数值计算

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将式（3）、（4）代入（2）得：
（5）
将式（5）整理即得到临界水深的非线性方程：
（6）
式（6）为临界水深 的高次隐函数方程，且未知量包含在三角函数中，如 何求（6）根的问题变得复杂起来。
二、牛顿迭代法
三、数值计算方案
基于以上原因，在对（6）的求根方法中选择牛顿迭代法，为 便于计算引入无量纲参数K： （7）
数值分析
基于牛顿迭代法的圆形断面临界水深的计算
姓名： 邱俊杰 学号： 2016021192 专业方向： 凝聚态物理
一、待解问题
临界水深计算公式为： 需满足的临界流方程为： 其中
（1） （2） （3） （4）
式中，d为洞径；角 为临界水深对应的圆心角；a为流速分布不均 匀系数；Q为流量单位 ；；g为重力加速度； 分别为临界流 对应的过水断面面积和水面宽度。（a值不做说明取1.0）
将（7）式代入（6）得： 的一阶导数为；
（8）
（9）
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由牛顿迭代法可得： （10） 其中j为迭代次数， 为 的初值。
将式（8）、（9）代入（10），可得相应于式(6)临界水深对应 中心角的牛顿迭代公式： （11）
由式（11）迭代计算出满足要求的临界水深对应的中心角 ，代入 （1）可得临界水深。
迭代初值的选择：水力上一般要求洞内水面线以上的空间不宜 小于隧洞断面面积的15%，且高度不小于0.4m，根据此条件可估算 出中心角 可取的最大值一般不超过4.692，相应可得无量纲参数k 的上限为0.5044。采用Matlab软件对范围内的多组数据采用逐步优 化拟合得到 的近似公式： （12） 由（12）式可以得到迭代的初值 ，代入（11）进行迭代计算。