2016年福建省漳州市四地六校高三上学期第一次联考(10月)数学(理)试题(解析版)

试卷第1页，总10页
2016届福建省漳州市四地六校高三上学期
第一次联考（10月）数学理试卷
（考试时间：120分钟 总分：150分）
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合{0,1}M =，集合2{|0}N x x x =+=，则集合M N ⋂=（ ） A ．0 B ．φ C ．{}0 D ．{1} 答案：C
试题分析：由题M={0，-1},所以M N ⋂={0}，故选C ． 考点：集合的运算 2．命题“若α＝4
π
，则tan α＝1”的逆否命题是（ ） A ．若α≠
4π
，则tan α≠1 B ．若α＝4
π
，则tan α≠1
C ．若tan α≠1，则α＝4π
D ．若tan α≠1，则α≠4
π
答 案：D
试题分析：根据原命题的逆否命题为互换命题的条件与结论并否定，不难得到选项D 为其逆否命题． 考点：逻辑与命题
3．下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（ ） A ．
B ．
C ．1
y x =+
D ．
答 案：C
试题分析：A 不是偶函数；B 在给定定义域上不单调，C 显然正确，D 没有奇偶性，故选C ．
考点：函数的基本性质
4．若()f x 对于任意实数x 恒有2()()31f x f x x --=+，则(1)f = （ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．-1 答 案：A
试题分析：由题令x=1或-1可以得到关于f （1）和f （-1）的方程，联立不难求得f （1）=2,故选A ．
考点：函数值；方程组法求解析式
5．已知条件p ：|x +1|＞2，条件q ：5x ﹣6＞x 2
，则￢q 是￢p 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答 案：B
试题分析：由题根据所给命题易知p:x>1或x<-3；q:2<x<3,所以￢q ：x ≥3或x ≤2,￢p:-3≤x ≤1,所以￢q 是￢p 的必要不充分条件，故选B ． 考点：充分条件；必要条件；充要条件 6．已知13
11
2
31
a=3,b=log 3,c=log ,2
则（ ） A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞b ＞a D ．b ＞a ＞c 答 案：B
试题分析：由题a>1,b<0,0<c<1,所以选B ． 考点：指数、对数式子的大小比较
7．函数1
()ln
)f x x x
=-（的图象是（ ）
答 案：B
试题分析：由题易知-1<x<0或x>1,函数在定义域内对应的各个单调区间上单调递增所以选B ．
考点：对数函数的图像与性质
8．函数()f x 是偶函数且满足(2)()f x f x +=-，当[]0,2x ∈时，()1f x x =-，则不等式()0xf x <在[]2,3-上的解集为（ ）
A ．（1，3）
B ．（-1，1）
C ．（-1，0）∪（1，3）
D ．（-2，-1）∪（0，1）
答 案：D
试题分析：根据函数的奇偶性和周期性求出函数f （x ）的解析式，利用不等式的性质即可得到结论．若x ∈[-2，0]，则-x ∈[0，2]，此时f （-x ）=-x-1， ∵f （x ）是偶函数，∴f （-x ）=-x-1=f （x ），即f （x ）=-x-1，x ∈[-2，0]， 若x ∈[2，4]，则x-4∈[-2，0]，
∵函数的周期是4，∴f （x ）=f （x-4）=-（x-4）-1=3-x ，1,2x 001,023,24x f x x x x x ---≤⎧⎪
=-≤≤-≤⎩
∴⎨⎪≤（） ，
作出函数f （x ）在[-1，3]上图象如图，
若0＜x<1，则不等式xf （x ）＞0等价为f （x ）＞0，此时0＜x ＜1， 若-2<x<0，则不等式xf （x ）＞0等价为f （x ）＜0，此时-1＜x ＜0， 综上不等式xf （x ）＞0在[-1，3]上的解集为（0，3）∪（-2，0），故选D ．
试卷第3页，总10页
考点：函数奇偶性
9．方程13
12x
x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的解所在的区间是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答 案：B
试题分析：由题设()13
12x
f x x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭,
1112113
3
3333
111221210,033233234f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-<=-=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,故选B ． 考点：幂函数性质；函数的零点
10．用{}min ,,a b c 表示a,b,c 中的最小值，设{}()min 2,2,8(0),x
f x x x
x =+-≥则
()f x 的最大值是（ ）
A ．4
B ．6
C ．3
D ．5 答 案：D
试题分析：画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值．
由题根据所给条件不难得到()()()2,0222484x x f x x x x x ⎧≤⎪
=+≤⎨⎪-⎩
＜（），＜＞ ，
其图像如图所示所以最大值为5．故选D ．
考点：函数的图像与性质
11．若[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2．9]＝2，[－4．1]＝－5，已知[]()f x x x =- （x R ∈），g x x 2015（）=log ，则函数()()()h x f x g x =-的零点个数是（ ） A ．2016 B ．2015 C ．2014 D ．2013 答 案：C
试题分析：：依题意画出
的图象如图所示，当x>0时
与
有两个交
点，因为2015log 20151= ，则函数
的零点个数为2014．
考点：函数的零点
12．已知()f x 是在R 上的可导函数，且,x R ∀∈都有'()()0f x f x -<则（ ） A ． B ． C ． D ． 答 案：A 试
题
分
析
：
令
试卷第5页，总10页
()()()
,0x
x
f x f x f x
g x g x f x f x g x e e '-=
∴'=
'∴'（）（），（）＞（），（）＜，
即函数g （x ）为R 上的减函数，∴g （-2015）＞g （0）＞g （2015），
即∴e 2015f （-2015）＞f （0），∴f （2015）＜e 2015
f （0）．故选A ． 考点：导数的运算；利用导数研究函数的单调性． 二.填空题: （本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 13．|1|21(0,1)
x y a a a
-=⋅->≠过定点____．
答 案：（1，1）
试题分析：由题根据指数函数性质令|x-1|=0可得x=1,此时y=1，所以函数经过定点（1,1）．
考点：指数函数的性质 14
．
已
知
函
数
)
()
1
331
f x x
x =-+，
则1
(l g 2015)(
l
g
)
2015
f f
+= ． 答 案：2
试题分析：由题设())
l n
3g x x = 易知()10g x g x ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，所以
1
(l g 2015
)(l g )2015
f f
+=2． 考点：函数的基本性质
15．已知函数()2
ln f x x x ax =+-在（0,1）上是增函数，则实数a 的最大值是 ． 答
案：试
题分析：由题在（0,1）上()11
'20,2f x x
a a x x x
=+
->∴<+ ，1
2x a x
+
>∴≤，故a 的最大值为 考点：利用导数研究函数的性质；恒成立问题
16．设函数()()2015011sin x x f x log x x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩
（
），＞若a,b,c 互不相等，且f （a ）=f （b ）=f （c ），
则a+b+c 的取值范围为 ．
答 案：（2,2016）
试题分析：作出函数的图象，由已知f （a ）=f （b ）=f （c ），且a ≠b ≠c ，结合函数的图象可得0＜a ＜1，0＜b ＜1，1＜c ＜2015，且a b πππ+= ，从而可求 由已知f （a ）=f （b ）=f （c ），且a ≠b ≠c,结合函数的图象可得0＜a ＜1，0＜b ＜1，1＜c ＜2010，且a b πππ+=即a+b=1,∴a+b+c=1+c ∈（2，2016）．
考点：函数与方程
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）命题p ：关于x 的不等式22(1)0x a x a +-+>的解集为R ，命
题q ：函数=x y a a -2（2） 为增函数．若p q ∨为真，q ⌝为假,求a 的取值范围．
答 案：{a|－1≤a＜－
2
1
} 试题分析：由已知得p 假q 真,然后根据条件求得对应的a 的范围即可． 试题解析：p 为真时，Δ＝（a －1）2
－4a 2
＜0，即a ＞3
1
或a ＜－1． q 为真时，2a 2
－a ＞1，即a ＞1或a ＜－
2
1． 由已知得p 假q 真,－1≤a＜－21， ∴a 的取值范围为{a|－1≤a＜－2
1
}．
考点：复合命题的真假
18．（本题满分12分）已知二次函数()f x 满足(1)()4,f x f x x +-=且(0)1,f = （1）求二次函数()f x 的解析式．
（2）求函数()
1()2f x g x ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
的单调增区间和值域 ．
答 案：（1）f （x ）＝2x 2
－2x ＋1；（2）单调增区间为1
(,)2
-∞，
函数的值域为⎛ ⎝⎦
试题分析：（1）利用待定系数法即可求f （x ）的解析式；（2）设t=f （x ），利用复合函数单调性之间的关系即可，求函数g （x ）的单调增区间．
试题解析：（1）设二次函数f （x ）＝ax 2
＋bx ＋c （a≠0）．
∵f （0）＝1，∴c ＝1．把f （x ）的表达式代入f （x ＋1）－f （x ）＝4x ，有a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋1－（ax 2
＋bx ＋1）＝4x ． ∴2ax ＋a ＋b ＝4x ．∴a ＝2，b ＝－2．
∴f （x ）＝2x 2
－2x ＋1． （2）()
1()2f x g x ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
2112()22
12x -+
⎛⎫= ⎪⎝⎭
试卷第7页，总10页
()
1()2f x g x ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
的单调增区间为1(,)2
-∞，
函数的值域为⎛ ⎝⎦
．
考点：
19．（本题满分12分）已知函数2
1()ln 2
f x x a x =
+ （1）若1a =,求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若2a =-，求函数()f x 在[]1,e 上的最大值和最小值．
答 案：（1）4230x y --=；（2）f （x ）min
＝1ln2,f =- f （x ）max= 24
()2
e f e -=
． 试题分析：（1）利用导数的几何意义求切线方程；（2）求函数的导数，利用导数求函数的最大值和最小值．
试题解析：（1）∵a=1，1
'()f x x x
=+，(0)x > ∴'(1)2f =，1(1)2
f =
． ∴()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程1
2(1)2
y x -=- 即4230x y --=
（2）由于函数f （x ）的定义域为（0，＋∞）， 当a ＝－2
时，2('()x x f x x x x
=-
=
， 令f′（x ）＝0，得x
或x
＝（舍去）． 当x ∈（
f （x ）单调递减，当x
∈
)
e 时，函数
f （x ）单调递增，
所以f （x ）在x
1ln2,f =-
f （1）＝1
2，24()2e f e -=
,1ln2,f =-
∵24122
e -> ∴
f （x ）min
＝1ln2,f =- f （x ）max= 24()2
e f e -=
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
20．（本题满分12分）设函数331()log (9)log (3),,99f x x x x ⎡⎤=⋅∈⎢⎥⎣
⎦
，
（1）若3log t x =，求t 取值范围；
（2）求()f x 的最值，并给出最值时对应的x 的值．
答 案：（1）22≤≤-t ；（2
）x =
时，()41min -=x f ,x=9时，()12max =x f
试题分析：（1）根据给出的函数的定义域，直接利用对数函数的单调性求m 得取值范围；
（2）把f （x ）=log 3（9x ）•log 3（3x ）利用对数式的运算性质化为含有m 的二次函数，然后利用配方法求函数f （x ）的最值，并由此求出最值时对应的x 的值． 试题解析：（1）
31log ,,99t x x ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
，22≤≤-t ；
（2）233()log 3log 2f x x x =++；
令3log t x =，则，41
23232
2
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=++=t t t y ；
当23-=t 即3
2
33log ,32
x x -=-=时，()41min -=x f
当2,9t x ==即时，()12max =x f ； 考点：
21．（本题满分12分）已知a 为实数，函数2
()ln 4f x a x x x =+-． （1）是否存在实数a ，使得()f x 在1x =处取得极值？证明你的结论；
（2）设()(2)g x a x =-，若01
[,]x e e
∃∈，使得00()()f x g x <成立，求实数a 的取值范围．
答 案：（1）不存在实数a ，使得()f x 在x ＝1处取极值；（2）[－1,＋∞）
试题分析：（1）由题根据极值的定义假设存在极值，得到函数单调递增与存在极值矛盾，
从而解决问题；（2）由题可得2
0000
2ln x x a x x -≥-，记22()ln x x G x x x -=-，x ∈[1
e ,e]根据存在
性问题的性质不难得到只需a ≥G （x ）min ，结合函数单调性求解即可．
试题解析：（1）函数()f x 定义域为（0,＋∞），'
()f x ＝a
x ＋2x －4＝224x x a x
-+
假设存在实数a ，使()f x 在x ＝1处取极值，则'
(1)0f =，∴a ＝2，
试卷第9页，总10页
此时，2
2(1)'()x f x x
-=，当0x >时，'()0f x ≥恒成立，
∴()f x 在（0,＋∞）递增． ∴x ＝1不是()f x 的极值点．
故不存在实数a ，使得()f x 在x ＝1处取极值．
（2）法一：由f （x 0）≤g （x 0）得：（x 0－lnx 0）a ≥x 02
－2x 0 记F （x ）＝x －lnx （x ＞0），∴'()F x ＝
1
x x
- （x ＞0）， ∴当0＜x ＜1时，'()F x ＜0，F （x ）递减；当x ＞1时，'()F x ＞0，F （x ）递增． ∴F （x ）≥F（1）＝1＞0．
∴2
0000
2ln x x a x x -≥-，记22()ln x x G x x x -=-，x ∈[1
e ,e]
∴22
(22)(ln )(2)(1)(1)(2ln 2)()(ln )(ln )
x x x x x x x x G x x x x x -------+=
=-- ∵x ∈[
1
e ,e]，∴2－2lnx ＝2（1－lnx ）≥0，∴x －2lnx ＋2＞0 ∴x ∈（1
e
,1）时，'()G x ＜0，G （x ）递减；x ∈（1,e ）时，'()G x ＞0，G （x ）递增
∴G （x ）min ＝G （1）＝－1 ∴a ≥G （x ）min ＝－1． 故实数a 的取值范围为[－1,＋∞）．
考点：利用导数研究函数的性质；函数的极值
22．在直角坐标平面内，直线l 过点P （1，1），且倾斜角α＝
3
π
．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ． （1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，求|PA|·|PB|的值．
答 案：（1）x 2＋y 2
－4y ＝0；（2）2 试题分析：（1）由圆C 的极坐标ρ=4sin θ 根据x=ρcos θ、y=ρsin θ化为直角坐标
方程．（2）
由题意可得直线的方程为11212
x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩，代入曲线方程化简求得t 1 和t 2 的
值，可得|PA|•|PB|=|t 1|•|t 2|的值． 试题解析：（1）∵ρ＝4sin θ，∴ρ2＝4ρsin θ，则x 2＋y 2
－4y ＝0，
即圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2
－4y ＝0．
（2）由题意，得直线l
的参数方程为1121x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．
将该方程代入圆C 方程x 2＋y 2
－4y ＝0，
得2t ＝0，t 1t 2＝－2． 即|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝2． 考点：简单曲线的极坐标方程 23．已知()21f x x x =+-+． （1）解不等式()7f x ≥；
（2）若关于x 的不等式2()2f x a a >-对任意的x R ∈恒成立，求a 的取值范围． 答 案：（1）(,4]
[3,)-∞-+∞；
（2）3
(1,)2
- 试题分析：（1）不等式即|x-1|+|x+2|≥7，由于|x-1|+|x+2|表示数轴上的x 对应点到-2和1对应点的距离之和，而-3和2对应点到-2和1对应点的距离之和正好等于5，
由此求得不等式的解集．（2）若关于x 的不等式f （x ）＞a 2
-2a 对于任意的x ∈R 恒成
立，故f （x ）的最小值大于a 2
-2a ．而由绝对值的意义可得f （x ）的最小值为3，可得
223a a -<，由此解得a 的范围．
试题解析：（1）当2x <-时()(1)(2)21f x x x x =---+=--由()7f x ≥解得4x -≤ 当21x -<≤时，()(1)(2)37f x x x =--++=≥不成立 当1x ≥时，()(1)2217f x x x x =-++=+≥解得3x ≥ 综上有()5f x ≥的解集是(,4]
[3,)-∞-+∞
（2）因为12(1)(2)3x x x x -++--+=≥，所以()f x 的最小值为3
要使得关于x 的不等式2
()2f x a a >-对任意的x R ∈恒成立，只需223a a -<
解得312
a -<<
, 故a 的取值范围是3(1,)2
-．
考点：绝对值不等式的解法；恒成立问题。