2021年高三数学模拟试卷(06)(含解析)新人教A版

2021年高三数学模拟试卷（06）（含解析）新人教A版一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B=__________．
2．命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为__________．
3．函数f（x）=sin2x的最小正周期为__________．
4．若幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），则a=__________．
5．若等比数列{a
n }满足a
2
=3，a
4
=9，则a
6
=__________．
6．若，均为单位向量，且⊥（﹣2），则，的夹角大小为__________．
7．若函数f（x）=是奇函数，则m=__________．
8．已知点P是函数f（x）=cosx（0≤x≤）图象上一点，则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率的最小值为__________．
9．在等差数列{a n}中，S n是其前n项和，若S7=S5+4，则S9﹣S3=__________．
10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=4，b=3，A=2B，则sinB=__________．
11．如图，在等腰△AB C中，AB=AC，M为BC中点，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=DB，AE=3EC，若∠DME=90°，则cosA=__________．
12．若函数f（x）=x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是__________．
13．设函数y=x2﹣3×2n﹣1x+2×4n﹣1（n∈N*）的图象在x轴上截得的抛物线长为d n，记数列{d n}的前n项和为S n，若存在正整数n，使得log2（S n+1）≥18成立，则实数m的最小值为__________．
14．已知函数f（x）=，若命题“∃t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题，则实数k 的取值范围是__________．
二、解答题：本大题共8小题，计90分.
15．已知函数f（x）=sinωx+acosωx满足f（0）=，且f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为π．
（1）求a与ω的值；
（2）若f（a）=1，a∈（﹣，），求cos（a﹣）的值．
16．设函数y=lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为A，函数y=，x∈（0，m）的值域为B．
（1）当m=2时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
17．设△ABC的面积为S，且2S+•=0
（1）求角A的大小；
（2）若||=，且角B不是最小角，求S的取值范围．
18．（16分）如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD，其中AB、CD、DA都是线段，曲线段BC
是抛物线的一部分，且点B是该抛物线的顶点，BA所在直线是该抛物线的对称轴，经测量，AB=2米，AD=3米，AB⊥AD，点C到AD、AB的距离CH、CR的长均为1米，现要用这块边角料截一个矩形AEFG（其中点F在曲线段BC或线段CD上，点E在线段AD上，点G在线段AB 上）．设BG的长为x米，矩形AEFG的面积为S平方米．
（1）将S表示为x的函数；
（2）当x为多少米时，S取得最大值，最大值是多少？
19．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n﹣1+S n+S n+1=3n2+2（n≥2，n∈N+），
（1）若{a n}是等差数列，求{a n}的通项公式；
（2）若a1=1，
①当a2=1时，试求S100；
②若数列{a n}为递增数列，且S3k=225，试求满足条件的所有正整数k的值．
20．（16分）已知函数f（x）=e x，g（x）=x﹣m，m∈R．
（1）若曲线y=f（x）与直线y=g（x）相切，求实数m的值；
（2）记h（x）=f（x）•g（x），求h（x）在[0，1]上的最大值；
（3）当m=0时，试比较e f（x﹣2）与g（x）的大小．
21．一个袋中装有大小和质地都相同的10个球，其中黑球4个，白球5个，红球1个．（1）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；
（2）每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回．求3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率．
22．已知数列{a n}的首项为1，
．
（1）若数列{a n}是公比为2的等比数列，求p（﹣1）的值；
（2）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求证：p（x）是关于x的一次多项式．
三、选做题【选修4-2：矩阵与变换】
23．选修4﹣2：矩阵与变换：
已知曲线C：x2+y2=1，对它先作矩阵A=对应的变换，再作矩阵B=对应的变换，得到曲线．求实数b的值．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
24．选修4﹣4：坐标系与参数方程：
在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是和ρsin2θ=8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长．
江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学xx届高考数学模拟试卷（06）
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1．若集合A={0，1}，集合B={0，﹣1}，则A∪B={﹣1，0，1}．
考点：并集及其运算．
专题：计算题；集合．
分析：A∪B={x|x∈A或x∈B}．
解答：解：A∪B={﹣1，0，1}．
故答案为：{﹣1，0，1}．
点评：本题考查了集合的运算，属于基础题．
2．命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为若a≤b，则2a≤2b．
考点：四种命题．
专题：综合题．
分析：根据原命题与否命题的关系，可知若原命题为：若p，则q，否命题为：若┐p，则┐q，易得答案．
解答：解：根据否命题的定义：
若原命题为：若p，则q，否命题为：若┐p，则┐q．
∵原命题为“若a＞b，则2a＞2b”
∴否命题为：若a≤b，则2a≤2b
故答案为：若a≤b，则2a≤2b．
点评：本题考查的知识点是四种命题，解题的关键是掌握四种命题之间的关系．若原命题为：若p，则q，逆命题为：若q，则p；否命题为：若┐p，则┐q；逆否命题为：若┐q，则┐p．
3．函数f（x）=sin2x的最小正周期为π．
考点：二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．
专题：计算题．
分析：利用二倍角余弦公式，将f（x）化为f（x）=﹣cos2x+，最小正周期易求．
解答：解：f（x）=sin2x=（1﹣cos2x）=﹣cos2x+
最小正周期T==π
故答案为：π
点评：本题考查二倍角余弦公式的变形使用，三角函数的性质，是道简单题．
4．若幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），则a=．
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
专题：函数的性质及应用．
分析：由于幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），可得，解出即可．
解答：解：∵幂函数f（x）=x a（a∈Q）的图象过点（2，），
∴，∴=2a，
∴a=﹣．
故答案为：﹣．
点评：本题考查了幂函数的性质、指数的运算性质，属于基础题．
5．若等比数列{a n}满足a2=3，a4=9，则a6=27．
考点：等比数列的性质；等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等比数列的性质：若p+q=m+n则有a p•a q=a m•a n，列出等式求出a6的值．
解答：解：∵等比数列{a n}中
∴a2•a6=a42，
即：3×a6=81⇒a6=27．
故答案为：27．
点评：在解决等差数列、等比数列的有关问题时，有时利用上它们的性质解决起来比较简单．常用的性质由：等比数列中，若p+q=m+n则有a p•a q=a m•a n，等差数列中有若p+q=m+n则有a p+a q=a m+a n．
6．若，均为单位向量，且⊥（﹣2），则，的夹角大小为．
考点：数量积表示两个向量的夹角．
专题：平面向量及应用．
分析：先根据另个向量垂直以及其为单位向量得到cosθ=﹣即可求出两个向量的夹角．
解答：解：∵，均为单位向量，且⊥（﹣2），
∴=﹣2=0，
即1﹣2×1×1×cosθ=0，⇒cosθ=⇒θ=．
故答案为．
点评：本题主要考查用数量积表示两个向量的夹角．解决此类问题的根据熟练掌握两个向量的数量积运算，以及两向量的夹角公式．
7．若函数f（x）=是奇函数，则m=2．
考点：有理数指数幂的运算性质；函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用奇函数的性质即可得出．
解答：解：∵函数f（x）=是奇函数，
∴f（﹣x）+f（x）=+=0，
化为（m﹣2）（2x﹣1）=0，
∵上式恒成立，∴m﹣2=0，
解得m=2．
故答案为：2．
点评：本题考查了奇函数的性质，属于基础题．
8．已知点P是函数f（x）=cosx（0≤x≤）图象上一点，则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率的最小值为﹣．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；导数的概念及应用；三角函数的求值．
分析：求出函数的导数，求出切线的斜率，再由正弦函数的单调性，即可求得范围．
解答：解：函数f（x）=cosx的导数f′（x）=﹣sinx，
设P（m，cosm），则曲线y=f（x）在点P处的切线斜率为f′（m）=﹣sinm，
由于0≤m≤，则0≤sinm≤，
则﹣≤﹣sinm≤0，
则在点P处的切线斜率的最小值为﹣．
故答案为：﹣．
点评：本题考查导数的几何意义，考查运用三角函数的性质求切线的斜率的范围，考查运算能力，属于中档题．
9．在等差数列{a n}中，S n是其前n项和，若S7=S5+4，则S9﹣S3=12．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由等差数列的性质得：S5﹣S3，S7﹣S5，S9﹣S7仍然构成等差数列，然后利用等差中项的概念结合已知得答案．
解答：解：在等差数列{a n}中，由等差数列的性质得：S5﹣S3，S7﹣S5，S9﹣S7仍然构成等差数列，
则S9﹣S7+S5﹣S3=2（S7﹣S5）=8，
∴S9﹣S3=8+（S7﹣S5）=8+4=12．
故答案为：12．
点评：本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题．
10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=4，b=3，A=2B，则sinB=．
考点：正弦定理的应用．
专题：解三角形．
分析：由正弦定理可得，且sinA=sin2B=2sinBcosB，故可求sinB．
解答：解：A=2B⇒sinA=sin2B=2sinBcosB
由正弦定理知⇒cosB=
sinB==
故答案为：．
点评：本题主要考察了正弦定理的应用，属于基础题．
11．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，M为BC中点，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=DB，AE=3EC，若∠DME=90°，则cosA=．
考点：余弦定理的应用．
专题：综合题；平面向量及应用．
分析：建立如图所示的坐标系，设C（a，0），A（0，b），确定a，b的关系，再利用向量的夹角公式，即可求得结论．
解答：解：建立如图所示的坐标系，设C（a，0），A（0，b），则D（﹣，），E（，b），
∴=（﹣，），=（，b），
∵∠DME=90°，
∴•=0，
∴（﹣，）•（，b）=0，
∴﹣+=0
∴
∵=（﹣，﹣），=（，﹣b），
∴cosA==．
故答案为：．
点评：本题考查向量的夹角公式，考查坐标化的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．若函数f（x）=x2+a|x﹣2|在（0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[﹣4，0]．
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：先通过讨论x的范围，将f（x）写出分段函数的形式，结合二次函数的性质，得到不等式组，解出即可．
解答：解：解：f（x）=x2+a|x﹣2|=，
要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，
则：，解得﹣4≤a≤0；
∴实数a的取值范围是[﹣4，0]．
故答案为：[﹣4，0]．
点评：本题考查了二次函数的性质，考查了分段函数问题，是一道中档题．
13．设函数y=x2﹣3×2n﹣1x+2×4n﹣1（n∈N*）的图象在x轴上截得的抛物线长为d n，记数列{d n}的前n项和为S n，若存在正整数n，使得log2（S n+1）≥18成立，则实数m的最小值为13．
考点：数列与解析几何的综合．
专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．
分析：得出d n=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，求出S n，化简得出n（m﹣n2）≥18，构造函数g（n）=n2，运用导数判断即可得出m的最小值．
解答：解：∵函数y=x2﹣3×2n﹣1x+2×4n﹣1（n∈N*）的图象在x轴上截得的抛物线长为d n=x2﹣x1，
得出d n=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，
∵x2﹣3×2n﹣1x+2×4n﹣1=0（n∈N*），x1=2n﹣1，x2=2n，∴
==2，
∴{d n}为等比数列，d1=1，S n=2n﹣1，
∴S n+1=2n，
∵log2（S n+1）≥18
∴n（m﹣n2）≥18存在正整数n，不等式成立．m≥n2
g′（n）=2n﹣=0，n=
g′（n）＞0，n＞，
g′（n）＜0，n＜，
g（n）=n2在（0，）递减，在（，+∞）
当n=1时，m≥19，
当n=2时，m≥13，
当n=3时，m≥15，
当n=4时，m≥16+
可知：实数m的最小值为13．
点评：本题xx届中考察了数列，函数，不等式，导数的运用相结合的题目，难度较大．
14．已知函数f（x）=，若命题“∃t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题，则实数k 的取值范围是（，1]．
考点：特称命题．
专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑．
分析：由x＜1时函数的单调性，画出函数f（x）的图象，把命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命题转化为“任意t∈R，且t≠0，使得f（t）＜kt恒成立”，
作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），求出切点和斜率，设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切于点（0，0），得切线斜率k=1，
由图象观察得出k的取值范围．
解答：解：当x＜1时，f（x）=﹣|x3﹣2x2+x|=﹣|x（x﹣1）2|=，
当x＜0，f′（x）=（x﹣1）（3x﹣1）＞0，∴f（x）是增函数；
当0≤x＜1，f′（x）=﹣（x﹣1）（3x﹣1），∴f（x）在区间（0，）上是减函数，
在（，1）上是增函数；
画出函数y=f（x）在R上的图象，如图所示；
命题“存在t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt“是假命题，
即为任意t∈R，且t≠0时，使得f（t）＜kt恒成立；
作出直线y=kx，设直线与y=lnx（x≥1）图象相切于点（m，lnm），
则由（lnx）′=，得k=，
即lnm=km，解得m=e，k=；
设直线与y=x（x﹣1）2（x≤0）的图象相切于点（0，0），
∴y′=[x（x﹣1）2]′=（x﹣1）（3x﹣1），则有k=1，
由图象可得，当直线绕着原点旋转时，转到与y=lnx（x≥1）图象相切，
以及与y=x（x﹣1）2（x≤0）图象相切时，直线恒在上方，即f（t）＜kt恒成立，
∴k的取值范围是（，1]．
故答案为：（，1]．
点评：本题考查了分段函数的应用问题，也考查了存在性命题与全称性命题的互相转化问题以及不等式恒成立的问题，是较难的题目．
二、解答题：本大题共8小题，计90分.
15．已知函数f（x）=sinωx+acosωx满足f（0）=，且f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为π．
（1）求a与ω的值；
（2）若f（a）=1，a∈（﹣，），求cos（a﹣）的值．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；运用诱导公式化简求值．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：（1）由f（0）=，即可解得a=，f（x）=2sin（）且T=2π=，故可解得ω=1；（2）先求出α的值，代入即可求出cos（）的值．
解答：解：（1）∵f（0）=，∴sin0+acos0=，解得a=，
∴f（x）=sinωx+cosωx=2sin（），
∵f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为π．
∴T=2π=，∴ω=1．
（2）∵f（α）=1，∴sin（）=，
∵α∈（﹣，），∴∈（﹣，），∴=，即有，
∴cos（）=cos=cos（）=coscos﹣sinsin=．
点评：本题主要考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考察了运用诱导公式化简求值，属于中档题．
16．设函数y=lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为A，函数y=，x∈（0，m）的值域为B．
（1）当m=2时，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的定义域．
专题：简易逻辑．
分析：（1）先求出A=（1，3），再求出B=（，2），取交集即可；（2）根据：“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，得不等式解出即可．
解答：解：（1）由﹣x2+4x﹣3＞0，解得：1＜x＜3，∴A=（1，3），
又函数y=在区间（0，m）上单调递减，
∴y∈（，2），即B=（，2），
当m=2时，B=（，2），∴A∩B=（1，2）；
（2）首先要求m＞0，
而“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
∴B⊊A，即（，2）⊊（1，3），
从而≥1，解得：0＜m≤1．
点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．
17．设△ABC的面积为S，且2S+•=0
（1）求角A的大小；
（2）若||=，且角B不是最小角，求S的取值范围．
考点：余弦定理的应用．
专题：解三角形．
分析：（1）化简可得sinA+cosA=0，从而有tanA=﹣，即可求角A的大小；
（2）由已知和正弦定理得b=2sinB，c=2sinC，故S=sin（2B+）﹣，又2B+∈（，）即可求得S∈（0，）．
解答：解：（1）设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c由2S+，
得2×，即有sinA+cosA=0，
所以tanA=﹣，
又A∈（0，π），所以A=．
（2）因为||=，所以a=，由正弦定理，得，
所以b=2sinB，c=2sinC，
从而S=bcsinA=sinBsinC=sinBsin（）
=sinB（cosB﹣sinB）=（sin2B﹣）=sin（2B+）﹣
又B∈（，），2B+∈（，），所以S∈（0，）
点评：本题主要考察了余弦定理的综合应用，属于中档题．
18．（16分）如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD，其中AB、CD、DA都是线段，曲线段BC
是抛物线的一部分，且点B是该抛物线的顶点，BA所在直线是该抛物线的对称轴，经测量，AB=2米，AD=3米，AB⊥AD，点C到AD、AB的距离CH、CR的长均为1米，现要用这块边角料截一个矩形AEFG（其中点F在曲线段BC或线段CD上，点E在线段AD上，点G在线段AB 上）．设BG的长为x米，矩形AEFG的面积为S平方米．
（1）将S表示为x的函数；
（2）当x为多少米时，S取得最大值，最大值是多少？
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：（1）由题意先根据已知条件建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，然后将C
点坐标给出来，代入方程求出p的值，然后分两段表示出S的值．
（2）按照分段函数求最值的方法，在两段上分别求出其最大值，然后大中取大，注意前一段利用导数研究单调性后求最值．后一段是二次函数的最值问题．
解答：解：（1）以点B为坐标原点，BA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设曲线段BC所在抛物线方程为y2=2px（p＞0）．
将点C（1，1）代入，得2p=1．所以曲线段BC的方程为y=（0≤x≤1）．
又由点C（1，1），D（2，3）得线段CD的方程为y=2x﹣1（1≤x≤2），
而GA=2﹣x，所以，
（2）①当0＜x≤1时，因为，
所以，令S′=0得．
当时，S′＞0，所以此时S递增；
当时，S′＜0，所以此时S递减，所以当时，．
②当1＜x＜2时，因为．
所以当x=时，．
综上，因为，所以当米时，．
答：当x取值为米时，矩形AEFG的面积最大为．
点评：本题充分考查了分段函数的应用性问题，要注意抓住题目中的等量关系列出函数表达式，然后分两段研究其最值．
19．（16分）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n﹣1+S n+S n+1=3n2+2（n≥2，n∈N+），
（1）若{a n}是等差数列，求{a n}的通项公式；
（2）若a1=1，
①当a2=1时，试求S100；
②若数列{a n}为递增数列，且S3k=225，试求满足条件的所有正整数k的值．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由已知得，（2a1+d）+（3a1+3d）+（4a1+6d）
=3×32+2，由此能求出a n=2n﹣1．
（2）由已知得a n+a n+1+a n+2=6n+3，n≥2，n∈N+），由此能求出S100．
（3）设a2=x，由S n﹣1+S n+S n+1=3n2+2，得，a n+2﹣a n﹣1=6，n≥3，n∈N+，由数列{a n}为递增数列，得，由此利用已知条件能求出满足条件的所有正整数k的值．
解答：解：（1）∵数列{a n}是等差数列，
且S n﹣1+S n+S n+1=3n2+2（n≥2，n∈N+），
∴，①
（2a1+d）+（3a1+3d）+（4a1+6d）=3×32+2，②
联立①②，得：a1=1，d=2，
∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．
（2）∵S n﹣1+S n+S n+1=3n2+2（n≥2，n∈N+），
∴S n+S n+1+S n+2=3（n+1）2+2（n≥2，n∈N+），
∴a n+a n+1+a n+2=6n+3，n≥2，n∈N+），
∴S100=a1+（a2+a3+a4）+（a5+a6+a7）+…+（a98+a99+a100）
=1+6×
=10000．
（3）设a2=x，由S n﹣1+S n+S n+1=3n2+2，
得，
∴，
∴，
又S n+S n+1+S n+2=3（n+1）2+2（n≥2，n∈N+），
∴a n+a n+1+a n+2=6n+3，n≥2，n∈N+，
a n﹣1+a n+a n+1=6n﹣3，n≥3，n∈N+，
∴a n+2﹣a n﹣1=6，n≥3，n∈N+，
∴a5=x+6，
∵数列{a n}为递增数列，
∴a1＜a2＜a3＜a4＜a5，解得，
由S3k=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a2k﹣2+a2k﹣1+a2k）
=12﹣x+
=9k2﹣x+3=225，
∴9k2﹣222∈（），
解得k=5．
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前100项和的求法，考查正整数值的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
20．（16分）已知函数f（x）=e x，g（x）=x﹣m，m∈R．
（1）若曲线y=f（x）与直线y=g（x）相切，求实数m的值；
（2）记h（x）=f（x）•g（x），求h（x）在[0，1]上的最大值；
（3）当m=0时，试比较e f（x﹣2）与g（x）的大小．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．
分析：（1）研究函数的切线主要是利用切点作为突破口求解；
（2）通过讨论函数在定义域内的单调性确定最值，要注意对字母m的讨论；
（3）比较两个函数的大小主要是转化为判断两个函数的差函数的符号，然后转化为研究差函数的单调性研究其最值．
解答：解：（1）设曲线f（x）=e x与g（x）=x﹣m相切于点P（x0，y0），由f′（x）=e x，知e=1解得x0=0．又可求得P为（0，1），所以代入g（x）=x﹣m，解得m=﹣1．
（2）因为h（x）=（x﹣m）e x，所以h′（x）=e x+（x﹣m）e x=（x﹣（m﹣1））e x，x∈[0，
1]．
①当m﹣1≤0，即m≤1时，h′（x）≥0，此时h（x）在[0，1]上单调递增，所以h（x）max=h （1）=（1﹣m）e；
②当0＜m﹣1＜1，即1＜m＜2时，当x∈（0，m﹣1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（m﹣1，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（0）=﹣m，h（1）=（1﹣m）e．（i）当﹣m≥（1﹣m）e，即时，h（x）max=h（0）=﹣m．
（ii）当﹣m＜（1﹣m）e，即时，h（x）max=h（1）=（1﹣m）e．
③当m﹣1≥1，即m≥2时，h′（x）≤0，此时h（x）在[0，1]上单调递减，所以h（x）max=h （0）=﹣m．
综上，当m时，h（x）max=（1﹣m）e；当m时，h（x）max=﹣m．
（3）当m=0时，，g（x）=x．
①当x≤0时，显然e f（x﹣2）＞g（x）；
②当x＞0时，=e x﹣2．lng（x）=lnx．
记函数，则=，可知ω′（x）在（0，+∞）上递增，
又由ω′（1）＜0，ω′（2）＞0知：ω′（x）=0在（0，+∞）上有唯一实根x0，且1＜x0＜2，
则，即，
当x∈（0，x0）时ω′（x）＜0，ω（x）递减；当x∈（x0，+∞）时，ω′（x）＞0，ω（x）单调递增．
所以，结合（*）式，，知x0﹣2=﹣lnx0，
所以=，
则ω（x）=e x﹣2﹣lnx＞0，即e x﹣2＞lnx，所以，
综上e f（x﹣2）＞g（x）．
点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、最值基本思路，当比较两个函数大小的时候，就转化为两个函数的差的单调性，进一步确定最值确定符号比较大小．
21．一个袋中装有大小和质地都相同的10个球，其中黑球4个，白球5个，红球1个．（1）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的概率分布和数学期望E（X）；
（2）每次从袋中随机地摸出一球，记下颜色后放回．求3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率．
考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率．
专题：综合题．
分析：（1）确定随机变量X的取值，求出相应的概率，即可得到随机变量的分布列及数学期望；
（2）3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球，包括3个黑球，2个黑球1个白球或2
个黑球1个红球，由此可得结论．
解答：解：（1）随机变量X的取值为0，1，2，3，则
P（X=0）==；P（X=1）=；P（X=2）==；P（X=3）==．
X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴EX=0×+1×+2×+3×=；
（2）记3次摸球后，摸到黑球的次数大于摸到白球的次数为事件A，则
P（A）=+=．
点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．
22．已知数列{a n}的首项为1，
．
（1）若数列{a n}是公比为2的等比数列，求p（﹣1）的值；
（2）若数列{a n}是公差为2的等差数列，求证：p（x）是关于x的一次多项式．
考点：二项式定理的应用；等比数列的性质．
分析：（1）直接利用二项式定理化简表达式，然后求出p（﹣1）的值．
（2）利用已知关系式，分项通过二项式定理以及组合数公式，化简p（x）的表达式，即可推出结果．
解答：解：
=[（1﹣x）+2x]n=（1+x）n，
当x=﹣1时p（﹣1）=0．
（2）若数列{a n}是公差为2的等差数列，a n=2n﹣1，
=
=+2
由二项式定理可知，
=[（1﹣x）+x]n=1，∵
∴
=x[]
=nx[（1﹣x）+x]n﹣1=nx．
所以p（x）=1+2nx．
即p（x）是关于x的一次多项式．
点评：本题考查二项式定理的应用，数列求和的应用，考查计算能力．
三、选做题【选修4-2：矩阵与变换】
23．选修4﹣2：矩阵与变换：
已知曲线C：x2+y2=1，对它先作矩阵A=对应的变换，再作矩阵B=对应的变换，得到曲线．求实数b的值．
考点：矩阵变换的性质．
专题：计算题．
分析：从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵为BA，然后在曲C1上任意选一点P（x0，y0），设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P'（x'，y'），建立关系式，将P（x0，y0）代入x2+y2=1，最后与比较可得b的值．
解答：解：从曲线C1变到曲线C2的变换对应的矩阵BA=•=
在曲C1上任意选一点P（x0，y0），设它在矩阵BA对应的变换作用下变为P'（x'，y'），
则有•=
故解得代入曲线C1方程得，y'2+=1
即曲线C2方程为：+y2=1
与已知的曲线C2的方程为：比较得（2b）2=4
所以b=±1
点评：本题主要考查了矩阵变换的性质，同时考查了计算能力和运算求解的能力，属于基础题．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
24．选修4﹣4：坐标系与参数方程：
在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是和ρsin2θ=8cosθ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长．
考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系．
分析：把两曲线化为普通方程，分别得到直线与抛物线的方程，联立直线与抛物线的解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，求出交点A与B的坐标，利用弦长公式求出弦AB的长度．
解答：解：直线l的直角坐标方程为x﹣y﹣6=0，
抛物线C的普通方程为y2=8x，
两者联立解得A和B的坐标为：A（2，﹣4），B（18，12）
∴线段AB的长：
|AB|=．
点评：本小题主要考查圆的参数方程和直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆的位置关系，属于基础题．sF34443 868B 蚋37569 92C1 鋁23896 5D58 嵘33104 8150 腐•-L38462 963E 阾527384 6AF8 櫸m22919 5987 妇23003 59DB 姛。