2019-2020版数学同步新导学案人教A必修五讲义：第二章 数列2.5 第2课时 Word版含答

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第2课时等比数列前n项和的性质及应用
学习目标1。

理解等比数列前n项和公式的函数特征.2。

熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题．
知识点一等比数列前n项和公式的函数特征
当公比q≠1时,设A＝错误!，等比数列的前n项和公式是S n＝A（q n－1）．即S n是n的指数型函数．
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以S n＝na1，S n是n的正比例函数．
知识点二等比数列前n项和的性质
1．数列｛a n｝为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数），S n为其前n项和，则S n，S
－S n，S3n－S2n仍构成等比数列．
2n
2．若｛a n｝是公比为q的等比数列,则S n＋m＝S n＋q n S m(n，m∈N＊)．
3．若{a n}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中,错误!＝q;
②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1
＝错误!＝错误!（q≠－1）．
1．等比数列｛a n｝的前n项和S n不可能等于2n.( √)
2．若{a n｝的公比为q，则{a2n}的公比为q2。

( √）
3．若{a n｝的公比为q，则a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5的公比也为q.( √）
4．等比数列｛a n}是递增数列，前n项和为S n。

则｛S n｝也是递增数列．( ×）
5．对于公比q≠1的等比数列｛a n｝的前n项和公式，其q n的系数与常数项互为相反数．（√）
题型一等比数列前n项和公式的函数特征应用
例1 数列｛a n}的前n项和S n＝3n－2。

求{a n}的通项公式．
解当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(3n－2)－(3n－1－2）＝2·3n－1.
当n＝1时,a1＝S1＝31－2＝1不适合上式．
∴a n＝错误!
反思感悟已知S n,通过a n＝错误!求通项a n,应特别注意n≥2时，a n＝S n－S n－1.
(2)若数列{a n｝的前n项和S n＝A（q n－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则｛a n}是等比数列．跟踪训练1 若｛a n｝是等比数列,且前n项和为S n＝3n－1＋t，则t＝ .
答案－1 3
解析显然q≠1，此时应有S n＝A(q n－1），
又S n＝错误!·3n＋t，∴t＝－错误!.
题型二等比数列前n项和的性质
命题角度1 连续n项之和问题
例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为S n，S2n，S3n，求证：S错误!＋S错误!＝S n(S
2n
＋S3n)．
证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，S n＝na1，S2n＝2na1,S3n＝3na1，
∴S错误!＋S错误!＝n2a错误!＋4n2a错误!＝5n2a错误!，
S n（S
2n
＋S3n)＝na1(2na1＋3na1）＝5n2a错误!,
∴S错误!＋S错误!＝S n(S2n＋S3n)．
当q≠1时，S n＝
a
1
1－q
(1－q n)，
S
2n
＝错误!（1－q2n)，S3n＝错误!（1－q3n),
∴S错误!＋S错误!＝错误!2·［(1－q n）2＋(1－q2n)2］
＝错误!2·(1－q n）2·(2＋2q n＋q2n)．
又S n（S2n＋S3n）＝错误!2（1－q n)（2－q2n－q3n)＝错误!2·(1－q n)2·(2＋2q n＋q2n），
∴S错误!＋S错误!＝S n(S2n＋S3n)．
方法二根据等比数列的性质有
S
2n
＝S n＋q n S n＝S n(1＋q n），S3n＝S n＋q n S n＋q2n S n，
∴S错误!＋S错误!＝S错误!＋[S n（1＋q n）］2＝S错误!(2＋2q n＋q2n），
S n(S
2n
＋S3n）＝S错误!（2＋2q n＋q2n）．
∴S2，n＋S错误!＝S n(S2n＋S3n）．
反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法
（1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组）
时,通常用约分或两式相除的方法进行消元．
（2）灵活运用等比数列前n 项和的有关性质．
跟踪训练2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 解 因为S 2n ≠2S n ,所以q ≠1， 由已知得错误!错误!
②÷①得1＋q n
＝错误!,即q n
＝错误!。

③ 将③代入①得错误!＝64， 所以S 3n ＝错误!＝64×错误!＝63.
命题角度2 不连续n 项之和问题
例3 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64,求该等比数列的通项公式．
解 设数列{a n ｝的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇,S 偶,由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶，
∵数列｛a n ｝的项数为偶数，∴q ＝错误!＝错误!。

又a 1·a 1q ·a 1q 2
＝64，∴a 错误!·q 3
＝64，得a 1＝12。

故所求通项公式为a n ＝12×错误!
n －1
，n ∈N ＊。

反思感悟 注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快．
跟踪训练3 设数列{a n ｝是以2为首项，1为公差的等差数列；数列｛b n ｝是以1为首项,2为公比的等比数列，则1236a a a a b b b b ⋯＋＋＋＋＝。

答案 126
解析 设数列｛b n ｝的公比为q ，则q ＝2， ∵111111
12,n n n n n n
a a a a a a
b b q q b b q
+++---⋅===⋅ ∴{}n
a b 是首项为b 2,公比为2的等比数列． ∴126a a a b b b ⋯＋＋＋＝错误!＝126。

等比数列前n 项和的分类表示
典例 已知数列{a n ｝中,a 1＝1,a 2＝2，a n ＋2＝3a n ，n ∈N *
.求{a n ｝的前n 项和S n 。

解由a n≠0，所以错误!＝3，于是数列｛a2n－1}是首项a1＝1,公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列．
因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1。

于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1）＋(a2＋a4＋…＋a2n）＝(1＋3＋…＋3n－1）＋2(1＋3＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋…＋3n－1）＝错误!,
从而S2n－1＝S2n－a2n ＝
33
n－1
2
－2×3n－1＝错误!(5×3n－2－1)．
综上所述,
3
2
2
3
531,, 2
3
31,,
2
n
n n
n
S
n
-
⎧⎛⎫
⨯-
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
=⎨
⎛⎫
⎪-
⎪
⎪
⎝⎭
⎩
是奇数
是偶数
［素养评析］数学中有不少概念表达式相当抽象．只有在明晰运算对象的基础上，才能挖掘出两式的内在联系，理解运算法则．本例中，涉及到很多对n的赋值，只有理解了a n,a2n，S2n 与S2n－1之间的联系，才能顺利挖掘出｛a2n}是首项为2，公比为3的等比数列，S2n－1＝S2n－a2n等关系.
1．已知等比数列｛a n}的公比为2，且其前5项和为1，那么{a n}的前10项和等于（) A．31 B．33 C．35 D．37
答案B
解析设｛a n｝的公比为q，由题意，q＝2，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，则a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝q5(a1＋a2＋a3＋a4＋a5）＝q5＝25＝32，∴S10＝1＋32＝33。

2．已知等比数列｛a n｝的前n项和为S n＝x·3n－1－错误!，则x的值为( )
A.错误! B．－错误! C。

错误! D．－错误!
答案C
解析方法一∵S n＝x·3n－1－错误!＝错误!·3n－错误!，
由S n＝A（q n－1），得x
3
＝
1
6
，∴x＝错误!.
方法二当n＝1时，a1＝S1＝x－错误!；
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2x·3n－2，
∵{a n｝是等比数列,∴n＝1时也应适合a n＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－错误!，解得x＝错误!.
3．已知等差数列｛a n}的前n项和S n＝n2＋bn＋c，等比数列｛b n}的前n项和T n＝3n＋d，则向量a＝(c，d）的模为( ）
A．1 B. 2 C。

错误! D．无法确定
答案A
解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1,
所以向量a＝（c，d）的模为1。

4．设等比数列｛a n｝的前n项和为S n，若q＝2,S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于（) A．24 B．12 C．18 D．22
答案B
解析设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S。

∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
5．已知等比数列｛a n｝的前n项和为S n，S4＝1，S8＝3,则a9＋a10＋a11＋a12等于（）
A．8 B．6 C．4 D．2
答案C
解析S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．
即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列．
∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.
1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断;若{a n｝是等比数列，且a n〉0，则{lg a n｝构成等差数列．
2．等比数列前n项和中用到的数学思想
(1)分类讨论思想:
①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0,q〉1或a1〈0,0<q<1时为递增数列；当a1〈0，q>1或a1〉0,0〈q〈1时为递减数列；当q〈0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．
（2)函数思想:等比数列的通项a n＝a1q n－1＝a
1
q
·q n（q〉0且q≠1）常和指数函数相联系；等比
数列前n项和S n＝错误!（q n－1）（q≠1)．设A＝错误!，则S n＝A(q n－1)与指数函数相联系．(3）整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把q n,错误!当成整体求解;把奇数项、偶数项、连续若干项之和等整体处理.
一、选择题
1．等比数列｛a n}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于( )
A．2 B.错误! C．4 D.错误!
答案C
解析∵a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，
∴a4－a3＝3(S3－S2)＝3a3,即a4＝4a3，
∴q＝错误!＝4.
2．设｛a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和，若｛S n｝是等差数列，则q等于( ) A．1 B．0 C．1或0 D．－1
答案A
解析∵S n－S n－1＝a n（n≥2且n∈N＊），又{S n｝是等差数列,
∴a n为定值,即数列{a n｝为常数列,
∴q＝错误!＝1(n≥2且n∈N*)．
3．设等比数列{a n｝的前n项和为S n，已知S3＝8，S6＝7,则a7＋a8＋a9等于（）
A.错误! B．－错误! C.错误! D.错误!
答案A
解析因为a7＋a8＋a9＝S9－S6,且S3,S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝错误!,所以a7＋a8＋a9＝错误!。

4．设S n为等比数列{a n}的前n项和，a2－8a5＝0，则错误!的值为( ）
A。

错误! B．2 C。

错误! D．17
答案C
解析错误!＝q3＝错误!，∴q＝错误!.
∴错误!＝错误!＝1＋错误!＝1＋q4＝错误!。

5．正项等比数列{a n｝的前n项和为S n，S30＝13S10,S10＋S30＝140，则S20等于（)
A．90 B．70 C．40 D．30
答案C
解析由S30＝13S10，知q≠1，由错误!
得错误!由等比数列的前n项和的性质得S10,S20－S10，S30－S20成等比数列，则(S20－S10)2＝S10（S30－S20)，即(S20－10)2＝10（130－S20），解得S20＝40或S20＝－30(舍去），
故选C。

6．已知S n是等比数列｛a n}的前n项和，若存在m∈N＊，满足错误!＝9，错误!＝错误!,则数列｛a n}的公比为（）
A．－2 B．2 C．－3 D．3
答案B
解析设公比为q，若q＝1,则错误!＝2，
与题中条件矛盾,故q≠1。

∵错误!＝错误!＝q m＋1＝9，∴q m＝8。

∴错误!＝错误!＝q m＝8＝错误!，
∴m＝3,∴q3＝8，∴q＝2。

7．已知等比数列｛a n}的前10项中,所有奇数项之和为85错误!，所有偶数项之和为170错误!,则S＝a
3
＋a6＋a9＋a12的值为（)
A．580 B．585 C．590 D．595
答案B
解析设等比数列{a n｝的公比为q，则由题意有错误!得错误!
∴S＝a3＋a6＋a9＋a12＝a3(1＋q3＋q6＋q9）＝a1q2·1－q12
1－q3
＝585.
8．设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S
6
S
3
＝3，则
S
9
S
6
等于（)
A．2 B.错误! C.错误! D．3答案B
解析由题意知q≠1，否则S
6
S
3
＝错误!＝2≠3.
∴错误!＝错误!＝1＋q3＝3，
∴q3＝2。

∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.
二、填空题
9．若等比数列{a n｝的前5项和S5＝10，前10项和S10＝50,则它的前15项和S15＝。

答案210
解析由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，
S
15
－S10成等比数列，故（S10－S5）2＝S5(S15－S10)，
即(50－10）2＝10（S15－50），解得S15＝210.
10．已知数列｛a n}的前n项和为S n，且a1＝1，若对任意n∈N＊，有a n＋1＝错误!S n，则S n＝。

答案错误!n－1
解析由a n＋1＝错误!S n，得S n＋1－S n＝错误!S n，即S n＋1＝错误!S n,则数列{S n｝是以S1＝1为首项,公比q为错误!的等比数列，所以S n＝S1·q n－1＝错误!n－1.
11．已知首项为1的等比数列｛a n}是摆动数列，S n是｛a n}的前n项和，且错误!＝5，则数列错误!的前5项和为．
答案错误!
解析错误!＝错误!＝1＋q2＝5，q＝±2。

∵｛a n｝是摆动数列，∴q＝－2.
∴错误!的首项为1，公比为－错误!，
前5项和为错误!＝错误!＝错误!。

三、解答题
12．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
（1)求{a n}的通项公式；
(2）求和:b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
解（1)设等差数列｛a n｝公差为d，因为a2＋a4＝2a3＝10，所以a3＝5＝1＋2d,所以d＝2,所以a n＝2n－1（n∈N*)．
(2)设｛b n}的公比为q,b2·b4＝a5⇒q·q3＝9，所以q2＝3，
所以｛b2n－1｝是以b1＝1为首项，q′＝q2＝3为公比的等比数列，所以b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝错误!＝错误!。

13．已知等比数列｛a n}中，a1＝2,a3＋2是a2和a4的等差中项．
（1)求数列{a n｝的通项公式；
（2)记b n＝a n log2a n，求数列{b n｝的前n项和S n。

考点错位相减法求和
题点错位相减法求和
解（1）设数列{a n｝的公比为q，
由题意知2(a3＋2)＝a2＋a4，
∴q3－2q2＋q－2＝0，
即（q－2)（q2＋1）＝0。

∴q＝2，即a n＝2·2n－1＝2n，n∈N*。

(2）由题意得，b n＝n·2n，
∴S n＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①
2S n＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋（n－1)·2n＋n·2n＋1,②
①－②，得－S n＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1
＝－2－（n－1)·2n＋1。

∴S n＝2＋(n－1)·2n＋1，n∈N*.
14．等比数列｛a n}中，a1－a3＝3，前n项和为S n,S1，S3，S2成等差数列，则S n的最大值为．答案4
解析设公比为q,
由错误!
解得错误!
当n为奇数时，
S n＝错误!错误!≤错误!错误!＝4，
当n为偶数时，S n＝错误!错误!<错误!。

综上，S n的最大值为4.
15．已知S n为数列｛a n｝的前n项和，且满足S n－2a n＝n－4。

（1）证明：｛S n－n＋2｝为等比数列;
(2)设数列｛S n}的前n项和为T n，求T n。

(1)证明当n＝1时，S1－2S1＝1－4,故S1＝3，
得S1－1＋2＝4。

n≥2时原式转化为S n＝2（S n－S n
－1
)＋n－4,
即S n＝2S n－1－n＋4，
所以S n－n＋2＝2[S n－1－（n－1)＋2]，
所以｛S n－n＋2｝是首项为4，公比为2的等比数列．
(2)解由（1）知,S n－n＋2＝2n＋1，所以S n＝2n＋1＋n－2，
于是T n＝（22＋23＋…＋2n＋1）＋(1＋2＋…＋n)－2n
＝41－2n
1－2
＋
n n＋1
2
－2n＝错误!。