火线100天(安徽专版)中考数学一轮复习 第二单元 方程与不等式 第6讲 一元二次方程-人教版初中九

第6讲一元二次方程
命题点
年份(2013～
2015)
题序题型分值考查方向
一元二次方程的应用2015 6 选择题 4 近5年考查两次，另
外3年考查的是其解
法，2013和2015两年
考查的是增长率问
题.
2013 7 选择题 4
一元二次方程的解法
思想和思路解一元二次方程的基本思想是①____；解一元二次方程的常规思路是将二次方程转化为②________.
主要解法(1)直接开平方法；(2)因式分解法；(3)③______；(4)公式法．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为：④________________.
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用题解题步骤(1)审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；(2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；(3)列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程；
(4)解：求出所列方程的解；(5)验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；
(6)答：写出答案.
1．在解一元二次方程时，要注意每一种解法的特点，灵活地选用合适的解法．在利用求根公式时，要注意前提条件b2－4ac≥0.
2．用一元二次方程解决实际问题时，应把实际问题转化为数学模型，建立方程求解，分析等量关系，可借助画线段、表格等方法，同时应掌握一些常见的等量关系，如平均增长率问题、工程问题、利润问题等．对于一元二次方
程的根要根据实际情况进行取舍．
命题点1 一元二次方程的解法
(2012·某某)解方程：x2－2x＝2x＋1.
【思路点拨】分析该一元二次方程的特点，先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法．
【解答】
解一元二次方程通常就是四种方法，即直接开平方法，配方法，公式法和因式分解法．只要方程有实数根，配方法和公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松．
1．(2015·滨州)用配方法解一元二次方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的为( )
A．(x＋3)2＝1 B．(x－3)2＝1
C．(x＋3)2＝19 D．(x－3)2＝19
2．(2015·聊城)一元二次方程x2－2x＝0的解是________．
3．(2015·某某)解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写________________________________________________________________________．
4．(2015·某某)解方程：x2－6x－4＝0.
命题点2 一元二次方程的应用
(2015·蜀山二模)“大湖名城·创新高地·中国某某”，为了让学生亲身感受某某城市的变化，蜀山中学九(1)班组织学生进行“环某某一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：(1)如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；(2)如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3 150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
【思路点拨】根据题中条件容易判断出参加的人数为30人以上，等量关系为：人均价格×参加人数＝3 150，而
人均费用代数式可表示为：[100－2(x－30)]．从而可以列出方程，所求出的解需要根据人均费用不能低于80来判断是否符合题意．
【解答】
列方程解决实际问题的关键是要找到等量关系，在寻找等量关系时有时要借助示意图，图表等，在得到方程的解后，需要检验它是否符合实际意义．
1．，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是( )
(1＋x)＝4.5
(1＋x)2＝4.5
(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.5
2．(2015·某某)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原铁皮的边长为( )
A．10 cm B．13 cm
C．14 cm D．16 cm
3．(2015·达州)新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利 1 200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为________________________．
1．(2015·随州)用配方法解一元二次方程x2－6x－4＝0，下列变形正确的是( )
A．(x－6)2＝－4＋36 B．(x－6)2＝4＋36
C．(x－3)2＝－4＋9 D．(x－3)2＝4＋9
2．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0，则m等于( )
A．1 B．2
C．1或2 D．0
3．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )
A．x＝－1 B．x＝2
C．x＝1和x＝2 D．x＝－1和x＝2
4．(2013·某某)目前我们已经建立了比较完整的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发给每个经济困难学生389元，今年上半年发438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是( ) A．438(1＋x)2＝389 B．389(1＋x)2＝438
C．389(1＋2x)＝438 D．438(1＋2x)＝389
5．(2015·某某)如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为( )
A．2或－1 B．0或1
C．2 D．－1
6．(2015·某某)如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )
A．7 m
B．8 m
C．9 m
D．10 m
7．(2015·某某)方程x2＋x＝0的解是____________．
8．(2014·某某)一元二次方程2x2－3x＋1＝0的解为____________．
9．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有________支．
10．解方程：(1)(2015·某某)x2－3x＋2＝0；
(2)(2015·某某)x2－1＝2(x＋1)．
11．(2015·某某)利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．
12．(2014·某某三十八中模拟)有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
13．(2015·某某)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某某市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几
参考答案
考点解读
①降次 ②一次方程 ③配方法 ④x＝－b ±b 2
－4ac 2a
各个击破
例1 原方程化为：x 2－4x －1＝0.
配方，得x 2－4x ＋4－1－4＝0.
整理，得(x －2)2＝5.
∴x－2＝±5，即x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.
题组训练
1.D
2.x ＝0或x ＝2
3.x ＋3＝0(或x －1＝0)
，得x 2－6x ＝4，
配方，得x 2－6x ＋9＝4＋9，即(x －3)2＝13.
所以，x －3＝±13，
因此，原方程的解为x 1＝3＋13，x 2＝3－13.
例2 ∵100×30＝3 000＜3 150，
∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．
设九(1)班共有x 人去旅游，则人均费用为[100－2(x －30)]元，由题意得： x[100－2(x －30)]＝3 150.
整理得x 2－80x ＋1 575＝0，解得x 1＝35，x 2＝45.
当x ＝35时，人均旅游费用为100－2(35－30)＝90>80，符合题意．
当x ＝45时，人均旅游费用为100－2(45－30)＝70<80，不符合题意，应舍去． 答：该班共有35名同学参加了研学游活动．
题组训练
1.C
2.D
3.(40－x)(20＋2x)＝1 200
1．D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.A 1＝0，x 21＝1，x 2＝12
10.(1)Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×2＝1，
∴x ＝3±12×1＝3±12
， ∴x 1＝1，x 2＝2.
(2)原方程可以化为：(x ＋1)(x －1)－2(x ＋1)＝0，
左边分解因式，得(x ＋1)(x －3)＝0，
∴x ＋1＝0或x －3＝0.
因此，原方程的解为x 1＝－1，x 2＝3.
，得：
x(58－1＝25，x 2＝4.
∴另一边为8米或50米．
答：矩形长为25米宽为8米或矩形长为50米宽为4米．
12.(1)设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，由题意，得
1＝7，x 2＝－9(不合题意，舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
(2)7×64＝448(人)．
答：第三轮将有448人被传染．
13.(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x ，由题意，得 10(1＋x)2
，解得x 1，x 2＝－2.1(舍)．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%.
(2)6月：12.1×1.1＝13.31(万件)．
，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．
∵22<13.310.6
<23， ∴至少还需增加2名业务员．。