分析】根据旋转的性质可得CD＝CE和∠DCE＝90°，结合∠ACB＝90°，AC＝BC，可证∠ACD∠∠BCE，依据全等三角形的性质即可得到∠CBE＝∠A＝45°，再由AD＝BF可得等腰∠BEF，则可计算出∠BEF 的度数．【详解】解：由旋转性质可得：CD＝CE，∠DCE＝90°．∠∠ACB＝90°，AC＝BC，∠∠A＝45°．∠∠ACB−∠DCB＝∠DCE−∠DCB．即∠ACD＝∠BCE．∠∠ACD∠∠BCE．∠∠CBE＝∠A＝45°．∠AD＝BF，∠BE＝BF．∠∠BEF＝∠BFE＝67.5°．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质找出相等的线段和角，并能准确判定三角形全等，从而利用全等三角形性质解决相应的问题．例2．（2020·山西八年级期末）如图，ABC ∆和DCE ∆都是等腰直角三角形，90ACB ECD ∠=∠=︒，42EBD ∠=︒，则AEB ∠=___________度．【答案】132【分析】先证明∠BDC∠∠AEC ，进而得到角的关系，再由∠EBD 的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案．【详解】解：∠90ACB ECD ∠=∠=︒，∠BCD ACE ∠=∠，在BDC ∆和AEC ∆中，AC BC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()BDC AEC SAS ∆∆≌，∠DBC EAC ∠=∠，∠42EBD DBC EBC ︒∠=∠+∠=，∠42EAC EBC ︒∠+∠=，∠904248ABE EAB ︒︒︒∠+∠=-=，∠180()18048132AEB ABE EAB ︒︒︒︒∠=-∠+∠=-=．故答案为132【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．例3．（2021·湖北鄂州市·八年级期末）在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．（1）如图，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=______度．（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．①如图，当点D 在线段BC 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．②如图，当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．【答案】（1）90；（2）①180αβ+=︒，理由见解析；②αβ=，理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证∠BAD∠∠CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE 的度数；（2）①由“SAS”可证∠ABD∠∠ACE 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论； ②由“SAS”可证∠ADB∠∠AEC 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】（1）∠AB=AC ，∠BAC=90°，∠∠ABC=∠ACB=45°，∠∠DAE=∠BAC ，∠∠BAD=∠CAE ，在∠BAD 和∠CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAD∠∠CAE （SAS ）∠∠ABC=∠ACE=45°，∠∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案为：90；（2）①180αβ+=︒．理由：∠∠BAC=∠DAE ，∠∠BAC -∠DAC=∠DAE -∠DAC ．即∠BAD=∠CAE ．在∠ABD 与∠ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠ACE （SAS ），∠∠B=∠ACE ．∠∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ．∠∠ACE+∠ACB=β，∠∠B+∠ACB=β，∠α+∠B+∠ACB=180°，∠α+β=180°；② 当点D 在射线BC 的反向延长线上时，αβ=．理由如下：∠DAE BAC ∠=∠，∠DAB EAC ∠=∠，在∠ABD 与∠ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠△≌△ADB AEC(SAS)， ∠ABD ACE ∠=∠，∠ABD BAC ACB ∠=∠+∠，ACE BCE ACB ∠=∠+∠，∠BAC ABD ACB ∠=∠-∠，BCE ACE ACB ∠=∠-∠，∠BAC BCE ∠=∠，即αβ=．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明∠ABD∠∠ACE 是解本题的关键．【好题演练】一、单选题1．（2020·全国八年级单元测试）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，△BAF=△CAG=90°，AB=AF ，AC=AG ．连接FG ，交DA 的延长线于点E ，连接BG ，CF ．则下列结论：①BG=CF ；②BG△CF ；③△EAF=△ABC ；④EF=EG ，其中正确的有（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】D【分析】由题意易得FAC BAG ≌，根据全等三角形的性质可进行分析排除．【详解】解：∠BAF=∠CAG=90°，∠BAG=∠BAC+∠GAC ，∠FAC=∠FAB+∠BAC ，∴∠BAG=∠FAC ，AB=AF ，AC=AG ，∴FAC BAG ≌，∴BG=FC ，∠AGB=∠ACF ，故①正确；∠AGC=∠AGB+∠BGC ，∠GCF=∠ACF+∠GCA ，∠GCA=∠AGC ，∴∠BGC+∠FCG=∠AGC -∠AGB+∠GCA+∠ACF=90°，∴BG∠CF ，故②正确；∠FAE+∠BAD=90°，AD∠BC ，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠FAE=∠ABD ，故③正确；如图，设GH 与FC 交于H 点，连接EH ，由①②③易得∠FHE=∠EHF ，所以EF=EH ，即EF=EH=EG ，故④正确；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握各个知识点是解题的关键．2．（2019·北京市八一中学）如图，//AB CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线相交于点G ，EG AC ⊥于点E ，F 为AC 中点，GH CD ⊥于H ，FGC FCG ∠=∠．下列说法正确的是( )①AG CG ⊥；②BAG CGE ∠=∠；③AFG GFC S S ∆∆=；④若:2:7EGH ECH ∠∠=，则150AFG ∠=︒．A ．①③④B ．②③C ．①②③D ．①②③④【答案】C【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到90GAC GCA ∠+∠=︒从而根据三角形的内角和定理得到90AGC ∠=︒，即可判断①正确性；根据等角的余角相等可知CGE GAC ∠=∠，再由角平分线的定义与等量代换可知BAG CGE ∠=∠，即可判断②正确性；通过面积的计算方法，由等底等高的三角形面积相等，即可判断③正确性；通过角度的和差计算先求出EGH ECH ∠∠，的度数，再求出50EGF ∠=︒，再由三角形内角和定理及补角关系即可判断④是否正确．【详解】①中，∠AB ∠CD ，∠180BAC ACD ∠+∠=︒，∠∠BAC 与∠DCA 的平分线相交于点G ， ∠11121809022GAC GCA BAC ACD ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， ∠180GAC GCA AGC ∠+∠+∠=︒，∠90AGC ∠=︒∠AG ∠CG ，则①正确；②中，由①得AG ∠CG ，∠EG AC ⊥，FGC FCG ∠=∠，∠根据等角的余角相等得CGE GAC ∠=∠，∠AG 平分BAC ∠，∠=BAG GAC ∠∠，∠BAG CGE ∠=∠，则②正确；③中，根据三角形的面积公式，∠F 为AC 中点，∠AF =CF ，∠AFG ∆与GFC ∆等底等高，∠AFG GFC S S ∆∆=，则③正确；④中，根据题意，得：在四边形GECH 中，180EGH ECH ∠+∠=︒，又∠:2:7EGH ECH ∠∠=， ∠271804018014099EGH ECH ∠=︒⨯=︒∠=︒⨯=︒，， ∠CG 平分∠ECH ， ∠1702FCG ECH ∠=∠=︒，根据直角三角形的两个锐角互余，得20EGC ∠=︒.∠FGC FCG ∠=∠，∠70FGC FCG ∠=∠=︒，∠50EGF FGC ECG ∠=∠-∠=︒，∠EG AC ⊥，∠9040GFE EGF ∠=︒-∠=︒，∠180********AFG GFE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，则④错误.故正确的有①②③，故选：C ．【点睛】本题主要考查了三角形的综合应用，涉及到三角形面积求解，三角形的内角和定理，补角余角的计算，角平分线的定义，平行线的性质等相关知识点以及等量代换等数学思想，熟练掌握相关角度的和差倍分计算是解决本题的关键.二、填空题3．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点P在斜边AB 上，以PC 为直角边作等腰直角三角形PCQ ，90PCQ ∠=︒，则222,,PA PB PC 三者之间的数量关系是_____．【答案】PA 2+PB 2=2PC 2【分析】把AP 2和PB 2都用PC 和CD 表示出来，结合Rt∠PCD 中，可找到PC 和PD 和CD 的关系，从而可找到PA 2，PB 2，PC 2三者之间的数量关系；【详解】解：过点C作CD∠AB，交AB于点D∠∠ACB为等腰直角三角形，CD∠AB，∠CD=AD=DB，∠PA2=（AD-PD）2=（CD-PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，PB2=（BD+PD）2=（CD+PD）2=CD2-2CD•PD+PD2，∠PA2+PB2=2CD2+2PD2=2（CD2+PD2），在Rt∠PCD中，由勾股定理可得PC2=CD2+PD2，∠PA2+PB2=2PC2，故答案为PA2+PB2=2PC2.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，关键是作出辅助线，利用三线合一进行论证.4．（2020·仪征市实验中学九年级三模）两块等腰直角三角形纸片AOB和COD按图1所示放置，直角顶点重合在点O处，AB＝13，CD＝7．保持纸片AOB不动，将纸片COD绕点O逆时针旋转a（0<α<90°），如图2所示．当BD与CD在同一直线上（如图3）时，则△ABC 的面积为____．【答案】30【分析】设AO 与BC 的交点为点G ，根据等腰直角三角形的性质证∠AOC∠∠BOD ，进而得出∠ABC 是直角三角形，设AC ＝x ，BC=x+7，由勾股定理求出x ，再计算∠ABC 的面积即可．【详解】解：设AO 与BC 的交点为点G ，∠∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠∠AOC ＝∠DOB ，在∠AOC 和∠BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∠∠AOC∠∠BOD （SAS ），∠AC ＝BD ，∠CAO ＝∠DBO ，∠∠DBO ＋∠OGB ＝90°，∠∠OGB ＝∠AGC ，∠∠CAO ＋∠AGC ＝90°，∠∠ACG ＝90°，∠CG∠AC ，设AC＝x，则BD=AC=x，BC=x+7，∠BD、CD在同一直线上，BD∠AC，∠∠ABC是直角三角形，∠AC2＋BC2＝AB2，()222713x x++=,解得x=5，即AC=5，BC=5+7=12，在直角三角形ABC中，S= 151230 2⨯⨯=，故答案为：30．【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．三、解答题5．（2020·佳木斯市第十二中学九年级期中）在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以BC为斜边作直角三角形BCP，连接OP．（1）如图所示，易证：CP BP=+；（2）当点P的位置变换到如第二幅图和第三幅图所示的位置时，线段CP、BP、OP之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对第二幅图加以证明．【答案】（1）见解析；（2）第二幅图：BP CP =，第三幅图：BP CP +=【分析】（1）在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，根据正方形的性质证明()OCE OBP SAS ≅，得到EOP △是等腰直角三角形，所以有PE =，从而证得CP CE PE BP =+=+；（2）第二幅图的证明过程类似（1）中的证明过程，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，可以证得BP CP =+；第三幅图的结论是BP CP +=，证明方法一样是构造三角形全等，由()OBE OCP SAS ≅可以证出结论．【详解】解：（1）如图，在CP 上截取CE=BP ，连接OE ，记OB 与CP 交于点F ，∠四边形ABCD 是正方形，∠OB=OC ，90BOC ∠=°，∠BP CP ⊥，∠90BOC BPC ∠=∠=︒，∠OFC PFB ∠=∠，∠OCE OBP ∠=∠，在OCE △和OBP 中，OC OB OCE OBP CE BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()OCE OBP SAS ≅，∠OE OP =，COE BOP ∠=∠，∠BOC BOE COE ∠=∠+∠，EOP BOE BOP ∠=∠+∠，∠90EOP BOC ∠=∠=︒，∠EOP △是等腰直角三角形，∠PE =，∠CP CE PE BP =+=+；（2）第二幅图：BP CP =，第三幅图：BP CP +=，证明第二幅图的结论：如图，在BP 上截取BE=CP ，连接OE ，记OC 与BP 交于点F ，同（1）中证明()OCE OBP SAS ≅的过程证明()OBE OCP SAS ≅，同理OEP 是等腰直角三角形，∠EP =，∠BP BE EP CP =+=；第三幅图的证明过程是：如图，延长PB 至点E ，使BE=CP ，证明()OBE OCP SAS ≅，得到OEP 是等腰直角三角形，∠EP =，∠EP EB BP CP BP =+=+，CP BP =+．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和进行的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解，并且学会构成全等三角形的方法．6．（2020·台州市书生中学八年级期中）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，将OB绕O点顺时针转60°至OA．（1）如图1，试判定△ABO的形状，并说明理由．（2）如图1，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系，试证明你的结论．（3）如图2，若BC△BO，BC＝BO，作BD△CO ，AC、DB交于E，补全图形，并证明：AE ＝BE+CE．【答案】（1）等边三角形，理由见解析；（2）AP＝2AO，证明见解析；（3）见解析【分析】（1）在三角形AOB中，AB=BO，∠AOB=60°，含60°的等腰三角形一定为等边三角形；（2）可通过证明∠ABG与∠OBE全等，得到∠APO＝30°，再通过含30°的直角三角形的性质可以推导AP＝2AO；（3）做辅助线在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，再通过边角转换证明∠ABE与∠CBM 全等，即可得到∠BEM为等边三角形，从而可证AE＝AM+EM ＝CE+BE.【详解】解：（1）如图1，∠AOB 为等边三角形，理由是：∠将绕OB 绕O 点旋转至OA∠∠AOB=60°，∠AO ＝AB∠∠AOB 为等边三角形；（2）AP ＝2AO ，理由为：证明：∠∠AOB 与∠BGE 都为等边三角形，∠BE ＝BG ，AB ＝OB ，∠EBG ＝∠OBA ＝60°，∠∠EBG+∠EBA ＝∠OBA+∠EBA ，即∠ABG ＝∠OBE ，在∠ABG 和∠OBE 中，BE BG ABG OBE AB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABG∠∠OBE （SAS ），∠∠BAG ＝∠BOE ＝60°，∠∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°，∠∠GAO为∠AOP的外角，且∠AOP＝90°，∠∠APO＝30°在Rt∠AOP中，∠APO＝30°，则AP＝2AO．（3）补全图形，在AC上截取AM＝EC，连接BM，可得AM+EM＝CE+EM，即AE＝CM，∠∠AOB 为等边三角形，∠BOC为等腰直角三角形，∠∠OBC＝90°，∠ABO＝60°，∠D为CO的中点，∠BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°，∠∠ABD＝105°，∠ABC＝150°，∠∠BAC＝∠BCA＝15°，∠∠AEB＝15°+45°＝60°，在∠ABE和∠CBM 中，∠AB CBBAE BCMAE CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABE∠∠CBM （SAS），∠BM＝BE，∠∠BEM为等边三角形，∠BE＝EM，∠AE＝AM+EM＝CE+BE；【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，以及做辅助线证明全等的方法，解题的关键是熟练地掌握等腰三角形的性质以及做辅助线证明全等的技巧和方法.。

等腰直角三角形旋转证明

问题一：如图所示，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点D 、E 分别在AC 边和AB 边上，连接EC ，点M 为EC 的中点，连接BM 和DM 。

试探究BM 和DM 的关系，并加以证明。

变式1 ：如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕A 点按逆时针方向旋转︒45，其余条件不变，上述结论还成立吗？变式2 ：如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒90，其余条件不变，上述结论还成立吗？变式3 ：当△ADE 绕点A 逆时针方向旋转30°时，连BE ，若BE ∥AC ，求 ABAE的值问题二：如图1，△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，C 为它们的公共直角顶点，连AD ，BE ，F 为线段AD 的中点，连CF 。

如图，当D 点在BC 上时，试探究线段BE 与CF 的关系．ADEB MCADE BMCADEBMCABCDE变式1：如图2，把△DEC 绕C 点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如果成立请证明．如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．变式2：如图3，把△DEC 绕C 点顺时针旋转45°，若∠DCF=30°，直接写出CGBG的值。

课后巩固已知∠ACD=90°，MN 是过点A 的直线，AC=DC ，DB⊥MN 于点B ，如图（1）．易证BD+AB=CB ，（1）当MN 绕A 旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD 、AB 、CB 满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．（2）MN 在绕点A 旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD= ，CB= ．。

旋出等边三角形和等腰直角三角形

旋出等边三角形和等腰直角三角形作者：赵莹银来源：《初中生世界·九年级》2019年第04期一條线段绕端点旋转90°，会得到一个等腰直角三角形，而绕端点旋转60°，会得到一个等边三角形。

这样得到的等腰直角三角形和等边三角形，由于题目中没有直接交代，一些同学在解题的时候往往容易忽略，找不到解题思路。

一、发现隐含的等边三角形例1 如图1，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上的一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，求AP的长。

【解析】乍一看，这道题有两个条件：（1）一个等边三角形——△ABC;（2）两条相等的线段——OD=OP。

但单凭这两个条件却不容易解决问题。

事实上，由于OD=OP，∠DOP=60°，我们可以得知△DOP也是等边三角形，因此本题实际上是我们熟悉的一个特别简单的图形（如图2）。

在图2中，△COD≌△APO≌△BDP，这样，问题就很容易解决了。

【点评】当一条线段绕着一个端点旋转60°时，会得到一个等边三角形。

了解这一点，问题就会迎刃而解。

例2 如图3，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF。

则在点E运动过程中，DF的最小值是。

【解析】由例1可知，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC后，△CEF是等边三角形，因此考虑连接EF，这就得到一个双等边三角形的模型。

等边△CEF与等边△ABC具有公共顶点，由八年级全等的知识很容易证得△ACE与△BCF全等。

由于∠CAE的度数固定，是30°，根据全等三角形的对应角相等，可求得∠CBF=30°，所以点F始终在一条过点B，且与BC夹角为30°的直线上运动。

这道题就转化为点D到直线的最短距离问题，一般用垂线段最短和30°所对的直角边是斜边可解决问题。

(2021年整理)等腰直角三角形的旋转

等腰直角三角形的旋转编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（等腰直角三角形的旋转）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为等腰直角三角形的旋转的全部内容。

C E DC （图1）（图2）（图3）等腰直角三角形的旋转1。

如图，△ABC 中,AB=5,AC=3，以BC 为边作等腰Rt △BCD,连接AD ，把△ACD 绕D 点,逆时针方向旋转900，得到△EBD 。

（1）画出△EBD ；（2）当BC=4时，连接AE ，求△ABE 的面积；（3）当BC 的长度发生变化时，请直接写出AD 长的取值范围。

C A D(备用图）C A D2.（1)如图1, △ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，求证：△ACD ≌△BCE.(2）如图2，将图1中△DCE 绕点C 逆时针旋转n °(0＜n ＜45)，使∠BED=90°，又作△DCE 中DE 边上的高CM ，请完成图2，并判断线段CM ，AE ，BE 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，在正方形ABCD 中,CD=5，若点P 满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A 到BP 的距离．3。

如图（1)，在Rt △ABC 中,∠A =90°，AC =AB =4, D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若等腰Rt △ADE绕点A 逆时针旋转,得到等腰Rt△AD 1E 1，如图(2),设旋转角为α（0〈α≤180°），记直线BD 1与CE 1的交点为P ．（1）求证：BD 1= CE 1; （2）当∠=1CPD 2∠1CAD 时，求1CE 的长；（3）连接PA,PAB ∆面积的最大值为．（直接填写结果）4。

诺把一个斜边长为两厘米的等腰直角三角形绕其直边所在直线旋转一周则所形成的

诺把一个斜边长为两厘米的等腰直角三角形绕其直边所在
直线旋转一周则所形成的
根据给出条件，当一个斜边长为两厘米的等腰直角三角形绕其直边所
在直线旋转一周时，将会形成一个椭圆。

它的形状就如一个甜甜圈，
中间有一个小的开口，两边的斜边自然形成了两个半圆形。

首先，以旋转一周的等腰直角三角形的右直角为中心，开始旋转，右
上角先向右转，直转到与初始时位置重合，由于已完成一个周期，三
角形也就完成了一周的旋转。

在旋转的过程中，等腰直角三角形的斜边一直沿着旋转的方向，改变
着弧度的方向，这样三角形的边会一点点伸长，最后在原来的基础上，斜边就变成了一条曲线，并且恰好形成了一个圆弧。

当旋转的距离等于斜边的长度，也就完成了一周的旋转，如此，在原
等腰直角三角形的基础上，斜边就形成了一个圆弧形，两段直线也就
形成了一整个椭圆形，这样就将一个斜边长为两厘米的等腰直角三角
形绕其直边所在直线旋转一周，所形成的椭圆就完成了。

通过这个椭圆形，我们可以看出，斜边绕过360度旋转，椭圆形变化
原来的角度，再加上原本的两条直线，使原本具有等边角的三角形变
成了一个椭圆形，椭圆轮廓是由旋转的三角形的斜边和两条原本的直
线组成的，这也表明了旋转三角形的重要性，它是形成椭圆的关键。

初中数学破题致胜微方法(等腰直角三角形中的手拉手模型)等腰直角三角形手拉手的旋转

等腰直角三角形手拉手旋转例：，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D在直线BC上一动点〔点D不与B、C重合〕，以AD为边作正方形ADEF，连接CF，如图，当点D在线段BC上时，求证：〔1〕CF=BD;〔2〕CF ⊥BD;分析：根据等腰直角三角形性质求出∠ABC=∠ACB=45°，正方形性质可得AD=AF, ∠DAF=90°,然后利用同角余角相等求出∠BAD=∠CAF，再利用“边角边〞证明△ABD与△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，然后求出∠BCF==90°,再根据垂直定义证明即可.证明：〔1〕∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°,∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF,∠DAF==90°，∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°，∠CAF+∠CAD=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF,在△ABD与△ACF中，，∴△ABD≌△ACF，所以CF=BD.〔2〕∠ACF=∠ABD,∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，∴CF⊥BD;总结：〔1〕两个相似共直角顶点等腰直角三角形，旋转所形成全等三角形相对孤立边关系是垂直且相等，如图，△BCD≌△⊥BD,〔2〕延伸：两个共顶点全等三角形旋转90°⊥DE.练习：1.如图,△ACD与△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,AE交CD于点F,BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE与BD数量与位置关系,并说明理由2.如图,F是正方形ABCD中BC边上一点,延长AB到E,使得BE=BF,试用旋转性质说明:AF=CE且AF⊥CE.3.(1)如图,在△ABC与△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.①当点D在AC上时,如下面图1,线段BD、CE有怎样数量关系与位置关系直接写出你猜测结论;②将下面图1中△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°),如下面图2,线段BD、CE有怎样数量关系与位置关系请说明理由.(2)当△ABC与△ADE满足下面甲、乙丙中哪个条件时,使线段BD、CE在(1)中位置关系仍然成立不必说明理由.甲:AB︰AC=AD︰AE=1,∠BAC=∠DAE≠90°;乙:AB︰AC=AD︰AE≠1,∠BAC=∠DAE=90°;丙:AB︰AC=AD︰AE≠1,∠BAC=∠DAE≠90°.1.2100027377分析：由于条件可知CD=AC，BC=CE，且可求得∠ACE=∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即AE=BD，∠CAE=∠CDB；又因为对顶角相等即∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE⊥BD．解：猜测AE=BD，AE⊥BD；理由如下：∵∠ACD=∠BCE=90°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，又∵△ACD与△BCE都是等腰直角三角形，∴AC=CD，CE=CB，在△ACE与△DCB中，∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴AE=BD，∠CAE=∠CDB；∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°，∴∠DHF=∠ACD=90°，∴AE⊥BD．2.3.分析：〔1〕①BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形判定定理SAS 推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD与△CDF中，由三角形内角与定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；②BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形判定定理SAS推知△ABD ≌△ACE，然后由全等三角形对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线〔延长BD交AC于F，交CE于H〕BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角与定理证得∠BHC=90°；〔2〕根据结论①、②证明过程知，∠BAC=∠DFC〔或∠FHC=90°〕时，该结论成立了，所以本条件中∠BAC=∠DAE≠90°不适宜．解：〔1〕①结论：BD=CE，BD⊥CE；②结论：BD=CE，BD⊥CE…1分理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE〔SAS〕.∴BD=CE，延长BD交AC于F，交CE于H．在△ABF与△HCF中，∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC∴∠CHF=∠BAF=90°∴BD⊥CE.〔2〕结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°。

等边三角形、等腰直角三角形之间的旋转问题（精华）

等边三⾓形、等腰直⾓三⾓形之间的旋转问题（精华）等边三⾓形、等腰直⾓三⾓形之间的旋转问题（精华）1、图（1）中，C点为线段AB上⼀点，△ACM，△CBN是等边三⾓形，AN与BM相等吗？说明理由；如图（2）C点为线段AB上⼀点，等边三⾓形ACM和等边三⾓形CBN在AB的异侧，此时AN与BM 相等吗？说明理由；如图（3）C点为线段AB外⼀点，△ACM，△CBN是等边三⾓形，AN与BM相等吗？说明理由．2、如图（1）所⽰，点C为线段AB上⼀点，△ACM、△CBN是等边三⾓形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F．（1）求证：AN=MB；（2）将△ACM绕点C按逆时针⽅向旋转90°，其他条件不变，在图（2）中补出符合要求的图形，并判断（1）题中的结论是否依然成⽴，说明理由．3、如图，已知△ABC是等边三⾓形，E是AC延长线上⼀点，选择⼀点D，使得△CDE是等边三⾓形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三⾓形．（根据△ACD≌△BCE，得出AD=BE，AM=BN；⼜△AMC≌△BNC，可得CM=CN，∠ACM=∠BCN，证明∠NCM=∠ACB=60°即可证明△CMN是等边三⾓形；）1、（锦州）如图A，△ABC和△CEF是两个⼤⼩不等的等边三⾓形，且有⼀个公共顶点C，连接AF 和BE．（1）线段AF和BE 有怎样的⼤⼩关系?请证明你的结论；（2）将图A中的△CEF绕点C旋转⼀定的⾓度，得到图B，（1）中的结论还成⽴吗?作出判断并说明理由；（3）若将图A中的△ABC 绕点C旋转⼀定的⾓度，请你画⼭⼀个变换后的图形C（草图即可），（1）中的结论还成⽴吗?作出判断不必说明理由；（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现．（3）此⼩题图形不惟⼀，如图第（1）中的结论仍成⽴．（4）根据以上证明、说理、画图，归纳如下：如图A，⼤⼩不等的等边三⾓形ABC和等边三⾓形CEF有且仅有⼀个公共顶点C，则以点C 为旋转中⼼，任意旋转其中⼀个三⾓形，都有AF=BE．2、如图，ADC ?和BCE ?都是等边三⾓形，ο30=∠ABC ，试说明：222BC AB BD +=（综合全等和勾股定理）3、△DAC, △EBC 均是等边三⾓形，AE,BD 分别与CD,CE 交于点M,N, 求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) △CMN 为等边三⾓形（4）MN ∥BC4、已知：如图1，点C 为线段AB 上⼀点，△ACM ，△CBN 都是等边三⾓形，AN 交MC 于点E ，BM 交CN 于点F ． (1)求证：AN=BM ； (2)求证：△CEF 为等边三⾓形；(3)将△ACM 绕点C 按逆时针⽅向旋转90 O ，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两⼩题的结论是否仍然成⽴（不要求证明）．5、如图所⽰，已知△ABC 和△BDE 都是等边三⾓形。

等腰直角三角形旋转

旋转的等腰直角三角形【变式典型题】原题：如图所示，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点，求证：MDB MBD ∠=∠．变式1 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕A 点按逆时针方向旋转︒45，其余条件不变，结论MDBMBD ∠=∠还成立吗？变式2 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒90，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式3 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒135，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式4 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时针方向旋转︒180，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式5 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转︒270，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？变式6 如图所示，将等腰直角三角形ADE 绕点A 按逆时外方向旋转︒315，其余条件不变，结论MDB MBD ∠=∠还成立吗？【练习】1．在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，AC=BC ．直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，求证：①CEB ADC ∆≅∆；②BE AD DE +=；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问：DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．2．（1）如图1，若点P 为正方形ABCD 边上一点，以PA 为一边作正方形AEFP ，连BE 、DP ，并延长DPC l图1 BB交BE 于点H ．求证：BE DH ⊥．（2）如图2，将正方形AEFP 逆时针旋转，使点P 落在正方形ABCD 内，其余条件不变，（1）的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．3．在ABC ∆中，AD 是中线，O 为AD 的中点，直线l 过O 点，过A 、B 、C 三点分别作直线l 的垂线，垂足分别为G 、E 、F ，当直线l 绕O 点旋转到与AD 垂直时（如图1）易证：BE+CF=2AG ．当直线l 绕O 点旋转到与AD 不垂直时，在图2、图3两种情况下，线段BE 、CF 、AG 又是怎样的数量关系？请写出你的猜想，并以图3的猜想给予证明．思考题：把两个全等的等腰直角三角板ABC 和EFG （其直角边长均为4）叠放在一起（如图1），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角形ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕O 点按顺时针方向旋转（旋转角α满足条件：︒<<︒900α），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图2）．（1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连接HK ，在上述旋转过程中，设x BH =，GKH ∆的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使GKH ∆的面积恰好等于ABC ∆面积的165？若存在，求出此时x 的值；若不存在，说明理由．作业完成时间：30分钟1、如图所示，在密度均匀的铁片中挖去一圆形铁片，现要将这一铁片分成重量相等的两块，请问你有怎样的分法？并说明作图的道理．2、现有如图所示的方角铁片，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案．3、如图所示，请将一直角梯形形状的地块，分成面积相等的两地，问如何分．4、如图所示的一块空地，︒=∠=∠90B A ，AE ∥BC ，AB ∥CD ，现要在这一空地上砌一堵墙（要求墙长最短），将这块地分成面积相等的两块．思考题：如何把任意四边形面积两等分？A C E G(O)B F 图1A C G(O) BF 图2 K H FH B C D P 图1E F H B C P 图2 AOEBl图2 A CDEBN M 图1·AB D C。