河北省衡水市2019年高考数学各类考试分项汇编专题08立体几何文

专题08 立体几何
一、选择题
1. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】某几何体的三视图如图所示，其中
点分别是几何体上下底面的一组对应顶点，打点器从P点开始到点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
2. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评】在长方体
与平面所成的角为，则的取值区间为
A． B． C． D．
【答案】B
3. 【河北省衡水市武邑中学2018年高三高考三模】一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】
几何体如图，，所以最大面ＳＡＢ的面积为，选Ｂ．
4. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由三视图可知,该几何体是由正三棱柱截取一部分所得,故体积为.
7. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试】如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】C
8. 【【衡水金卷】2018届四省名校高三第三次大联考】某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，
cm，则d （）
若该几何体的体积为1442
A．14cm B．13cm C．12cm D．11cm
【答案】C
9. 【河北省衡水中学2019届高三上学期四调】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直
的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面
，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意得为球的直径,而,即球的半径;所以球的表面积.
本题选择C选项.
12. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积不可能是
A． B．2 C．4 D．6
【答案】C
13. 【河北省衡水中学2018年高考押题(一)】已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A ．
163π
+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143
π+ 【答案】C
14. 【河北省衡水中学2018年高考押题(一)】已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影
为底面中心）A BCD -的外接球， 3BC =， AB =点E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．
[],4ππ B ．[]2,4ππ C ．[]3,4ππ D ．(]0,4π
【答案】B
【解析】
如图，设BCD ∆ 的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接
，易求得
，则
.在1R t OO D ∆中，由勾股定理，
，解得R 2= ，由3BD BE = ，知
，所以
，当过点E的截距与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径，此时截面圆的面积为2π；当过点E的截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为4π，故选B.
17. 【河北省衡水中学2018届高三十五模试题】如图是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积是
π+ B． C． D．
A．4
【答案】B
18. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试】已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A． B． C． D．
【答案】A
19. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)】已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A ．
163π
+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143
π+ 【答案】C
20. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)】已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面
的射影为底面中心）A BCD -的外接球， 3BC =， AB =E 在线段BD 上，且3BD BE =，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ） A ．
[],4ππ B ．[]2,4ππ C ．[]3,4ππ D ．(]0,4π
【答案】B
【解析】
如图，设BCD ∆ 的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接
，易求得
，则
.在1R t OO D ∆中，由勾股定理，
，解得R 2= ，由3BD BE = ，知
，所以
，当过点E 的截距与OE 垂直时，截面圆的面积
最小，此时截面圆的半径
，此时截面圆的面积为2π ；当过点E 的截面过球心时，
截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为4π ，故选B.
3. 【河北省衡水中学2019届高三上学期四调】如图为某几何体的三视图，正视图与侧视图是两个全等的直角三角形，直角边长分别为与1，俯视图为边长为1的正方形，则该几何体最长边长为_______.
【答案】
4. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知正方体的棱的中点为与交于点，平面过点，且与直线垂直，若，则平面截该正方体所得截面图形的面积为______．
【答案】
【解析】
5. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别
是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于________________．
【答案】.
【解析】
以AD,DC,DD1建立空间直角坐标系，则：得直
线和所成角的余弦值等于
又，所以平面，
所以平面.
因为BC=2，.
所以
又，
所以，
因为，所以。

所以.
所以几何体QR-ABC的体积为
，
则.
又.
则
2. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试】如图，在底面为梯形的四棱锥中，已知，
，，.
（1）求证：；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
在中，，为的中点，
，且，
在中，
为直角三角形，且
又，且
平面
3. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调】已知多面体中，平面，，
.
（1）求点在平面上投影的位置，请说明具体位置并说明理由；（2）求多面体的体积.
【答案】（1）点在平面的投影在线段中点上；（2）.
平面，、平面
，
又
、平面，
平面
平面，即点在平面的投影在线段中点上
（2）设到平面的距离为
由，可知为梯形
则
4. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】如图，在直三棱柱中，，分别是棱，
的中点，点在棱上，且，，.
（1）求证：平面；
（2）当时，求三棱锥的体积.
【答案】（1）见解析；（2）
（法二）取的中点，连接
由是棱的中点，为的中点，
为
的中位线，即平面
又为棱的中点，为
的中点
由，由，且为直三棱柱
，进而得
，即
平面
又 平面平面
又
平面
平面
(2)取上一点使
∵且直三棱柱
∴，∵为中点
∴,,平面
∴
而,
点到平面的距离等于
∴
∴三棱锥的体积为
5. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试】四棱锥中，面，底面是菱形，且，，过点作直线，为直线上一动点.
（1）求证：；
（2）当面面时，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
（2）由题意得和都是以为底的等腰三角形，设和的交点为，连接、，则，，
又,
∴平面．
又平面面，平面面，
∴面，
∴.
在菱形中，，，
∴.
在中，．
在中，设，则．
∴在中，，
又在直角梯形中，，
故，
解得，即.
∴，
∴.
6. 【【衡水金卷】2018届四省名校高三第三次大联考】在如图所示的几何体中，平面，四边形为等腰梯形，，，，，，.
（1）证明：；
（2）若多面体的体积为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析；(2).
（2）设，作于点，
则平面，且，
又，
，
∴，得
连接，则，
∴.
7. 【河北省衡水中学2019届高三上学期四调】如图所示，四棱锥中，平面平面，，
，.
（1）证明：在线段上存在一点，使得平面；
（2）若，在（1）的条件下，求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析;(2) .
依题意得，，则有，∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面．
8. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】在如图所示的多面体中，，平
面,．
求证：平面；
若，，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
三棱锥的体积：
．
9. 【河北省衡水中学2018年高考押题(一)】如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，
为的垂心.
（1）求证：平面平面；
（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析.(2) .
（2）解：由（1）知平面，所以就是点到平面的距离. 由已知可得，，
所以为正三角形，
所以.又点为的重心，所以.
故点到平面的距离为.
所以 .
10. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】如下图：将直角三角形PAO ，绕直角边PO 旋转构成圆锥，四边形ABCD 是圆O 的内接矩形，M 是母线PA 的中点，2PA AO =。

（I ）求证：//PC 面MBD ； （II ）当
时，求点B 到平面MCD 的距离。

【答案】（Ⅰ）证明见解析；
（Ⅱ）设点B 到平面CD M 的距离为d ，由题设，⊿PAC 是边长为4的等边三角形
∴CM=
又∵AD=∴⊿CDM≌⊿AMD
∵
∴
又∵
∴由=
M
∴点B到平面CD
11. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】如图所示的几何体中，四边形为菱形，
，，，，平面平面，，为的中点，为平面
内任一点.
（1）在平面内，过点是否存在直线使？如果不存在，请说明理由，如果存在，请说明作法；（2）过，，三点的平面将几何体截去三棱锥，求剩余几何体的体积.
【答案】(1)见解析；（2）
【解析】
（1）过点存在直线使，理由如下：
由题可知为的中点，又为的中点，
所以在中，有.
若点在直线上，则直线即为所求作直线，
所以有；
若点不在直线上，在平面内，
过点作直线，使，
又，所以，
即过点存在直线使.
所以，
所以几何体的体积.
12. 【河北省衡水中学2018届高三十五模试题】如图，在直三棱柱中， AD ⊥平面1A BC ，
其垂足D 落在直线1A B 上. （1）求证： 1BC A B ⊥；
（2）若P 是线段AC 上一点， AD ，三棱锥1A PBC -的体积为
2
，求AP PC 的值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
5
3
.
（2）设PC x =，过点B 作BE AC ⊥于点E ，由（1）知BC ⊥平面11AA B B ， ∴BC AB ⊥.
∵
，∴AC = BE =，∴
.
∵AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上，
∴1AD A B ⊥，∵1AA BA ⊥， AD =
2AB =， 在Rt ABD ∆中，，
又
，∴13A D =，
在1Rt ADA ∆中，
，
∴
.
又三棱锥1A PBC -的体积为
2，∴32x =，解得4
x =.
∴AP =
53AP PC =. 13. 【河北省衡水中学2018届高三上学期七调考试】如图，在三棱柱
中，已知
，
，点在底面
上的投影是线段
的中点.
（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面
，并求出
的长；
（2）求三棱柱
的侧面积.
【答案】(1)证明见解析.
(2)
.
又，得．．．．．．．．．．．．．．5分
（2）由已知可得的高，的高
．．．．．．．．．．．．．．．．12分
14. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)】如图，点在以为直径的圆上，垂直与圆所在平面，为的垂心.
（1）求证：平面平面；
（2）若，点在线段上，且，求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析.
(2) .
所以平面，即平面.
又平面，所以平面平面.。