福建省石狮市2019年秋九年级上期末质量抽查数学试卷含答案

福建省石狮市2019年秋九年级上期末质量抽查数学试卷含答案年秋初
中期末质量抽查试卷
九年级数学
（考试时间：120分钟；满分：150分）
一、选择题（每小题3分，共21分）
1．若二次根式1-x 有意义，则x 的取值范围是（ ）
A ．x ≥1
B ．x ≥0
C ．x ＞1
D ．x ≠1
2．某试验水稻2013年平均每公顷产量为7200kg ，2015年平均每公顷产量为8000kg ，设该试验水稻每公顷产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ） A
．8000172007200=++）（x
B ．800017200
2
=+）（x C
．
8000172002=+）（x
D ．8000217200=+）（x
3．方程0462
=++x x 经过配方后，其结果正确的是（ ）
A ．
022=+）（x B ．1332
=+）（x C ．
532
=+）（x D ．532
=-）（x 4．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面
的水平线，电梯坡面BC 的坡度i =1∶3，则电梯坡面BC 的坡角α为
（ ）
A ．15°
B ．30°
C ．45 °
D ．60°
5．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∠C=105°，将△ABC 沿DE 折叠，点A 的对应点是点A ′，则∠AEA ′的度数为（ ）
A ．145°
B ．150°
C ．155°
D ．160°
6．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AD ∶AF=3∶5，BC=2.4，则CE 的长等于（ ）
A ．4
B ．3.6
C ．1.6
D ．5
7．在Rt △ABC 中，直角边为a 、b ，斜边为c . 若把关于x 的方程
022=++b cx ax 称为“勾系一元二次方程”，则这类“勾系一元二
次方程”的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．一定有实数根
二、填空题（每小题4分，共40分） 8
．计算：
=3
15 .
9．比较大小：．（选填“＞”、“=”或“＜”）
10．若1=x 是关于x 的一元二次方程22
20x mx m -+=的一根，则
m = ．
11．已知31=b a ，则b
b
a +的值为 ．
12．方程042=-x x 的解是 ．
13．用力旋转如图所示的正六边形转盘的指针，则指针停在
白色区域的概率为 .
14．若1x 、2x 是方程03452
=-+x x 的两个根，则21x x ⋅ .
15．如图，网格图中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在格
点上，则cosB= ．
16．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，CD = 3，AC =
8，若△CDB∽△CBA，则BC= ．
17．如图，△ABC 中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm ，把△ABC 绕着它
的斜边中点P 逆时针旋转
90°至△DEF 的位置，DF 交BC 于点H ．
（第13题）
(第17题) （第16题）
A
D
C
（第15题） A
B
C
（1）PH= cm ．
（2）△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为 2
cm ． 三、解答题（共89分） 18．（9分）计算：
42
1
612-⨯
-
19．（9分）解方程：
01422=+-x x
20．（9分）某校开展“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的
情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”、“戏剧”、“散文”、“其他”四个类别，每位同学仅选一项.
（1）调查某一位同学时恰好是选择“散文”的概率为 ； （2）在调查问卷中，有甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从
中任意选出2名同学参加学校的戏剧社团，请用画树状图或列表的方法，求选取的2人恰好是甲和丙的概率．
21．（9分）如图，在正方形网格图中，点A 、B 、C 、D 均在格点上，以点
A 为位似中心，将四边形ABCD 放大到原来的2倍得到四边形A
B ′
C ′
D ′． （1）请在网格图中画出四边形AB ′C ′D ′；
（2）填空：若按边分类，则△A C ′D ′是 三角形．
22．（9分）如图，某校数学兴趣小组为了测得学校旗杆的高度AB ，在点
D 处用高为1.2米
的测角仪CD ，测得旗杆顶端A 的仰角为22°，又测得BD=30米，求这根旗杆的高度AB. (精确到0.1米)
A
B
D
C 22°
A
B C
D
23．（9分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙
角(两墙足够长)，用26米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB 、BC 两边)，设AB=x 米．
（1）填空：矩形花园ABCD 的面积为 2
米；(用含x 的代数式表示)
（2）若在P 处有一棵树，它与墙CD 、AD 的距离分别是5米和15米，当围成花园的面积为
1202
米时，这棵树是否被围在花园内？ 请说明理由．
24．（9分）如图，矩形ABCD 中，点E 是CD 边上的一点，△BCE 沿BE 折
叠为△BFE ，点F 在AD 上. （1）求证：△ABF ∽△DFE ；
（2）若sin ∠DFE=3
1
，求tan ∠FBE 的值.
25．（13分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠C ，AD ＜BC ，
BC=6，AB=DC=4，点E 是AB 的中点，点P 为边BC 上的一个动点(点P 与点B 、C 不重合)．
（1）如图1，当BP=2时，求证：△BEP ∽△CPD ；
（2）设PF 交直线CD 于点F ，交直线AD 于点M ，∠EPF=∠C.
①如图2，当点F 在线段CD 的延长线上时，设BP=x ，DF=y ，求y 关于x 的函数关系式(不必写出x 的取值范围)； ②当BEP S ∆∶DMF S ∆=4∶9，时，求BP 的长．
26.（13分）已知直线m ∥n ，点C 是直线m 上一点，点D 是直线n 上一点，CD 与直线m 、n 不垂直，点P 为线段CD 的中点． （1）操作发现：直线l ⊥m ，分别交m 、n 于点A 、B ，当点B 与点D 重
合时(如图1)，连结PA ，请直接写出线段PA 与PB 的数量关
A C
E
D B
F
图1 A B C
D
P E
A
B C
D
（备用图）
·
E A B C D
F M
E
图2 P
系： ．
（2）猜想证明：在图1的情况下，把直线l 向右平移到如图2的位置，试问(1)中的PA 与PB
的关系式是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）延伸探究：在图2的情况下，把直线l 绕点A 旋转，使得
∠APB=90°(如图3)，若两平行线m 、n 之间的距离为k 2，求证：
PA•PB=k •AB．
C
m
n
·
A
P B(D)
图1
l C m
n
D
·
B
P A 图2
l C
m
n
D
· B
A P
图3
l
年秋初中期末抽考试卷
九年级 数学
参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共21分）
1．A ； 2．B ； 3．C ； 4．B ； 5．B ； 6．C ； 7．D.
二、填空题（每小题4分，共40分）
8．5； 9．＞； 10．1； 11．
3
4
； 12．01=x ，42=x ；
13．21； 14．53-； 15．54
； 16．62；
17．（
1）2）9.
三、解答题（共89分） 18．解：原式=22
1
632-⨯
- ……………………………………………… 6分 =2332--
=23- ………………………………………………………………… 9分
19．解：∵2=a ，4-=b ，1=c ， …………………………… 3分
∴()8124442
2
=⨯⨯--=-ac b .
∴()22
22284±=⨯±--=x ……………………………… 7分
即：2221+=x ，2
2
22-=x . ………………………… 9分
20．解：
（
1
）
4
1
； ……………………………………………………………………………………… 3分 （2
…………… 7分
∵任意选出2名同学的结果共有12种，其中恰好是甲和丙的只有2种，
∴选取的2人恰好是甲和丙的概率为
6
1
. …………………………………………… 9分 列表法如下：
6
21．解：
（1）所画四边形AB ′C ′D ′如图所示. ………… 6分 （2）等腰. ……………………………………… 9分
（填“等腰直角”不扣分）
22．解：作CE ⊥AB 于点E. ………………………… 1分 由作图和已知易得四边形CDBE 是矩形.
∴CD=EB=1.2米，CE=DB=30米
. ……………… 3分 在Rt △ACE 中，∠ACE=22°，∠AEC=90°，
∵CE
AE ACE tan =
∠，………………………… 6分
∴1122230.tan ACE tan CE AE ≈︒⨯=∠⋅=(米)，………… 8分 ∴31321112...EB AE AB =+≈+=(米). …………………… 9分
23．解：
（1）()x x -26. …………………………………… 3分 （2）依题意，得
()12026=-x x ，……………………………… 5分
0120262=+-x x ，
解得61=x ，202=x . ……………………… 7分 当6=x 时，2062626=-=-x ，
A
B C
D
B ′ D
′
C ′
A
B
D C 22° E
7分
即当AB=6＜15，BC=20＞5时，这棵树没有被围在花园内；……………………… 8分
当20=x 时，6202626=-=-x ，
即当AB=20＞15，BC=6＞5时，这棵树有被围在花园内. ………………………… 9分 24．
（1）证明：
∵四边形ABCD 是矩形
∴∠A=∠D=∠C=90°，…………………………………… 1分 ∵∠BFE=∠C=90°，
∴∠AFB+∠DFE=90°，…………………………………… 2分 又∵∠AFB+∠ABF=90°，
∴∠ABF=∠DFE ， ………………………………………… 4分 ∴△ABF ∽△DFE.
（2）解：在Rt △DEF 中，sin ∠DFE=3
1
==
EF DE ， ∴设DE=a ，则EF=a 3，DF=a 22，…………………… 6分 ∴CE=EF=a 3，AB=CD=DE+CE=a 4. ……………………… 7分
又由(1)△ABF ∽△DFE ，
∴
2
2
422===a a AB DF BF FE ，………………………… 8分 ∴2
2
==∠BF FE FBE tan . …………………………… 9分 25．（1）证明：
由已知易得：BE=BP=2，CP=CD=4．
∴2
1==CD BP CP BE ，………………………2分 ∵∠B=∠C，……………………………… 3分 ∴△BEP∽△CPD． （2）解：
①如图2，
∵∠BPF=∠BPE+∠EPF=∠C+∠F ，……… 4分 ∠EPF=∠C ，
∴∠BPE =∠F，…………………………… 5分 ∵∠B =∠C ，……………………………… 6分 ∴△BPE∽△CFP，
∴
CF
BP
CP BE =
，即462+=-y x x ， ∴432
12
-+-=x x y .………………… 7分
②如图2，当点F 在线段CD 的延长线上时，
A
C
E
D B
F
图1
A B
C
D
P
E A C
D
F M E 图2
P
∵AD ∥BC ，即MD ∥PC ， ∴∠FDM=∠C ， ∵∠B =∠C ， ∴∠FDM=∠B.
由(2)①得：∠BPE =∠F，
∴△BPE∽△DFM，……………………………………………………………………… 8分
∵BEP S ∆∶DMF S ∆=4∶9，
∴
3
2
==y x DF BP ， ∴x y 2
3
=，……………………………………………………………
……………… 9分
由(1)得：432
12
-+-
=x x y ， ∴0832
=+-x x ，
∵△=
81432
⨯⨯--）（＜0， ∴此方程无实数根.
∴当点F 在线段CD 的延长线上时，不存在点P 使得BEP S ∆∶
DMF S ∆=4∶9. …… 10分
如备用图，当点F 在线段CD 上时，同理可得：△BPE∽△DFM，
∵BEP S ∆∶DMF S ∆=4∶9， ∴
3
2==y x DF BP ， ∴x y 23
=，…………………………………………………………………………… 11分
由(1)易得：△BPE∽△CFP，
∴
CF
BP
CP BE =
，即y x x -=-462， ∴432
12
+-=x x y ， ………………………………………………
……………… 12分
∴0892
=+-x x ，
解得11=x ，82=x (不合题意，舍去)， ∴1=x ，即BP=1．
∴当BEP S ∆∶DMF S ∆=4∶9时，BP 的长为1． …………………………………… 13分 26．解：
（1）PA=PB. ……………………………………………………… 3分
（备用
图）
A B C
D
E
P M
F
（2）这时PA 与PB 的关系式仍然成立，证明如下：
解法一：如图2，延长AP 交直线m 于点E. ∵m ∥n ，
∴∠ACP=∠PDE ，∠CAP=∠PED ，…………………………… 4分 又∵PC=PD ，
∴△PAC ≌△PED(A.A.S.). ………………………………… 5分
∴PA=PE ，即点P 是AE 的中点，…………………………… 6分 又∵∠ABE=90°，
∴PA=PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半). … 7分
解法二：如图2-1，把直线l 向左平移到经过点P 的位置，易得AF=BE. ………… 4分 ∵m ∥n ， ∴
PE
PF
PD PC ，………………………………………………5分 ∵PC=PD ，
∴PF=PE. …………………………………………………… 6分
∵∠AFP=∠BE=90°，
∴△PAF ∽△PBE(S.A.S.). ……………………………… 7分 ∴PA=PB.
解法三：如图2-2，把直线l 向右平移到经过点C 的位置，易得AC=BE. …… 4分
∵∠CED=90°，PC=PD ，
∴PC=PE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半). … 5分 ∴∠PCE=∠PEC ，
∴90°-∠PCE=90°-∠PEC ，即∠ACP=∠BEP ，………… 6分 ∴△PAC ∽△PBE(S.A.S.). ……………………………… 7分 ∴PA=PB.
（3）解法一：如图3，延长AP 交直线n 于点E ，作AF ⊥直线n 于点
C m
n
D ·
B P A 图2
l
E
C m
n
D · B
P A 图2-1
l
E
F C
m
n
D
·
B P A 图2-2
l
E
F. ………… 8分
由(2)得PA=PE ，
又∵∠APB=90°，
∴BP 是线段AE 的垂直平分，
∴AB=BE. ……………………………………………… 9分
∵∠AFE=∠BPE=90°，∠AEF=∠BEP ，
∴△AEF ∽△B EP. …………………………………… 10分 ∴
BP
AF
BE AE =，……………………………………… 11分 ∴BE AF BP AE ⋅=⋅，
∵AF=k 2，AE=2PA ，BE=AB ，………………………… 12分 ∴2PA ·PB=2k ·AB ，
∴PA•PB=k •AB．……………………………………… 13分
解法二：如图4，延长AP 交直线n 于点E ，作PH ⊥m 于点H ，交
直线n 于点F. … 8分
∴∠P HA =90°.
∵m ∥n ， ∴
PD
PC
PF PH =， ∵PC=PD ，HF=2k ，
∴PH=PF=k . …………………………………………… 9分 由(2)得PA=PE.
∵∠APB=90°，即BP ⊥AE. ∴BP 是线段AE 的垂直平分，
∴AB=BE. ……………………………………………… 10分
∴∠AEB=∠BAP. ∵m ∥n ， ∴∠AEB=∠HAP ，
∴∠BAP=∠HAP ，……………………………………… 11分 ∵∠PHA =∠APB=90°，
∴△AHP ∽△APB. …………………………………… 12分 ∴
PB
PH
AB PA =， ∴AB PH PB PA ⋅=⋅，即PA•PB=k •AB． ……… 13分
C
m
n
D · B
A P
图3
l
F E
C
m
n
D · B
A P
图4
l
H E F
解法三：如图5，延长AP 交直线n 于点E ，作PH ⊥m 于点H ，交
直线n 于点F. … 8分
∴∠PHA =90°.
∵m ∥n ，
∴PD
PC
PE PA PF PH ==， ∵PC=PD ，HF=2k ，
∴PA=PE ，PH=PF=k . …………………………………… 9分 由(2)得PA=PE. ∵∠APB=90°，即BP ⊥AE. ∴BP 是线段AE 的垂直平分，
∴AB=BE. ………………………………………………… 10分
∵PA=PE ，
∴PEB PAB S S ∆∆=，即
PF BE PB PA ⋅=⋅2
1
21， …… 12分 ∴AB k PF BE PB PA ⋅=⋅=⋅. …………………… 13分
C
m
n
D · B
A P
图5
l
H E F。