2023年高考数学(理科)一轮复习—— 对数与对数函数

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6. 若 函 数 y ＝ logax(a>0 ， a≠1) 在 [2 ， 4] 上 的 最 大 值 与 最 小 值 的 差 是 1 ， 则 a ＝ __2__或__21__.
解析 当0<a<1时，f(x)＝logax在[2，4]上单调递减， 故f(x)max＝f(2)，f(x)min＝f(4)， 则 f(2)－f(4)＝loga21＝1，解得 a＝12. 当a>1时，f(x)在[2，4]上单调递增， 此时f(x)max＝f(4)，f(x)min＝f(2)， 则f(4)－f(2)＝loga2＝1，解得a＝2.
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考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
考点一 对数的运算
1.(2020·全国Ⅰ卷)设alog34＝2，则4－a＝( B )
1
1
1
1
A.16
B.9
C.8
D.6
解析 法一 因为 alog34＝2，所以 log34a＝2，
则 4a＝32＝9，所以 4－a＝41a＝19.
法二 因为 alog34＝2，
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(2)已知函数 f(x)＝3loxg，2xx，≤x0>，0，关于 x 的方程 f(x)＋x－a＝0 有且只有一个实 根，则实数 a 的取值范围是(_1_，__＋__∞__) . 解析 问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函 数图象可知a>1.
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考点三 解决与对数函数的性质有关的问题
为 4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(10 10≈1.259)( C )
A.1.5
B.1.2
C.0.8
D.0.6
解析
1
由题意知，4.9＝5＋lg V，得 lg V＝－0.1，得 V＝10－10＝
1
≈1.2159
10 10
≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为 0.8.
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3.(2021·天津卷)设 a＝log2 0.3，b＝log10.4，c＝0.40.3，则 a，b，c 的大小关系为
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3.(2021·天津卷)若 2a＝5b＝10，则1a＋1b＝( C )
A.－1
B.lg 7
C.1
解析 ∵2a＝5b＝10， ∴a＝log210，b＝log510， ∴1a＋b1＝log1210＋log1510＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
D.log710
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4.计算：（1－log63）lo2g＋64log62·log618＝____1____.
，
所以 a＝log234＝2log43＝log432＝log49，
所以 4－a＝4－log49＝4log49－1＝9－1＝19.
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2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度
满足 m2－m1＝25lgEE21，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek(k＝1，2).已知太阳的星
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5.(易错题)已知 lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，则xy＝____4____.
解析 ∵lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，∴lg(xy)＝lg(x－2y)2， ∴xyxx>>－y＝002，，（y>x0－，2y）2，即xy（>>x02－，y，y）（x－4y）＝0， 则 x＝4y>0，∴xy＝4.
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考点二 对数函数的图象及应用
例1 (1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为( A )
解析 (1)由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称.设 g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画 出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得 f(x)的图象，结合图象知选A.
log2x，x>0， ∴f(x)＝0，x＝0，
－log2（－x），x<0.
当
x>0
时，f(x)<－1，即
log2x<－1＝log221，解得
1 0<x<2.
等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( A )
A.1010.1
B.10.1
C.lg 10.1
D.10－10.1
解析 依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45， 代入所给公式得52lg EE21＝－1.45－(－26.7)＝25.25. 所以 lg EE12＝25.25×25＝10.1，即EE12＝1010.1.
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
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考试要求
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数 或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调 性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为 2，10，12的对数函数的图象； 3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1) 与对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)互为反函数.
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(2)若方程 4x＝logax 在0，12上有解，则实数 a 的取值范围为__0_，__2_2__.
解析 若方程 4x＝logax 在0，12上有解，
则函数 y＝4x 和函数 y＝logax 的图象在0，21上有交点，
0<a<1， 由图象知loga12≤2，解得
0<a≤
2 2.
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感悟提升
对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质，函数图象上的特殊点(与 坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结 合法求解.
角度1 比较大小
例 2 (1)已知 a＝2－13，b＝log231，c＝log131，则( D ) 2
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>b>a
D.c>a>b
解析 ∵0<a<1，b＝log213＝－log23<0，c＝log1213＝log23>1.∴c>a>b.
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(2)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2<0，则下列关系中正确的是( C )
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常用结论
1.换底公式的两个重要结论 (1)logab＝log1ba(a>0，且 a≠1；b>0，且 b≠1). (2)logambn＝mn logab(a>0，且 a≠1；b>0；m，n∈R，且 m≠0).
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，1a，－1，
解析 原式＝1－2log63＋（log63l）og26＋4 log663·log6（6×3） ＝1－2log63＋（logl6o3g）642＋1－（log63）2 ＝2（12－lolgo6g263）＝log6l6o－g6l2og63＝lloogg6622＝1.
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感悟提升
1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的 形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则， 转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在 运算中应注意互化.
关系是( B )
A.a<b<c C.a<c<b
B.c<a<b D.b<c<a
解析
函数
y＝12x与
y＝log1x
2
的图象关于直线
y＝x
对称，
则 0<120.2<1<log120.2，∴a<b.
又 c＝ab＝120.2log120.2＝12log120.20.2＝0.20.2<120.2＝a，所以 b>a>c.
A.a<b<c
B.b<a<c
C.c<b<a
D.a<c<b
解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得log12a<log12b<lo1g2c<0， 即log2c<log2b<log2a<0， 可得c<b<a<1.故选C.
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(3)(2021·衡水中学检测)已知 a＝120.2，b＝log120.2，c＝ab，则 a，b，c 的大小
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2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①alogaN＝___N_；②logaab＝b(a>0，且 a≠1). (2)对数的运算性质 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝_l_o_g_a_M_＋__l_o_g_a_N___； ②logaMN ＝__lo_g_a_M__－__lo__g_aN___； ③logaMn＝_n_l_o_g_a_M__ (n∈R). (3)换底公式：_____lo_g_b_N__＝__lloo_gg_aa_Nb____ (a，b 均大于零且不等于 1，N>0).
2
( D)
A.a＜b＜c
B.c＜a＜b
C.b＜c＜a
D.a＜c＜b
解析 ∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0. ∵log10.4＝－log20.4＝log252＞log22＝1，
2
∴b＞1. ∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1， ∴a＜c＜b.
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4.(易错题)函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是__(_2_，__2_) _. 解析 当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的值为2，所以图象恒 过定点(2，2).
函数图象只在第一、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ象限.
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诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.( × ) (2)函数 y＝log2(x＋1)是对数函数.( × ) (3)函数 y＝ln11－＋xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( √ ) (4)当 x>1 时，若 logax>logbx，则 a<b.( × )
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训练1 (1)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，
a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( D )
A.a>1，c>1
B.a>1，0<c<1
C.0<a<1，c>1
D.0<a<1，0<c<1
解 析 (1) 由 该 函 数 的 图 象 通 过 第 一 、 二 、 四 象 限 知 该 函 数 为 减 函 数 ， ∴0<a<1， ∵图象与x轴的交点在区间(0，1)之间， ∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位长度后得到的， ∴0<c<1.
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角度2 解对数不等式
例3 (1)(2022·太原质检)定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ log2x，则不等式f(x)<－1的解集是__(_－__∞__，__－__2_)∪___0_，__12__.
解析 设x<0，则－x>0，∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)，
当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0
当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是__增__函__数__
在(0，＋∞)上是__减__函__数__
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4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数___y_＝__lo_g_a_x__ (a>0，且a≠1)互为反函 数，它们的图象关于直线___y_＝__x__对称.
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3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数 的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
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性质
定义域：___(_0_，__＋__∞__) ___
值域：_R___ 当x＝1时，y＝0，即过定点____(_1_，__0_) ___
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理 1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作__x_＝__lo_g_a_N__，其 中a叫做对数的底数，N叫做真数.
解析 (1)log2x2＝2log2|x|，故(1)错误. (2)形如y＝logax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(2)错误. (4)若0<b<1<a，则当x＞1时，logax＞logbx，故(4)错误.
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2.(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表 测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据 L 和小数记录法的数据 V 满足 L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据