浙江省舟山市中学高三数学文测试题含解析

浙江省舟山市中学高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等于
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
答案：B
2. 已知函数在上有两个零点，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
3. “”是“”的（）
A 充分非必要条件
B 必要非充分条件
C 充要条件
D 既非充分又非必要条件.
参考答案：
B
略
4. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知
,是一对相关曲线的焦点,是它们在第一象限的交点，当时，
这一对相关曲线中双曲线的离心率
是 ( )A．B． C． D．
参考答案：
C
略
5. 若关于x的方程在区间（0，1）上有解，则实数m的取值范围是
（A）（0，1）（B）（1，2）（C）（D）
参考答案：
A
略
6. 设定义在区间[﹣k，k]上的函数f（x）=是奇函数，且f（﹣）≠f（），若[x]表示不超过x的最大整数，x0是函数g（x）=lnx+2x+k﹣6的零点，则[x0]=（）
A．1 B．1或2 C．2 D．3
参考答案：
C
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】利用定义在区间[﹣k，k]上的函数f（x）=lg是奇函数，求出m=1，0＜k＜1，利用函数g（x）=lnx+2x+k﹣6在（0，+∞）上单调递增，g（2）=ln2+k﹣2＜0，g（3）=ln3+k＞0，即可得出结论．
【解答】解：∵定义在区间[﹣k，k]上的函数f（x）=lg是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），∴1﹣m2x2=1﹣x2，∴m=±1，
m=﹣1时，f（x）=0，不满足f（﹣）≠f（），∴m=1，
∴f（x）=lg，定义域为（﹣1，1），
∴[﹣k，k]?[﹣1，1]，∴0＜k＜1，
∵函数g（x）=lnx+2x+k﹣6在（0，+∞）上单调递增，
g（2）=ln2+k﹣2＜0，g（3）=ln3+k＞0，
∴x0∈（2，3），
∴[x0]=2，
故选C．
【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于中档题．
7. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝（x＋1），则对任意的m∈R，函数F（x）＝f（f（x））－m的零点个数至多有
A．3个B．4个C．6
个D．9个
参考答案：
A
当时,由此可知在上单调递减，在上单调递增，
,且,数是定义在上的奇函数，，而时，,所以的图象如图，令,则，由图可知，当时方程至多3个根，当时方程没有根，而对任意，至多有一个根，从而函数
的零点个数至多有3个.
8. 已知：，则目标函数
A．，
B．，
C．，z无最小值
D．，z无最小值
参考答案：C
如图：,,,显然
9. 条件P：x<-1，条件Q：x<-2，则P是Q
的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：
B
10. 复数z=i?（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
B
考点：复数的代数表示法及其几何意义．
专题：计算题．
分析：化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．
解答：解：z=i?（1+i）=﹣1+i，
故复数z对应的点为（﹣1，1），
在复平面的第二象限，
故选B．
点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，则
_________. 参考答案： 1
12. 已知是虚数单位，复数z 的共轭复数为，若2z =? 2 ? 3，则z ? ▲
．
参考答案：
试题分析：设
，则
考点：复数相等
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数
的实部为、虚部为
、模为
、对应点为
、共轭为
13. 设
均为正实数，且
，则
的最小值为 ．
参考答案：
16 略
14. 若圆和曲线恰有六个公共点，则的值是 ▲ ．
参考答案：
3 略
15. 设O 是△ABC 内部一点，且的面积之比
为 参考答案：
1
16. 设函数f （x ）=|x 2﹣2x|﹣ax ﹣a ，其中a ＞0，若只存在两个整数x ，使得f （x ）＜0，则a 的取值范围是 ．
参考答案：
（0，]
【考点】5B ：分段函数的应用．
【分析】分别画出y=|x 2﹣2x|与y=a （x+1）的图象，则存在两个整数，使得y=|x 2﹣2x|在直线y=ax+a 的下方，结合图象即可求出函数a 的范围
【解答】解：f （x ）=|x 2﹣2x|﹣ax ﹣a ＜0， 则|x 2
﹣2x|＜ax+a ，
分别画出y=|x 2﹣2x|与y=a （x+1）的图象，如图所示， ∵只存在两个整数x ，使得f （x ）＜0， 当x=1时，y=|12﹣2|=1， ∴2a=1，
解得a=，此时有2个整数，
结合图象可得a 的取值范围为（0，]，
故答案为（0，]．
【点评】本题分段函数的问题，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．
17. 对任意实数，函数．如果函数，那么对于函数．对于下列五种说法：
(1) 函数的值域是；
(2) 当且仅当时，；
(3) 当且仅当时，该函数取最大值1；
(4)函数图象在上相邻两个最高点的距离是相邻两个最低点的距离的4倍
(5) 对任意实数x有恒成立．
其中正确结论的序号是．
参考答案：
(2) (4) (5)
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，后得到如图的频率分布直方图．
（Ⅰ）求图中实数的值；
（Ⅱ）若该校高一年级共有学生500人，试估计该校高
一年级在这次考试中成绩不低于60分的人数；
(Ⅲ)若从样本中数学成绩在与两个
分数段内的学生中随机选取两名学生,试用列举
法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.
参考答案：
解：（Ⅰ）由
可得…………2分（Ⅱ）数学成绩不低于60分的概率为:
……4分
数学成绩不低于60分的人数为
人……5分
(Ⅲ)数学成绩在的学生人数：
人……6分
数学成绩在的学生人数：
人……7分
设数学成绩在的学生为，
数学成绩在的学生为…………8分
两名学生的结果为：，
…………10分
共种；…………11分
其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的情况有，，，，，，共7种，…………12分
因此，抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率为…………13分略
19. 函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．
（1）求函数的解析式y=f（x）；
（2）求函数的对称轴、对称中心、单调减区间．
参考答案：考点：正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（1）通过同一个周期内，当时y取最大值1，当时，y取最小值﹣1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．
（2）根据正弦函数的单调区间，即可得到函数的单调区间，结合函数的对称轴和对称中心的定义进行求解即可．
解答：解：（1）∵函数在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1，∴T==，
∴ω=3．
∵，
∴（k∈Z），
即φ=2kπ﹣，
又∵|φ|＜，
∴可得，
∴函数．
（2），
得x=，
即f（x）的对称轴为x=（k∈Z）；
由3x﹣=kπ，即x=+，即函数的对称中心为（+，0），
令+2kπ≤≤+2kπ，k∈Z，
解得+≤x≤+，
即函数的单调递增区间为为[+，+]，k∈Z．
点评：本题主要考查求三角函数的解析式与三角函数的有关基本性质，如函数的对称性，单调性，掌握基本函数的基本性质，是学好数学的关键．
20. 若F1，F2是椭圆C： +=1（0＜m＜9）的两个焦点，椭圆上存在一点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点（0，）的直线l与椭圆C交于两点A、B，线段AB的中垂线l1交x轴于点N，R是线段AN的中点，求直线l1与直线BR的交点E的轨迹方程．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）求出a=3，b=，设椭圆的下焦点F1，设线段PF1的中点为：M；由题意，OM⊥PF1，又OM=b，OM是△PF1F2的中位线，由椭圆定义，在Rt△OMF1中的勾股定理，求出b=2，得到m．然后求解椭圆C的方程．
（Ⅱ）上焦点坐标（0，）．直线l的斜率k必存在．设A（x1，y1）B（x2，y2），弦AB的中点Q （x0，y0），利用平方差法得到AB的斜率，通过（1）当x0≠0时，k=k AB=，推出9x02+4y02﹣
4y0=0，连结BN，则E为△ABN的重心，设E（x，y），利用重心坐标公式，推出代入9x02+4y02﹣4y0=0轨迹方程，（2）当x0=0时，验证即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵0＜m＜9，∴a=3，b=，不妨设椭圆的下焦点F1，设线段PF1的中点为：M；由题意，OM⊥PF1，又OM=b，OM是△PF1F2的中位线，
∴|PF2|=2b，
由椭圆定义，|PF1|=2a﹣2b=6﹣2b．∴=3﹣b，
在Rt△OMF1中：，
∴c2=b2+（3﹣b）2，又c2=a2﹣b2=9﹣b2．，
∴b2+（3﹣b）2=9﹣b2交点b=0（舍去）或b=2，∴m=b2=4．
∴椭圆C的方程： +=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）椭圆C的方程： +=1．
上焦点坐标（0，）．直线l的斜率k必存在．
设A（x1，y1）B（x2，y2），弦AB的中点Q（x0，y0），
由，可得4（y1+y2）（y1﹣y2）=﹣9（x1+x2）（x1﹣x2），
∴k==﹣=﹣（y0≠0）
（1）当x0≠0时，k=k AB=∴k==?9x02+4y02﹣4y0=0，?
又l1：y﹣y0=，∴N（），
连结BN，则E为△ABN的重心，设E（x，y），
则，
∴代入9x02+4y02﹣4y0=0可得：48x2+3y2﹣2，（y≠0）．
（2）当x0=0时，l：y=，N（0，0），E（0，）也适合上式，
综上所述，点E的轨迹方程为：48x2+3y2﹣2，（y≠0）．
21. （本小题共13分）
已知曲线的方程为：.
（Ⅰ）分别求出时，曲线所围成的图形的面积;
（Ⅱ）若表示曲线所围成的图形的面积，求证：关于是递增的;
(III) 若方程，，没有正整数解，求证：曲线
上任一点对应的坐标，不能全是有理数.
参考答案：
（1），；（2）见解析；（3）见解析
考点：数列综合应用（1）当时，由图可知，.
（2）要证是关于递增的，只需证明：．
由于曲线具有对称性，只需证明曲线在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递增．现在考虑曲线与，
因为
因为
在(1)和(2)中令，
当，存在使得，成立，
此时必有．
因为当时，
所以．
两边同时开n次方有，．（指数函数单调性）
这就得到了，
从而是关于递增的．
（3）由于可等价转化为，
反证：若曲线上存在一点对应的坐标，全是有理数，
不妨设，，且互质，互质．
则由可得，
．
即．
这时就是的一组解，
这与方程，，没有正整数解矛盾，
所以曲线上任一点对应的坐标，不能全是有理数．
22. 在等差数列{a n}中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b n}的前n项和S n．
参考答案：
考点：数列的求和；等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：（Ⅰ）依题意 a3+a8﹣（a2+a7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，得，所以
．所以
=．由此能求出{b n}的前n项和S n．
解答：（Ⅰ）解：设等差数列{a n}的公差是d．
依题意 a3+a8﹣（a2+a7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．
所以 a2+a7=2a1+7d=﹣23，解得 a1=﹣1．
所以数列{a n}的通项公式为 a n=﹣3n+2．
（Ⅱ）解：由数列{a n+b n}是首项为1，公比为c的等比数列，
得，即，
所以．所以
=．
从而当c=1时，；
当c≠1时，．
点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．。