经济应用数学课件4.6定积分的应用

例6.4 设某产品在时刻 t 总产量的变化率为
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f(t)10012t0.6t2， 求：
（1）总产量函数 Q ( t )；
（2）从 t0 2 到 t1 4 这段时间内的总产量．
解 （1）总产量函数为
Q(t) t f (u)du t(10012u0.6u2)du
P(1,1),Q(4,2)
y 2 x
A
1[(2y)y2]dy
2
(2y
y2 2

y3)1 9 3 2 2
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2．旋转体的体积
经济应用数学
旋转体是指由平面图形绕该平面内的某直线旋转 一周所形成的立体图形，这条直线叫做旋转轴．
下面我们计算由连续曲线 y f (x) 、直线 xa x b 所围成的图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体
a
a
类似地，如图所示，由连续曲线 x ( y),
直线 y c, y d c d 以及 y 轴所围成的.
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曲边梯形绕 y 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为
d
V y π
x 2d y
c
π d [ g ( y )] 2 d y c
L (x)R (x)C (x) 7x 1 x2 (13x1x2)
2
6
4x 2x2 1 (万元) 3
（2） 当产量从4台增加到6台时，增加的总成本和总收入
分别为
C
6
C(x)dx

C
(
x
)
6
4
4
(136162)(134142)
6
6
9.33 (万元)
解
解方程组
y2 x

y

x2
，得两条抛物线的
交点为 (0,0),(1,1)
A
1
(
xx2)dx
0

(2
3
x2

1
x3)
1

1
3 3 03
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例6.2 求由抛物线y 2 x 与直线 xy20所围成图形的面积．
解
解方程组

y2 x
得交点
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1．已知边际函数求经济总量及其改变量
(1)设生产的总成本 C ( x ) 的边际成本是 C ( x ) 那么当产量为 x 时，总成本
x
C(x)0C(x)dxC(0)
x
其中 C ( 0 ) 为固定成本， C ( x)dx 表示随产量 0 x 变化的可变成本． 若产量由 x 1 增到 x 2 时，
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（２）绕 y 轴旋转所形成立体(如图)的体积等于直线
x2绕 y 轴旋转得到的体积减去抛物线 y x 2 绕
y轴旋转得到的立体，所以其体积
Vy0422dy04(
y)2dy(4y1 y2)
2
48
0
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4.6.2 定积分在经济上的应用举例
内的总收入现值
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RTAertdtAert TA(1erT)
0
r 0r
（2）纯收入（贴）现值的计算
投资 T 年后获总收入的现值是 R A(1erT )
r
所以投资获得的纯收入（贴）现值为
RaA(1erT)a r
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（4） 由 L(x)44x0，得惟一驻点 x 3
3
而由 L(3) 40, 知 x 3 时，
3
总利润取得极大值，即为最大值，所以最大利润为
L(3)4323215 (万元) 3
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2．投资问题
现有 a 元货币，按年利率r 作连续复利计算， t 年
xa
xb
x
A
y f(x)
3
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(3) 由曲线 y f(x)（有正有负），直线 x a, x b ( a b ) 及 x 轴所围成的的面积为
c
d
b
A af(x)d x cf(x)d x df(x)d x
y
y f(x)
A1 c
A3
xa o A 2 d
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R
6
R(x)dx
R(x
)
6
4
4
(76 162)(74142) 4 (万元)
2
2
（3） 当产量从4台增加到6台时，增加的平均成本和平均
收入分别为
CC9.334.665 (万元) 64 2
R R 42 (万元) 64 2
0
0
(10 u 06u20.2u3)t 1t06 0 t20.2t3 0
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（2）从 t0 2 到 t1 4这段时间内的总产量为
4 f (t)dt
Q(t) 4
Q(4)Q(2)
2
2
(1 0 4 0 6 4 2 0 .2 4 3)
平面图形的面积.
x2 y2 2 所围成的
4.6 定积分的应用
经济应用数学
4.6.1 定积分在几何上的应用 4.6.2 定积分在经济上的应用
1
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4.6.1 定积分在几何上的应用
经济应用数学
1．平面图形的面积
在直角坐标系中求平面图形的面积，借助几何图形 和定积分的几何意义，容易得到计算平面图形面积 的定积分表达式．
（1）平面图形是由一条曲线 y f (x) 和直线 x a,
后的本息共为 a e r t 元；反过来，若 t 年后要拥有货币
b 元，仍按连续复利计算，现在应投入资金多少元？
这是求资本现值问题．
（1）现值的计算
设在时间段 [ 0 , T ] 内 t 时刻的收入率 f ( t )（即单位时
间内的收入）是均匀的，即 f (t) A（常数）
年利率也为常数，按连续复利计算，则在 [ 0 , T ]
总收入函数和总利润函数；
（2）当产量从4台增加到6台时，求增加的总成本和总收入；
（3）当产量从4台增加到6台时，求增加的平均成本和平均 收入；
（4）产量为多少时，总利润最大？最大利润为多少？
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解 （1）由于总成本是固定成本和可变成本之和，所以 总成本函数为
x
总成本的改变量为
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CC(x2)C(x1)
x 2 C (x ) d x C ( 0 )x 1 C (x ) d x C ( 0 )
0
0
x
，
x2 C(x)dx x1
此时的平均成本为
C
C
x2 C(x)dx x1
C(x)C(0) C(t)dt1
x(31t)dt
0
03
13x 1 x2 (万元) 6
由于产量为时，总收入也必为0，因此总收入函数为
x
R(x) R(t)dt
x
(7 t)dt

7x
1
x2
(万元)
0
0
2
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利润是总收入与总成本之差，所以总利润函数为
x2 x1
x2 x1
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(3)若已知边际利润函数 L (x)R (x)C (x)
则总利润函数为
x
x
L ( x ) 0 L ( x ) d x C ( 0 ) 0 [ R ( x ) C ( x ) ] d x C ( 0 )
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（3）投资回收期的计算 收回投资，即总收入现值等于投资，即有
A(1erT ) a r
解得
T 1 ln A r Aar
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例6.6 若对某企业投资400万元，年利率 r 10%，
设在10年内的均匀收入率为100万元/年，试求： （1）该投资的纯收入（贴）现值； （2）收回该笔投资的年限是多少？
(5)由曲线 x(y),x(y)((y)(y)), 直线
yc,yd (c d ) 所围成的图形的面积为
Acd[(y)(y)]dy
y d
x (y)
A
c o
x(y)
x
6
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例6.1 求由两条抛物线 y2 x,yx2所围成的图形的面积．
xb x
4
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(4) 由两条连续曲线 yf(x)y ,g(x) (f(x)g(x)),
直线 xa,xb ( a b ) 所围成的图形的面积为
b
Aa[f(x)g(x)]dx
y y f(x)
A
y g(x)
oa
bx
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x2 x1
x2 x1
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铃经济应Biblioteka 数学 (2)若已知边际效益
R ( x),
则效益函数R(x)
x
R(x)dx,
0
这里 R(0) 0
当产量由 x 1 增到 x 2 时， 效益的改变量
R(x) x2 R(x)dx x1
此时的平均效益为
R
R
x2 R(x)dx x1
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例6.3 求由抛物线 y x 2 ，直线 x2 及 x轴所围
平面图形分别绕 x轴、 y 轴旋转所得立体的体积 V
解 （1）绕x轴旋转所生成的立体(如图)体积为：
Vx
2 y2dx
0
2 x4dx
0
x5 2 32
5 05
(1 0 2 0 6 2 2 0 .2 2 3)
260.8
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例6.5 已知生产某产品台的边际成本函数和边际收入
函数分别为 C(x) 31x (万元/台)， 3
R(x)7x(万元/台)．
（1）若固定成本 C(0) 1(万元)，求总成本函数，
积分表示为
ha (
y)2dy
0h
思考题解答
1. ×2. √
31
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练习题
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1、求由曲线 x y 1 和直线 yx, y3 所围成的
平面图形的面积.
2、求由曲线 y 2 2 x 和直线 y 4 x 所围成的
平面图形的面积.
3、求由曲线 y x 2 和
解 这里， a 400, A 100,r10%0.1, T 10
得，10年中投资所得纯收入（贴）现值为
R400100(1e0.110)400 0.1
1 0 0 0 (1 e 1 ) 4 0 0 2 3 2 .1(万元)
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（2）由公式 T 1 ln A 得，投资回收期 r Aar
T1ln 1 0 0 1 0ln55 .1(万元) 0 .11 0 0 4 0 0 0 .1 3
4.6.3 小结
导数在几何及经济中的应用
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思考题
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判断：
（1）定积分 a(a2 x2)dx 表示半径为 a 的球体的 0
体积．
（）
（2）半径为 a ，高为 h 的圆锥体的体积可以用定
则以截面 A ( x ) 为底、以 d x 为高的圆柱体体积
是旋转体体积的微元素：
d V A (x )d x y 2 d x [f(x ) ] 2 d x
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(3)将微元 d V 依次相“加”，即在 [a, b] 上积分，得
所求的旋转体体积为
b
b
V x π y2dx=π [f(x)]2dx
(如图)的体积 V
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(1)取 x 为积分变量，其变化区间为 [a, b] ，在 [a, b] 上任取一点 x ，作垂直于 x 轴的截面，
该截面是半径为 f ( x ) 的圆，因而截面面积为
A (x)y2[f(x)]2
(2)在 [a, b] 上，以 x 为端点取区间 [x, xdx]
x b 及 x轴围成的.
b
Aa f (x)dx
y xa
y f(x)
A
xb x
2
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经济应用数学
（2）由曲线 y f(x) ( f (x) 0) ，直线 xa,xb
( a b ) 及 x轴所围成的图形的面积为
b
b
Aa f(x)dxaf(x)dx
y
x
其中 C ( 0 ) 为固定成本， L ( x )d x 表示不考虑固 0
定成本下的利润函数，亦称为毛利润
当产量由 x 1 增到 x 2 时, 利润的改变量为
L(x) x2 L(x)dx x1
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x2 L( x)dx
此时的平均利润为 L x1 x2 x1