8—19学年上学期高二开学考试数学试题(附答案)

高二上学期暑假返校考试
数学试题
第I 卷（选择题）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A ={x ||x +1|＜1}，⎭
⎬
⎫⎩
⎨⎧≥-=022
1
/x
x B ）（，则B R C A =（ ） A ．（﹣2，﹣1） B ．（﹣2，﹣1]
C ．（﹣1，0）
D ．[﹣1，
0）
2.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，甲获胜的概率是3
1
，则甲不输的概率为
A ．
6
5
B ．
5
2 C ．
61 D ．
3
1 3．已知向量(cos ,2),(sin ,1),//tan()4
a b a b π
ααα=-=-且，则等于
A.3
B.-3
C.
31 D. 3
1- 4．如图是一棱锥的三视图，在该棱锥的侧面中，面积最大的侧面的面积为 A ．4
B ．7
C ．2
D ．3
5.5,21=-==，则向量,的夹角为
A.
6
π
B.
3
π C.
4
π D.
2
π 6.设⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<=,
1),1(2,
10,)(x x x x x f ，若f (a )=f (a +1),则)1(a f
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
7.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（ ）
A ．1
5
B ．
25
24
C.3
16
D ．
34
8.等差数列的公差，且
，，成等比数
列，若
，
为数列
的前项和，则数列
的前
项和取最小值时的为（ ） A. 3
B. 3或4
C. 4或5
D. 5
9.已知非零向量,a b 满足4,2a b ==，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相
等，则a b -等于（ ） A ．1
B
．C
D ．3
10.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，则函数4f x π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭图象的一个对称中心是（ ）
A ．,03π⎛⎫-
⎪⎝⎭ B ．,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．3,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11.已知3)(x x f =,若]2,1[∈x 时，0)1()(2≤-+-x f ax x f ，则a 的取值范围是（ ）
1.≤a A 1.≥a B 23.≥
a C 2
3
.≤a D 12.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，1cos ,[0,]2
()121,(,)
2x x f x x x π⎧
∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩，则不等式
1
(1)2f x -≤
的解集为（ ） A ．12
47[,][,]43
34
B ．3112[,][,]4343--
C ．13
47[,][,]3434
D ．3113[,][,]4334
-
-
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比
赛中得分的方差为_________.089
10
352
图
(注：方差2222121()()()n s x x x x x x n
⎡⎤=
-+-++-⎣⎦，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平
均数)[来
14.等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和
4S = 。

15.已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零
点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 ．
16.已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长
为则△OAB 的面积为______________.
三、解答题（本题共6道小题, ,共70分） 17. （本小题10分）
在ABC 中,,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边,已知()
1cos m A C =+, (),n c a =-,且m n ⊥.
（1）求角A 的大小；
（2）若1a =,且ABC 求b c +的值.
18.（本小题12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
⑴在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
⑵估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3的概率；
⑶估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．） 19.（本小题12分）
如图，正三棱柱111ABC A B C -中1AA AB =，D 为1BB 的中点. （1）求证：1
AC AD ⊥； （2）若点P 为四边形11ABB A 内部及其边界上的点，且三棱锥P ABC -的体积为三棱柱111ABC A B C -体积的
1
6
，试在图中画出P 点的轨迹，并说明理由.
20.（本小题12分）
已知线段AB 的端点B 的坐标是(10)-，，端点A 在圆2
2
(7)16x y -+=上运动， （1）求线段AB 中点M 的轨迹方程；
（2）设点(2,)C a ，记M 的轨迹方程所对应的曲线为Ω，若过点C 且在两坐标轴上截距相等的直线与曲线Ω相切，求a 的值及切线方程．
21.（本小题12分） 已知直线π
3
x =
是函数()sin2cos2f x m x x =-的图象的一条对称轴.
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）设ABC ∆中角， A ， B ， C 所对的边分别为a ， b ， c ，若()2f B =，且
b =
c a +的最大值.
22.（本小题12分）
已知首项为1的等差数列}{n a 中，8a 是135,a a 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若数列}{n a 是单调数列，且数列}{n b 满足n
n n a b 312+=
，求数列}{n b 的前项和n T .
2020届高二上学期数学答案
1.C
2.A
3.B
4.B
5.C
6.C
7.C
8.B
9.B 10.C 11.C 12.A
13.6.8，
14.
152
15.2
16.
17.(1)由题意m n ⊥,()1cos 0c A C -++=
根据正弦定理得:()sin 1cos sin 0C A C -++=,1cos A A =+
cos 1A A -=,利用辅助角公式得1sin 62A π⎛
⎫ ⎪⎝
=⎭-，
又因为,()0A π∈,所以3
A π
=
(2)由题意1sin 2S bc A ==且3
A π
=,得1bc =，又因为在ABC 中,由余弦定理有：
2222cos a b c bc A =+-，即222b c +=，所以()2
22b c bc +-=
即()2
4b c +=又∵,0b c >，∴2b c += 18.解：（1）
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m 3的频率为 0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m 3
的概率的估计值为0.48． （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 11
(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.4850
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为 21
(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550
x =
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 估计使用节水龙头后，一年可节省水3(0.480.35)36547.45(m )-⨯=． 19解法一：（1）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ， ∵1AA ⊥平面ABC ，CF ⊂平面ABC ， ∴所以1AA CF ⊥．
∵CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点， ∴CF AB ⊥，
又∵⊂AB AA ,1平面11AA B B ，A AB AA = 1， ∴CF ⊥平面11AA B B ，
又∵⊂AD 平面11AA B B ，所以CF AD ⊥
正方形11AA B B 中，∵1Rt A AF Rt ABD △△≌，∴A FA DAB 1∠=∠， 又∵︒=∠+∠9011A FA AFA ，
∴︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥， 又∵1CF A F F =I ，1,CF A F ⊂平面1ACF ， ∴AD ⊥平面1
ACF ， 又∵⊂C A 1平面CF A 1，∴1
AC AD ⊥． （Ⅱ）取1AA 中点
E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹． 理由如下∵//DE AB ，DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面
ABC ，
∴//DE 平面ABC ，
∴
P 到平面ABC 的距离为112
BB ． 所以111
32
P ABC ABC V S BB -∆=
⋅⋅ 111111
66
ABC ABC A B C S BB V ∆-=
⋅=． 解法二：（Ⅰ）证明：取AB 的中点F ，连接1,CF A F ， 正三棱柱中，平面⊥11A ABB 平面ABC ，
平面 11A ABB 平面AB ABC =，⊂CF 平面ABC ，
1
1
1
1
因为CAB ∆为正三角形，F 为AB 的中点，
所以CF AB ⊥，从而CF ⊥平面11AA B B ，所以CF AD ⊥．
正方形11AA B B 中，因为1Rt A AF Rt ABD ∆≅∆，所以A FA DAB 1∠=∠， 又因为︒=∠+∠9011A FA AFA ，
所以︒=∠+∠901DAB AFA ，故1AD A F ⊥， 又因为1CF A F F =I ，1,CF A F ⊂平面1
ACF ，所以AD ⊥平面1
ACF ， 又因为⊂C A 1平面CF A 1，所以1
AC AD ⊥． （2）取1AA 中点
E ，连接DE ，则线段DE 为点P 的运动轨迹．理由如下． 设三棱锥ABC P -的高为h ， 依题意16
1
6131111BB S V h S V ABC C B A ABC ABC ABC P ⋅⋅==⋅⋅=∆-∆- 故12
1
BB h =
． 因为E D ,分别为11,AA BB 中点，故//DE AB ，又因为DE ⊄平面ABC ，AB ⊂平面
ABC ，
所以//DE 平面ABC ，所以P 到平面ABC 的距离为
11
2
BB ． 20.（1）设(,)A m n ，(,)M x y ，∵M 为线段AB 中点
∴122
m x n
y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩⇒212m x n y =+⎧⎨
=⎩，又点A 在圆22(7)16x y -+=上运动 ∴2
2
(217)(2)16x y +-+= 即 2
2
(3)4x y -+=
∴点M 的轨迹方程为：
22(3)4x y -+=； ………6分
（2）设切线方程为：2
a
y x =
和2x y a +=+ ………8分
2=
2=
，解得：a =
或1a =±
1
1
∴切线方程为5
y x =±
和3x y +=±分
19.()sin 2cos 23
()()2sin(2)336
x f x m x x f m f x x πππ
==-⇒===-解是函数的一条对称轴……分
)(3,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-∴ππππ增区间为……6分
（2）()2f B = sin 2163
B B ππ
⎛
⎫
⇒-
=⇒= ⎪⎝
⎭……7分 又b =C c A a sin 2,sin 2==……9分
)6
sin(32sin 3cos 3)32sin(2sin 2A A A A A c a +=+=-+=+π
π……11分 323
)32,
0(取最大值时，c a A A +=∴∈π
π ……12分 22.(Ⅰ) 81,1a a =是135,a a 的等比中项，{}n a 是等差数列 ()()()d d d 12141712
++=+∴ ……2分
0=∴d 或 2=d ……4分
1=∴n a 或12-=n a n ……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)及{}n a 是单调数列知12-=n a n
n
n n n n a b 3
14312+==
∴+ ……7分 n n n T 3
1
4313393532+++++=
∴ …….① 1
3231
4334393531+++-+++=∴n n n n n T …….②
①-②得
1323143434343532++-++++=n n n n T 137437++-=n n ……11分 n
n n T 327
427⨯+-
=
∴
……12分
21.。