2021年苏科版小升初数学衔接专题08《有理数的乘方、混合运算和科学记数法》精编讲义

2021年苏科版暑假小升初数学衔接精编讲义
专题08《有理数的乘方、混合运算和科学记数法》知识互联网
学习目标
1．理解有理数乘方的定义；
2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
3. 进一步掌握有理数的混合运算.
4. 会用科学记数法表示大数.
知识要点
知识点1：有理数的乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个
.在n
a 中，a 叫做底数， n 叫做指数．
要点分析：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果． （2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来． （3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51
，指数1通常省略不写．
知识点2：乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）0的任何正整数次幂都是0；
（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 2
a ≥0．
要点分析：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值． (2)任何数的偶次幂都是非负数．
知识点3：有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
要点分析：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行． (3)在运算过程中注意运算律的运用．
知识点4：科学记数法
把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，l ≤|a |<10，n 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210⨯.
要点分析：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如-3000=3
310-⨯；
（2）把一个数写成10n
a 形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少 1.
【典型例题1】（2021春•新都区校级期末）下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ） A ．23和32
B ．﹣33和（﹣3）3
C ．﹣22和（﹣2）2
D ．﹣|﹣2|和|﹣2|
【完整解答】A ．23＝8，32＝9， ∴23≠32，故此选项不符合题意； B ．﹣33＝﹣27，（﹣3）3＝﹣27， ∴﹣33＝（﹣3）3，故此选项符合题意； C ．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，
∴﹣22≠（﹣2）2，故此选项不符合题意； D ．﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣2|＝2，
∴﹣|﹣2|≠|﹣2|，故此选项不符合题意； 故选：B ．
【变式训练1】（2021春•海沧区校级月考）已知一些两位数相乘的算式： 53×57，38×32，84×86，652，71×79．
（1）观察已知算式，请用文字或符号描述它们的共同特征；
（2）计算这些算式，观察计算结果，你能发现什么规律？可以运用你发现的规律直接写出结果的是： ①③ （填写序号）；
①3×26×8；②41×2×82；③2×31×4×17． （3）用你所学的知识证明你发现的规律．
变式训练
典例精讲
题型1：有理数的乘方
题型2：非负数的性质：偶次方
典例精讲
【典型例题2】（2020秋•义马市期末）若|x﹣2|+（x﹣y﹣1）2＝0，则多项式﹣y﹣（x2+2y2）的值为﹣7．
【完整解答】因为|x﹣2|+（x﹣y﹣1）2＝0，
所以x﹣2＝0，x﹣y﹣1＝0，
解得，x＝2，y＝1，
所以﹣y﹣（x2+2y2）＝﹣1﹣（4+2）＝﹣7，
故答案为：﹣7．
变式训练
【变式训练2】（2020秋•金牛区校级月考）（1）当式子7+（a﹣2）2有最小值时，a＝．（直接写答案）（2）已知：有理数x、y满足条件（x+3）4+|4﹣y|＝0，求x y的值．
题型3：科学计数法
典例精讲
【典型例题3】（2021•靖江市模拟）某人近期加强了锻炼，用“微信运动”记录下了一天的行走的步数为12400，将12400用科学记数法表示应为．
【完整解答】12400＝1.24×104．
故答案为：1.24×104．
变式训练
【变式训练3】（2017秋•广丰区期末）学校组织同学们去参观博物馆，在一块恐龙化石前，小明对小亮说：“这块化石距今已经230000001年了．”解说员听到后用略带嘲讽的口气对小明说：“小朋友！你比科学家厉害，知道得这么准确！”小明说：“我去年也参观了，去年是你说的，这块化石距今约230000000年了．”
（1）用科学记数法表示230000000；
（2）小明的说法正确吗？为什么？
题型4：有理数的混合运算
【典型例题4】（2020秋•河东区期末）下列运算正确的是（）
A ．﹣+＝﹣（+）＝﹣1 B．﹣3×（﹣4）＝﹣12
C．﹣6+2×2＝﹣4×2＝﹣8 D．9÷（﹣3）＝﹣3
【完整解答】A 、﹣+＝﹣（﹣）＝﹣，此选项计算错误；
B、﹣3×（﹣4）＝12，此选项计算错误；
C、﹣6+2×2＝﹣6+4＝﹣2，此选项计算错误；
D、9÷（﹣3）＝﹣（×）＝﹣＝﹣3，此选项计算正确；
故选：D．
变式训练
【变式训练4】（2020秋•南京期末）计算：
（1）﹣32﹣9×（﹣）；（2）[（﹣2）3+]÷4+（﹣）．
【变式训练5】（2019秋•桐梓县期中）a与b互为相反数，c与d互为倒数，|x|＝10，求代数式（cd）2014+8（a+b）+2x的值．
达标训练
考点1：有理数的乘方
1．（2021春•松北区期末）下列计算正确的是（）
A．﹣（﹣3）2＝9 B．C．﹣32＝9 D．（﹣3）3＝﹣9
2．（2021•永州）定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）
A．5 B．2 C．1 D．0
3．（2020秋•鼓楼区校级期末）下列各组数中，互为相反数的是（）
A．﹣（﹣3）和|﹣3| B．（﹣1）3和﹣13C．﹣3和2 D．﹣5和﹣（﹣5）
4．（2020秋•卢龙县期末）一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的，第二次剪去剩下绳子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下绳子的长度是（）
A．B．C．D．
5．（2021春•杨浦区期末）计算：＝．
6．（2021春•奉贤区期中）的倒数的平方与的积是．
7．（2020秋•织金县期末）计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…．归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22006﹣1的个位数字是．
8．（2021•邯郸模拟）22+22+22+22＝2m，则m＝．
9．（2020秋•武侯区校级月考）如果2b＝n，那么称b为n的布谷数，记为b＝g（n），如g（8）＝g（23）＝3．
（1）根据布谷数的定义填空：g（2）＝，g（32）＝．
（2）布谷数有如下运算性质：
若m，n为正数，则g（mn）＝g（m）+g（n），g（）＝g（m）﹣g（n）．
根据运算性质填空：若g（7）＝2.807．则g（14）＝，g（）＝．
（3）下表中与数x对应的布谷数g（x）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a，b的代数式表示）．
x36927 g（x）1﹣4a+2b1﹣2a+b2a﹣b3a﹣2b4a﹣2b6a﹣3b
10．（2020秋•合浦县期中）有一块面积为64米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少米？
考点2：非负数的性质：偶次方
11．（2021春•和平区校级月考）下列说法正确的是（）
A．如果a2＞0，那么a＞0 B．如果a＜1，那么＞1
C．如果a＞1，那么0＜＜1 D．如果﹣1＜a＜0，那么a2＞1
12．（2020秋•福州期末）若（a+1）2+|b﹣2|＝0，则﹣a+2b等于（）
A．0 B．3 C．2 D．5
13．（2020秋•海勃湾区期末）若|m﹣3|+（n+2）2＝0，则m+2n的值为（）
A．﹣1 B．1 C．4 D．7
14．（2021春•沙坪坝区期中）已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，则（x﹣y）2021＝．
15．（2020秋•滨城区期末）若m，n满足|m﹣6|+（7+n）2＝0，则（m+n）2018＝．
16．（2021•海安市模拟）若|m﹣2|+（n+3）2＝0，则n m﹣2n的值是．
17．（2020秋•农安县期末）已知n＝4，且（x﹣5）2+|y﹣2n|＝0，求x﹣y+8的值．
18．（2019秋•新郑市期末）已知（x+3）2+|y﹣2|+（z+1）2＝0，求x2﹣2x（y﹣6z）﹣5x2+3xy﹣z2﹣2（4xz+x2）的值．
19．（2017秋•广丰区期末）已知x、y满足关系（x﹣2）2+|y+2|＝0，求y x的值．
20．（2018秋•南昌期中）若|a﹣1|+（b+2）2＝0，求5a﹣b的值．
考点3：科学记数法
21．（2021•苏州）全球平均每年发生的雷电次数约为16000000次，数据16000000用科学记数法可表示为．22．（2017春•阜宁县期中）地球上海洋总面积为3.6×108km2，按海洋的海水平均深度3.7×103m计算，海水的体积约为多少？
考点4：有理数的混合运算
一．选择题
1．（2021•台湾）算式（﹣8）+（﹣2）×（﹣3）之值为何（）
A．﹣14 B．﹣2 C．18 D．30
2．（2021•竞秀区一模）计算﹣1▢1＝0，则“▢”表示的运算符号是（）
A．+ B．﹣C．×D．÷
3．（2020秋•澧县期末）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；
（2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4…．
利用以上规律计算：f（2014）﹣f（）等于（）
A．2013 B．2014 C．D．
4．（2021•衡水模拟）高度每增加1km，气温大约下降6℃，现在地面温度是25℃，某飞机在该地上空6km 处，则此时飞机所在高度的气温为（）
A．﹣9℃B．﹣11℃C．9℃D．11℃
二．填空题
5．（2020秋•沿河县期末）若规定符号“@”的意义是a@b＝ab﹣b2，则3@（﹣1）的值是．6．（2021春•金华月考）已知m，n互为相反数，p，q互为倒数，x的绝对值为2，则代数式+2016pq+x2的值为．
7．（2020秋•肇源县期末）在一场NBA的篮球比赛中，我国著名运动员姚明共投篮25次，6次未中，他在这场比赛中的投篮“命中率”是．
8．（2021•衡水模拟）已知m、n互为相反数，p、q互为倒数，x的绝对值为2，则代数式+2020pq+x2的值是．
9．（2021春•九江期末）对于有理数a，b定义新运算：“△”，a△b＝b，则关于该运算，下列说法正确的是．（请填写正确说法的序号）
①5△7＝9△7；②若a△b＝b△a，则a＝b；③该运算满足交换律；④该运算满足结合律．
三．解答题
10．（2021春•松北区期末）小刘在某学校附近开了一家麻辣烫店，为了吸引顾客，于是想到了发送宣传单：刘氏麻辣烫开业大酬宾，第一周每碗4.5元，第二周每碗5元，第三周每碗5.5元，从第四周开始每碗6元．月末结算时，每天以50碗为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这四周的销售情况如下表（表中数据为每周每天的平均销售情况）：
周次一二三四
销售量382610﹣4（1）若麻辣烫成本为3.1元/碗，哪一周的收益最多？是多少？
（2）这四周总销售额是多少？
（3）为了拓展学生消费群体，第四周后，小刘又决定实行两种优惠方案：
方案一：凡来店中吃麻辣烫者，每碗附赠一瓶0.7元的矿泉水；
方案二：凡一次性购买3碗以上的，可免费送货上门，但每次送货小刘需支付人工费2元．
若有人一次性购买4碗，小刘更希望以哪种方案卖出？
11．（2020秋•孝南区期末）计算：
（1）（+﹣）÷；（2）（﹣1）2021×|1|﹣（0.5）÷（﹣）．
12．（2021春•工业园区期末）对有理数x、y定义一种新运算“※”，规定：※（x，y）＝ax+2by﹣1，这里等式右边是通常的四则运算，例如：※（0，1）＝a•0+2b•1﹣1＝2b﹣1．已知：※（1，﹣1）＝﹣4，※（4，2）＝11．
（1）求a、b的值；
（2）求※（m2，m+3）的最小值．
13．（2021春•杨浦区校级期中）计算：
（1）（﹣4）﹣（﹣2）+（﹣9）+3.5；
（2）（﹣1）÷（0.75）×（﹣1）÷3×（﹣0.5）2；
（3）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷；
（4）（﹣3+﹣）×（﹣62）．
14．（2020秋•工业园区期中）对于有理数a，b，定义一种新运算“⊙”，规定a⊙b＝|a+b|+|a﹣b|．（1）计算3⊙（﹣4）的值；
（2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简a⊙b．
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